1 x 2 y 2 dxdy D. 3 (1 ρ2 ) 3/2 = 1 3. = π 12.

Transcript

1 INGEGNERIA CIVILE - AMBIENTE E TERRITORIO ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL ESERCIZIO 1 Calcolare 1 x y dxdy D dove D è il dominio piano delimitato dalla curva x + y x e dalle semirette y x, x e y, x. Usando le coordinate polari si trova che: D 1 x y dxdy / / 1 1 cos θ 1 ρ ρdρdθ 1 (1 ρ ) / ρcos θ dθ / ρ (sin θ 1)dθ 1 cos θ cos θ θ / ESERCIZIO Calcolare + V F ndσ dove V è il volume delimitato dalla superficie z + 1 x + y e dai piani z, z ed F ( x, z, z(x + y ) ). Si ha div F x + (x + y ) e quindi, usando il teorema della divergenza e le coordinate cilindriche, 1

2 + V F ndσ x + (x + y )dxdydz V z (ρ cos θ + ρ )ρdρdzdθ ρ (1 + cos θ) ρ1+z dzdθ ρ 1 (1 + z)5 5 (1 + cos θ)dθ ESERCIZIO Sviluppare in serie di Fourier di soli seni la funzione x per x f(x) per < x < x per x. Esaminare la convergenza della serie ottenuta e disegnare il grafico dell estensione periodica corrispondente. La funzione è discontinua e quindi la convergenza non sarà totale. Si ha: Quindi cos 1 b / x sin xdx + cos x x + cos + sin + sin sin x / / (x ) sin xdx + sin cos x sin x cos x x + + / cos. sin cos sin x f(x) x, x /, / /8 x / /8 x / ESERCIZIO Dopo aver determinato la soluzione stazionaria, risolvere il seguente problema u t 1 6 u xx x x < x <, t >, u(x, ) f(x) + x + x + x x, u(, t), u(, t) + + t >, dove f(x) è la funzione dell esercizio precedente. soluzione stazionaria. Calcolare anche la velocità di convergenza alla

3 Si tratta di un problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore in dimensione u s 1x 1. La soluzione stazionaria si trova risolvendo il problema + 6x, u s (), u s () +, la cui +, soluzione è: u s (x) x + x + x. Ponendo v(x, t) u(x, t) u s (x), la funzione v deve risolvere il problema: v t 1 6 v xx < x <, t >, v(x, ) f(x) x, v(, t) v(, t) t >, Quindi u(x, t) u s (x) + v(x, t) x + x + x + cos 1 Ne segue che, essendo max, f(x) e L D 6 si ha: + sin sin cos e t/6 sin x. u(x, t) u s (x) e t/6 per ogni t 6. ESERCIZIO 5 Risolvere il seguente problema di Cauchy: ut uu x x R, t >, u(x, ) g(x) x R, dove g(x) x x, x x <. E richiesto il disegno delle caratteristiche e la verifica della soluzione trovata. Le caratteristiche sono: x x + x t per x < e x x + x t per x. Per x l equazione in forma implicita è u x + ut, che esplicitata diventa u(x, t) x t+1, mentre per x < essa è u x + ut, che esplicitata diventa u(x, t) x t+1. Notiamo che x x t + 1 t + 1 x x + e quindi la soluzione è continua in tutto il semipiano. La verifica è immediata: 8x u t uu x (t + 1) x t + 1 t + 1 e x t + 1 x t per x, x u t uu x (t + 1) x t t + 1 e x t + 1 x t per x <.

4 INGEGNERIA CIVILE - AMBIENTE E TERRITORIO ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL ESERCIZIO 1 Si consideri la forma differenziale 1. Stabilire se ω è chiusa. ω xy (1 + x ) dx x dy.. Dire se ω è esatta ed in caso affermativo, determinare tutte le sue primitive.. Calcolare l integrale curvilineo γ ω, dove γ è il perimetro del poligono che ha per vertici i punti O(, ) A(1, ) B(, 7) C( 5, ) D(1, ). Si ha X y x Y (1+x ) x e quindi la forma è chiusa. Essendo l insieme di definizione tutto il piano, la forma è anche esatta. Calcolo della primitiva: si ha xy F (x, y) (1 + x ) dx y 1 + x + φ(y), F y x + φ (y) e quindi, uguagliando F y con Y si ottiene x + φ (y) x, quindi φ (y), cioè φ(y) C costante. Le primitive sono dunque: F (x, y) y + C, C R. 1 + x Per finire, l integrale richiesto vale perché la forma è esatta e il cammino è chiuso. ESERCIZIO Calcolare l integrale triplo dove W è la regione W e z (x + y ) dxdydz, W (x, y, z) R : z x + y }. Usando le coordinate cilindriche si trova: e z (x + y ) dxdydz W z e z ρ dρdzdθ e z z e z dz e z z e z + z e z 1z e z + ze z 8 sinh + cosh.

5 ESERCIZIO Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier di soli seni della funzione per x / f(x) cos x per / < x < / per / x. Esaminare la convergenza dello sviluppo ottenuto e disegnare il grafico dell estensione periodica corrispondente. Osserviamo preliminarmente che f è continua in, (poiché cos x x/ cos x x/ ) e che f() f(): le condizioni di commpatibilità sono verificate e quindi la convergenza dello sviluppo ottenuto sarà totale. Procediamo ora con il calcolo dei coefficienti. Si ha: b e per 1,, / / cos x sin xdx 1 / / sin xdx 1 cos x/ / b 1 1 / / / / cos x sin xdx sin( + )x + sin( )x dx cos( + )x + cos (+) ( + ) cos( )x / / cos ( ) ( ) + cos (+) ( + ) ( ) cos + ( ) Quindi: f(x) 1 cos (+) ( + ) cos ( ) ( ) + cos (+) ( + ) ( ) cos + sin x ( ) per ogni x,, con convergenza totale. Si potrebbe anche osservare che b per pari (la funzione di partenza è pari rispetto a /) e che ( 1) m/ per m pari (m+1) b m+1 ( 1) (m 1)/ (m+1) per m dispari. ESERCIZIO Risolvere il seguente problema: E richiesta la verifica della soluzione trovata. ut u xx x R, t >, u(x, ) cos x x R. 5

6 Si tratta di un problema di Cauchy per l equazione del calore sulla retta. Si ha: u(x, t) 1 + e s cos (x + s t)ds cos x + + e s cos(x + s t)ds + 1 e s cos(s t)ds + e t cos x + 1 e 9t cos x. cos x + + e s cos (x + s t)ds e s cos(6s t)ds Verifica: u t u xx u(x, ) cos x + 1 cos x cos x, e t cos x 9 1 e 9t cos x e t cos x 9 1 e 9t cos x. ESERCIZIO 5 Risolvere il seguente problema: E richiesta la verifica della soluzione trovata. u xx + u yy 1 < x + y <, u y + xy x + y 1, u y + xy x + y. Si tratta di un problema di Dirichlet per l equazione di Laplace in un anello. Si ha: y + xy xcos θ,ysin θ sin θ + cos θ sin θ sin θ + sin θ y + xy sin θ + sin θ. x cos θ,y cos θ Quindi in coordinate polari il problema diventa: U rr + 1 r U r + 1 U r θθ 1 < r <, θ, U(1, θ) sin θ + sin θ θ, U(, θ) sin θ + sin θ θ. Cercando la soluzione nella forma ( ) ( ) 1 U(r, θ) C 1 r + C sin θ + C r 1 + C r r sin θ troviamo che deve essere C1 + C C C 1 C + C 1 C + 1 C e quindi C 1, C, C 1, C. In conclusione, e tornando in coordinate cartesiane troviamo U(r, θ) r sin θ + r sin θ r sin θ + r sin θ r sin θ r + r sin θr cos θ y x + y + xy. 6

7 Verifica. Si ha: y x + y + xy e poi u x y x + y + xy x +y 1 x +y y + xy, y + xy xy (x + y ) + y, u xx y(x + y ) + x xy (x + y ) y + 1x y (x + y ) u y x y (x + y ) + x, u xx y(x + y ) y(x y ) (x + y ) y 1x y (x + y ), e quindi u xx + u yy. 7

8 INGEGNERIA CIVILE - AMBIENTE E TERRITORIO ANALISI PROVA SCRITTA DEL SOLUZIONI ESERCIZIO 1 Calcolare + V F ndσ, dove V é il solido delimitato dalla superficie z x y e dal piano z 1 ed F (x, y, z ). Si ha divf + z. Applicando il teorema della divergenza troviamo: F ndσ divf dxdydz + V V 1 ρ ( + z)ρdzdρdθ zρ + z ρ z ρ dρ z 1 ρ + ρ 5 + ρ dρ ESERCIZIO Stabilire in quali regioni del piano la seguente forma differenziale é esatta: ω (y x) (x y) dx + 1 (y x) 1 (y x) dy. Successivamente calcolare l integrale della forma differenziale lungo la curva parametrica seguente: t, 1. γ(t) (t, sin(t) + cos t + + t), Si ha (y x) y 1 (y x) 1 + (y x) 1 (y x) x (x y) 1 (y x) e quindi la forma è chiusa. Inlotre essa è definita nel piano privato dei punti in cui 1 (y x), cioè privato delle rette y x ± 1. Quindi la forma è esatta nei semipiani y > x + 1, y < x 1 e nella striscia x 1 < y < x + 1. Calcoliamo la primitiva: si ha f(x, y) e la condizione f y (y x) 1 (y x) dx (x y) 1 (y x) fornisce 1 1 (y x) d ( 1 (y x) ) log 1 (y x) + φ(y) (x y) 1 (y x) + φ (y) (x y) 1 (y x). Quindi possiamo prendere φ ed f(x, y) log 1 (y x). 8

9 Lungo la curva γ abbiamo y sin(t) + cos t + + t + t > 1 + t 1 + x. Quindi la curva si trova nel sempiano y > x + 1 e il valore dell integrale è uguale alla differenza di f agli estremi, cioè ω f(1, 5 ) f(, ) log 5 log 5. γ ESERCIZIO Sviluppare in serie di Fourier di soli seni nell intervallo, la funzione x < / f(x) 1 + x x < x esaminando la convergenza della serie ottenuta. E richiesto il disegno dell estensione periodica corrispondente. Osserviamo preliminarmente che f è discontinua nei punti e e quindi lo sviluppo convergerà puntualmente ma non totalmente. Procediamo ora con il calcolo dei coefficienti. Si ha: poiché e b / / cos x ( 1 + x ) sin xdx cos cos Si ha quindi, per x,, ( + 1) cos con convergenza solo puntuale. x cos x cos sin + sin x / / + sin per pari per dispari + cos + cos 6 cos ( cos ) ( 1) cos sin ( sin ) ( 1) +1 sin. f(x) b sin x 1 x, x x sin 9

10 ESERCIZIO Dopo aver determinato la soluzione stazionaria, risolvere il seguente problema dove u t u xx x < x <, t >, u(x, ) g(x) x, u(, t) 1, u(, t) t >, 1 + x + x x < / g(x) + x + x + x x 1 + x + x < x Calcolare anche la velocità di convergenza alla soluzione stazionaria. Si tratta di un problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore in dimensione u s + 1x 1. La soluzione stazionaria si trova risolvendo il problema, u s () 1, u s () +, la cui + 1, soluzione è: u s (x) x + x + 1. Ponendo v(x, t) u(x, t) u s (x), la funzione v deve risolvere il problema: v t v xx < x <, t >, v(x, ) f(x) x, v(, t) v(, t) t >, dove f è la funzione dell esercizio precedente. Quindi, se i coefficienti b sono come nella soluzione dell esercizio precedente, u(x, t) u s (x) + v(x, t) x + x Ne segue che, essendo max, f(x) 1 + L ed D si ha: b e t sin x. 1 ( u(x, t) u s (x) 1 + ) e t per ogni t. ESERCIZIO 5 Risolvere il seguente problema ut + x u x t sin(t ) x R, t > u(x, ) 1 + x x R. E richiesta la verifica della soluzione. Le curve caratteristiche si ottengono risolvendo il problema: x x x() x. Separando le variabili si ottiene: dx dt, 1 x x iniziale, si trova C 1 x e quindi x ϕ(x, t) 1 t + C, x t C. Imponendo la condizione x 1 x t, x ψ(x, t) 1 x xt + 1.

11 Sulle caratteristiche l equazione diventa: U t sin(t ) U() 1 + x. La soluzione generale è: U cos(t ) + C. Imponendo la condizione iniziale si trova C x e quindi U(x, t) cos(t ) + x, u(x, t) cos(t x ) + (xt + 1). Verifica. Si ha u(x, ) 1 + x e poi u t + x u x t sin(t ) x (xt + 1) + x x (xt + 1) x t (xt + 1) t sin(t ). 11

12 INGEGNERIA CIVILE - AMBIENTE E TERRITORIO ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL ESERCIZIO 1 Stabilire se la seguente forma differenziale é esatta e, in caso affermativo, calcolarne la primitiva F tale che F (, ) 1: ω e x sin(x + y) + cos(x + y)dx + e x cos(x + y)dy. Successivamente calcolare dove γ 1 (cos t, sin t), t,. γ 1 ωdl, La forma è definita su tutto il piano. Inoltre la forma è chiusa: y ex sin(x + y) + cos(x + y)} e x cos(x + y) sin(x + y) x ex cos(x + y) e quindi anche esatta. Per calcolare la primitiva prima integriamo: F (x, y) e x cos(x + y)dy e x sin(x + y) + ϕ(x). Poi deriviamo: F x ex sin(x + y) + e x cos(x + y) + ϕ (x) deve essere uguale a e x sin(x + y) + cos(x + y), quindi ϕ (x) e possiamo prendere ϕ C costante. Imponendo F (, ) 1 si trova C 1, cioè F (x, y) e x sin(x + y) + 1. Per finire, possiamo calcolare l integrale curvilineo usando la primitiva: γ 1 ωdl F ( 1, ) F (1, ) (e 1 + e) sin 1. ESERCIZIO Calcolare il seguente integrale triplo: dove A Usando le coordinate sferiche: (x + y + z )dxdydz A A (x + y + z )dxdydz (x, y, z) R : x + y + z 1, z x + y }. / 1 / cos θ/ 5 / 5. 1 ρ ρ sin θdρdθdϕ

13 ESERCIZIO Sviluppare in serie di Fourier di soli coseni nell intervallo, la funzione 1 per x 1 per f(x) < x 1 per < x 1 per < x Esaminare la convergenza della serie ottenuta e disegnare il grafico dell estensione periodica corrispondente. La funzione è discontinua e quindi la convergenza non sarà totale. Si ha a 1, / / a cos xdx cos xdx + / sin x / sin x / sin x / / / cos xdx sin x / f(x) e poi, per cos xdx Quindi 1 sin sin sin sin + / + sin. + sin cos x / / 1 x < /, / < x < / 1 / < x < /, / < x x /, /, /. OSSERVAZIONI 1) Si ha sin sin } ( 1) +1 sin e quindi a ( 1 + ( 1) +1 sin sin ). ) La funzione è dispari rispetto al punto /, e quindi i coefficienti di indice pari devono essere tutti nulli. Infatti, per m a m 1 + ( 1) m+1 sin m } m sin m Osserviamo anche che per m + 1 dispari si ha: (m + 1) (m + 1) a m+1 sin sin (m + 1) ( m sin (m + 1) + ) ( sin m + ) (m+1) 1 + ( 1) m/ per m pari 1 + ( 1) (m 1)/ per m dispari. (m+1) ESERCIZIO Risolvere il seguente problema u t u xx < x <, t >, u(x, ) f(x) x, u x (, t), u x (, t) t >, 1

14 dove f(x) è la funzione dell esercizio precedente. Si tratta di un problema di Cauchy-Neumann per l equazione del calore in dimensione 1. La soluzione è: u(x, t) 1 sin sin + sin e t cos x. ESERCIZIO 5 Risolvere il seguente problema uxx + u yy 18(x + y ) x + y < 1 u x y + 1 x + y 1. E richiesta la verifica della soluzione trovata. E un problema di Dirichlet per l equazione di Poisson nel disco unitario. In coordinate polari abbiamo: 18(x + y ) 18r, (x y + 1) x +y 1 cos θ sin θ cos θ 8 e quindi il problema diventa Urr + 1 r U r + 1 U r θθ 18r < r < 1, θ U(1, θ) cos θ θ. La soluzione va cercata nella forma U(r, θ) v 1 (r) + v (r) cos θ. Per v 1 abbiamo il problema v r v 1 18r v 1 (1) 9 8, v 1 limitata, la cui soluzione è v 1 (r) 9 8 r. Per v abbiamo il problema v + 1 r v 16 r v v (1) 1 8, v limitata, la cui soluzione è v (r) 1 8 r. Quindi la soluzione del problema iniziale è: U(r, θ) 9 8 r 1 8 r cos θ r + r cos θ sin θ x + x y + y. Verifica: u x +y 1 (x + y ) + x y x +y x y ; u xx + u yy 1x + 6y + 6x + 1y 18(x + y ). 1

15 INGEGNERIA CIVILE - ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL ESERCIZIO 1 Data, nel piano, la forma differenziale ( x ω 1 + x + y x ) dx αy 1 + x + y dy, si discuta per quali valori di α R essa risulta chiusa. In tal caso: 1) si stabilisca in quali regioni del piano la forma ω risulta esatta; ) si calcoli l integrale della forma ω lungo la curva parametrica seguente: x cos t γ : y sin t t,. Posto x X 1 + x + y x αy Y 1 + x + y bisogna trovare quel valore di α R tale che X y Y x. Risulta: ( ) y xy X y x (1 + x + y ) (1 + x + y ) ( ) x αxy Y x αy (1 + x + y ) (1 + x + y ), dalle quali otteniamo che la curva è chiusa solo per α. L insieme di definizione di ω è l intero piano R, e quindi l insieme è semplicemente connesso, proprietà che, unita alla chiusura di ω, segna l esattezza della stessa. Pertanto l integrale della forma è nullo, essendo la curva γ chiusa. ESERCIZIO Si consideri il dominio V (x, y, z) R : (x 1) + y z y + }. Calcolare F n dσ, + V con F ( x + e y, xy + arctan z, z + y sin x ). Si ha div F 1 e quindi, posto D (x, y) R : (x 1) + y y + } e usando il teorema della divergenza F n dσ dxdydz y + (x 1) y dxdy. + V V Il dominio D si può riscrivere come D (x, y) R : (x 1) + (y 1) } e quindi, usando le coordinate polari decentrate nel punto (1, 1), si ottiene (x 1) (y 1) dxdy ρ ( ρ ) dρdθ D D ρ ( ρ ) dρ (8 ) 8. ρ ρ 15

16 ESERCIZIO Sviluppare in serie di Fourier di soli seni la funzione x per x f(x) 1 per < x < x per x. Esaminare la convergenza della serie ottenuta e disegnare il grafico dell estensione periodica corrispondente. La funzione è regolare a tratti e inoltre f() f(). Quindi la serie converge totalmente. Si ha poi: Quindi b / x sin xdx + 6 cos x x + 6 sin + 1 sin x 8 sin. sin / / / + sin xdx + cos x / / / + sin sin x ( x ) sin xdx + 8 cos x cos x + x x per x 1 per < x < x per x. sin x / ESERCIZIO Risolvere il seguente problema: ut + xu x tu (1 t)x x R, t >, u(x, ) x + x R. E richiesta la verifica della soluzione trovata. Le curve caratteristiche si ottengono risolvendo il problema: x x x() x. La soluzione generale è x(t) Ce t e si trova C x e quindi: x ϕ(x, t) x e t, x ψ(x, t) xe t. Sulle caratteristiche il problema diventa: U tu (1 t)x e t U() x +. 16

17 La soluzione generale si può cercare nella forma U(t) v(t)e t. Si ha allora U v e t + tve t e quindi v (t) x (1 t)e t t, v(t) x e t t e U(t) x e t + Ce t. Imponendo la condizione iniziale si trova C e U(x, t) x e t + e t. Infine, sostituendo x e t, troviamo la soluzione: Verifica. Si ha u(x, ) x + e poi u(x, t) x + et. u t + xu x tu te t + x 1 t x + et x tx. ESERCIZIO 5 Risolvere il seguente problema: ut u xx x R, t > u(x, ) sin x x R. Si tratta di un problema di Cauchy per l equazione del calore sulla retta. Si ha: u(x, t) 1 + e s sin (x + s t)ds sin x + + e s sin(x + s t)ds 1 e s cos(s t)ds e t sin x 1 e 9t sin x. sin x + + e s sin(x + s t)ds e s cos(6s t)ds Verifica: u(x, ) sin x 1 sin x sin x, u t u xx e t sin x + 9 e 9t sin x e t sin x + 9 e 9t sin x. 17

18 INGEGNERIA CIVILE - ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL ESERCIZIO 1 Calcolare il seguente integrale 9 x y dxdy con D (x, y) R : y x + y 9}. D Il dominio D è la parte superiore (cioè ottenuta per y ) della zona ombreggiata nella figura seguente: y x 1 Passando in coordinate polari, le equazioni che costituiscono D diventano: ρ sin θ ρ 9. Da cui: θ,, sin θ ρ. Riscriviamo ora l integrale passando in coordinate polari: sin θ ρ 9 ρ dρdθ / ( 9 ρ ) / sin θ dθ ( 9 9 sin θ ) / dθ cos θ dθ (1 sin θ)d(sin θ) sin θ 1 sin θ / ESERCIZIO Calcolare l integrale V ( x + y + z ) dxdydz, 18

19 dove V è la regione al di sotto del paraboloide z 5 x y, all interno del cilindro x + y e al di sopra del piano xy. In coordinate cilindriche la regione si esprime con le condizioni: z 5 ρ, ρ, θ. Quindi: V ( x + y + z ) dxdydz 5 ρ 5 ρ ρ ( ρ + z ) dzdρdθ ρ ( ρ + z ) dzdρ zρ + ρz 5 ρ dρ (5 ρ ) ρ + ρ ( 5 ρ ) dρ 5 ρ 1 6 ρ6 + 5 ρ 5 ρ ρ ESERCIZIO Sviluppare in serie di Fourier di soli coseni la funzione x < /6 1 /6 x / f(x) / < x < / 1 / x 5/6 5/6 < x. Esaminare la convergenza della serie ottenuta e disegnare il grafico dell estensione periodica corrispondente. La funzione è discontinua e quindi la convergenza non sarà totale. Si ha a 1, Quindi 1 a sin 6 sin / /6 5/6 cos xdx + / + sin x /6 sin x sin 6 sin sin / 5/6 sin cos xdx / 5 + sin cos x sin /6 < x < /, f(x) e poi, per 1 / < x < 5/6, 1/ x /6, /, 1/ x /, 5/6, altrove.

20 OSSERVAZIONE La funzione è dispari rispetto al punto /, e quindi i coefficienti di indice pari devono essere tutti nulli. Infatti, sin ( sin ) ( 1) +1 sin sin 5 ( 6 sin ) ( 1) +1 sin 6 6 e quindi a 1 + ( 1) +1 ( sin 6 sin ) pari ( sin 6 sin ) dispari. ESERCIZIO Risolvere il seguente problema: dove f è la funzione dell esercizio precedente. u t 5u xx < x <, t >, u(x, ) f(x) + 1 x R, u x (, t) u x (, t) x R, Si tratta di un problema di Cauchy-Neumann per l equazione del calore in dimensione 1. Osserviamo che a (f + 1) a (f) + a (1) e che a (1), a (1) per 1. Alternativamente, la serie di Fourier di f(x) + 1 si ottiene aggiungendo 1 a quella di f. Quindi la soluzione è: u(x, t) sin 6 sin sin + sin 5 6 e 5t cos x. ESERCIZIO 5 Dopo aver calcolato e disegnato le caratteristiche, risolvere il seguente problema: ut 5uu x x R, t >, dove u(x, ) g(x) x R, g(x) x x > x x <. E richiesta la verifica. Caratteristiche: x x + x t per x >, x x + 15x t per x <. Soluzione in forma implicita: x + 5ut x u x + 5ut x < e quindi Verifica: per x > u t 5uu x per x < u t 5uu x u(x, t) x 1+t x, x 1+15t x <. 8x (1 + t) 5 x 1 + t 5x (1 + t) 5 x 1 + t, 1 + t u(x, ) x;, 1 + t u(x, ) x.

21 INGEGNERIA CIVILE - AMBIENTE E TERRITORIO ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL ESERCIZIO 1 Utilizzando le formule di Green-Gauss, calcolare y dx + x dy + D dove D è il dominio delimitato dalle curve y x + x e y. + D y dx + x dy (x y)dxdy D 1 x +x (x y)dxdy xy y y x +x y dx ( x + x ) (x x + x )dx (x x )dx ESERCIZIO Calcolare + Ω F ndσ dove Ω è il dominio poggiato sopra il piano z, interno alla superficie x + y, esterno a z x + y ed F (xz, yx, zy ). Si ha div F z + x + y e quindi, utilizzando il teorema della divergenza e poi le coordinate cilindriche, si trova: F ndσ (z + x + y )dxdydz + Ω Ω ρ 1 5. (z + ρ )ρdzdρdθ z ρ + zρ zρ z dρ (ρ + ρ )dρ 1

22 ESERCIZIO Sviluppare in serie di Fourier di soli seni la funzione per x <, f(x) x per x <, x per < x, per < x. Esaminare la convergenza della serie ottenuta e disegnare il grafico dell estensione periodica corrispondente. La funzione è discontinua e quindi la serie non converge totalmente. Si ha poi: Quindi b / / cos x x cos ( x) sin xdx + sin x cos / cos x + / / x sin xdx / + sin cos x x sin x + sin sin per x,, b sin x f(x) per x,, x,. 1 OSSERVAZIONE. La funzione è pari rispetto al punto e quindi i coefficienti di indice pari devono essere uguali a zero. In effetti, utilizzando le identità cos cos cos ( cos ). / / e si trova che sin + sin sin ( + sin b cos ( 1) cos per pari cos per dispari, ) per pari sin per dispari per pari 8 cos + sin ( 1)( 1)/ per dispari. ESERCIZIO Dopo aver determinato la soluzione stazionaria, risolvere il seguente problema u t u xx cos x < x <, t >, u(x, ) f(x) + cos x x, u(, t) 1, u(, t) 1 t >,

23 dove f(x) è la funzione dell esercizio precedente. soluzione stazionaria. Calcolare anche la velocità di convergenza alla Si tratta di un problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore in dimensione 1. La soluzione u s cos x, stazionaria si trova risolvendo il problema, la cui soluzione è: u u s () 1, u s () 1, s (x) cos x. Ponendo v(x, t) u(x, t) u s (x), la funzione v deve risolvere il problema: v t v xx < x <, t >, v(x, ) f(x) x, v(, t) v(, t) t >, dove f è la funzione dell esercizio precedente. Quindi, se i coefficienti b sono come nella soluzione dell esercizio precedente, u(x, t) u s (x) + v(x, t) cos x + b e t sin x. 1 Ne segue che, essendo max, f(x) L ed D si ha: u(x, t) u s (x) 8 e t per ogni t. ESERCIZIO 5 Risolvere il seguente problema uxx + u yy 1 xy x + y < 1 u 1 x + y 1. E richiesta la verifica della soluzione trovata. E un problema di Dirichlet per l equazione di Poisson nel disco unitario. In coordinate polari abbiamo: 1 xy 1 r sin θ, 1 x +y 1 1 e quindi il problema diventa Urr + 1 r U r + 1 U r θθ 1 r sin θ < r < 1, θ U(1, θ) 1 θ. La soluzione va cercata nella forma U(r, θ) v 1 (r) + v (r) sin θ. Per v 1 abbiamo il problema v r v 1 1 v 1 (1) 1, v 1 limitata, la cui soluzione è v 1 (r) + 1 r. Per v abbiamo il problema v + 1 r v v r r v (1), v limitata, la cui soluzione è v (r) 1 1 r 1 1 r. Quindi la soluzione del problema iniziale è: U(r, θ) + 1 r r sin θ 1 1 r sin θ + 1 (x + y ) xy 1 6 (x + y )xy.

24 Verifica: u x +y ; ( ) 1 u xx + u yy xy + ( ) 1 xy 1 xy.

25 INGEGNERIA CIVILE - AMBIENTE E TERRITORIO ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL ESERCIZIO 1 Si consideri la forma differenziale 1. Stabilire se ω è chiusa. ω y x + 1 (1 + x + y ) dx xy (1 + x + y ) dy.. Dire se ω è esatta ed in caso affermativo, determinare tutte le sue primitive (suggerimento importante: per ottenere la primitiva si consiglia di calcolare Y dy).. Calcolare l integrale curvilineo γ ω, dove γ è la circonferenza di centro (1,) e raggio. La forma è chiusa: e poi X y y(x + y + 1) y(y x + 1) (x + y + 1) 6x y y y (x + y + 1) Y x y(x + y + 1) + x xy (x + y + 1) 6x y y y (x + y + 1) e quindi X y Y x. Inoltre è definita in tutto R, e quindi è esatta. Calcolo della primitiva: xy xd(x F (x, y) (x + y + 1) dy + y + 1) x (x + y + 1) dy x + y ϕ(x), e poi imponendo F x X troviamo che deve essere y x + 1 (1 + x + y ) + ϕ (x) y x + 1 (1 + x + y ) e quindi ϕ e possiamo prendere F (x, y), Per finire, essendo la forma esatta, il suo x +y +1 integrale su una curva chiusa come la circonferenza nel testo vale zero. OSSERVAZIONE. Se si usa Xdx per il calcolo della primitiva si trova un integrale più difficile: utilizzando l integrazione per decomposizione e quella per parti abbiamo y x + 1 (1 + x + y ) dx y + x + 1 (1 + x + y ) dx x d(1 + x + y ) (1 + x + y ) x + y dx + x x + y + 1 x x + y ϕ(y). x x + y dx ESERCIZIO Sia D la regione piana delimitata dalle curve y x e y x. Calcolare il volume del solido ottenuto ruotando D attorno all asse x. 5

26 Utilizzando il Teorema di Guldino, si trova: Volume ydxdy D 1 x x ydxdy y x dx x (x x 6 )dx ESERCIZIO Sviluppare in serie di Fourier di soli seni la funzione 6x per x < 6 f(x) 1 per 6 x x per < x. Esaminare la convergenza della serie ottenuta e disegnare il grafico dell estensione periodica corrispondente. La funzione è regolare a tratti e inoltre f() f(). Quindi la serie converge totalmente. Si ha poi: b /6 6x sin xdx + / sin xdx + ( ) /6 x sin xdx / 6 cos x sin x /6 x + + cos x / + 8 cos x cos x sin x / + x / 1 sin sin. Quindi 1 6 sin 6 + sin sin x ESERCIZIO Risolvere il seguente problema di Cauchy: ut xu x x R, t >, u(x, ) x x R. E richiesta la verifica della soluzione trovata. Le caratteristiche si trovano risolvendo il problema x x x() x, 6 6x per x < 6 1 per 6 x x per < x.

27 e quindi ϕ(x, t) x e t, ψ(x, y) xe t. Sulle caratteristiche l equazione diventa: U 1 U(x, ) x la cui soluzione è U(x, t) t + x. Infine, u(x, t) t + x e t. Verifica: u(x, ) x, u t xu x (1 + x e t ) x(xe t ) 1. ESERCIZIO 5 Risolvere il seguente problema di Cauchy: ut u xx x R, t >, u(x, ) e x sin x x R. E richiesta la verifica della soluzione trovata. Si tratta di un problema di Cauchy per l equazione del calore sulla retta. Verifica: e poi u(x, t) 1 + e s e x+s t sin (x + s t)ds ex+t + e (s t) 1 cos(x + s t) ds ex+t ex+t ex+t + cos(x + 8t) ex+t (r s t) e x+t cos(x + 8t) ex+t ex+t ex cos(x + 8t). e (s t) cos(x + t) + (s t) tds + + e (s t) cos(s t) tds e r cos(r t)dr u(x, ) 1 ex 1 ex cos x e x sin x u t u xx e x+t + e x sin(x + 8t) e x+t e x cos(x + 8t) + e x sin(x + t) + e x cos(x + 8t). 7