PROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA II(N.O.), ANNO 2012/13

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1 PROVE SRITTE DI ANALISI MATEMATIA II(N.O.), ANNO / Prova scritta del /6/ Si calcoli la serie di Fourier della funzione f(x) = x sin x, nell intervallo [ π, π]. [Sugg.: si rammenti che, per n, si ha sin nx sin xdx = cos nx cos xdx =.] E data nello spazio IR la forma differenziale ω = x A dx + y A dy + (z A + x)dz, dove A é il numero delle lettere del cognome. Dopo aver osservato che ω xdz é una forma esatta, si calcoli l integrale curvilineo ω lungo la curva chiusa (detta curva di Lissajous) di equazioni x = sin(t) cos(t) y = sin(t) sin(t) z = cos(t), per t [, π]. E data, nel piano (x, y), la curva Γ di equazione y = cosh x, per x [, ] (N.B.: cosh é la funzione coseno iperbolico). Dopo aver calcolato la lunghezza di Γ e le coordinate del suo baricentro, si trovino le aree delle superficie di rotazione ottenute facendo ruotare di un giro completo Γ attorno all asse x e attorno all asse y. Soluzioni compito /6/ Poiché la funzione assegnata é pari, si avra uno sviluppo di soli coseni. Si ha ora, facilmente: π Inoltre, ancora facilmente si trova x sin xdx = x sin xdx = π, da cui a =. π x sin x cos xdx = π, da cui a =,

2 e, per n, sfruttando il suggerimento: π x sin x cos nxdx = ( ) n+ π n, da cui a n = ( ) n+ n. Pertanto, lo sviluppo richiesto é x sin x = cos x + n= ( ) n+ n cos nx. La forma differenziale ω é somma di una forma esatta (x A dx + y A dy + z A dz) e della forma xdz. Pertanto, poiché la curva é chiusa, bastera calcolare π π xdz = sin cos(t) (t) cos(t)dt = cos(t)dt = π cos (t)dt. on la sostituzione u = t, avremo dt = du e e quindi π cos (t)dt = 4π ω = π = π. cos udu = π La lunghezza di Γ si trova mediante il seguente integrale: L = + sinh xdx = L ascissa x G del baricentro é data da x G := sinh x + sinh xdx = sinh L ordinata y G del baricentro é invece data da cosh xdx = sinh(). x cosh xdx = (+sinh cosh ) = sinh + e. da cui y G = Ly G = sinh() (cosh(x) ) cosh(x)dx [ ] (x + sinh(x) cosh(x)) sinh(x) = = ( + sinh() cosh()) sinh() e quindi y G = sinh + cosh.

3 Ora, per il teorema di Guldino, le due aree richieste sono: A = πly G = π( + sinh() cosh()) π sinh()).4546, (rotazione attorno all asse x), e (rotazione attorno all asse y). A = πlx G = 4π sinh + e.977 Prova scritta del 6/6/ Si calcoli la serie di Fourier della funzione f(x) = x x, nell intervallo [ π, π]. Si consideri, nel suo dominio di definizione, la forma differenziale definita dalle seguenti leggi: X(x, y, z) = ω = Xdx + Y dy + Zdz, x x + y + z, Y (x, y, z) = y + z,, Z(x, y, z) = x + y + z e si calcoli l integrale curvilineo ove é la curva avente la seguente parametrizzazione: x = cos t, y = sin t, z = sin t cos t, con t [, π ]. ω, x + y + z, Si consideri, nel piano (x, y), la regione limitata E la cui frontiera é la curva regolare definita dalle seguenti equazioni parametriche: { x = cos θ + sin θ, y = sin θ cos θ, θ [, π]. Dopo aver calcolato l area di E, si trovi l area della superficie piana ottenuta intersecando il piano di equazione z = x+y+ con il cilindro di equazione (x y) 4 + (x+y) 9 =.

4 Soluzioni compito 6/6/ Poiché f é dispari, il suo sviluppo sara di soli seni, e quindi del tipo ove b n = π x x sin(nx)dx = π π π parti, si ottiene, per n : e, ancora per parti: In conclusione, si otterra x x = n= b n sin(nx), x sin(nx)dx, per n. Ora, procedendo per x sin(nx)dx = ( )n π + n n x cos(nx)dx = n x cos(nx)dx, sin(nx)dx = ( )n n. e quindi la serie di Fourier cercata é x sin(nx)dx = ( )n π n + ( )n n, x x = π n= + ( ) n ( π n ) n sin(nx), per x ] π, π[. La forma differenziale, che é definita in IR \ {(,, )}, non é esatta, in quanto non é chiusa. Tuttavia, é esatta la forma ω := ω dy x + y + z, in quanto un potenziale di ω é F (x, y, z) = x + y + z. Pertanto, l integrale curvilineo richiesto, tenendo conto anche del fatto che lungo risulta x +y +z =, si puo calcolare come segue: ω = = + / ω + dy x + y + z = sin t cos tdt = sin ( π ) = 4. 4

5 Per calcolare l area di E ci si puo servire delle formule di Green: per esempio, denotata con Γ la frontiera di E, si ha Area(E) = = Γ π xdy = ( + 4 π (cos θ + sin θ)( cos θ + sin θ)dθ = sin θ cos θ)dθ = π dθ = π. Quanto alla seconda domanda, osserviamo innanzitutto che la curva Γ non é altro che l intersezione del cilindro con il piano xy: infatti, da x = cos θ + sin θ e y = (x y) sin θ cos θ si ricava subito + (x+y) =. Allora bastera evidentemente 4 9 calcolare l integrale ds, dove ds é l elemento di superficie del piano di equazione E z = x + y + : una semplice applicazione delle formule fornisce ds = dxdy. In conclusione, l area richiesta é uguale a Area(E) = π. Prova scritta del /7/ ) Si calcoli, utilizzando la funzione Γ, l integrale M := + x e x dx. ) Sfruttando la relazione x tx = (x t ) t, si espliciti poi la funzione 4 F (t) = + e tx e x dx, e si confronti il valore di M con F (). Nel piano xy si consideri l ellisse di equazione x + y xy =, e si calcoli l area della regione da essa delimitata. [Sugg.: si osservi che l equazione data é equivalente a: X + Y =, ove X = y x e Y = y...] Detta S la semisfera definita da S := {(x, y, z) : x + y + z =, z y x}, si calcoli, mediante il teorema di Stokes, il flusso del rotore del campo F = (x+y, y, z) uscente da S. 5

6 Soluzioni compito /7/ ) L integrale esiste sicuramente, a causa dell ordine di infinitesimo dell esponenziale. Inoltre, poiche l integranda é una funzione pari, si ha + x e x dx = + x e x dx. Mediante la sostituzione x = t, e quindi dx = dt, l ultimo integrale diviene t M = + x e x dx = ) Sfruttando il suggerimento, si ha Risulta pertanto F (t) = + e in conclusione F () = π = M. + e (x t ) e t 4 dx = e t 4 te t dt = Γ( ) = Γ( ) = π. + e u du = πe t 4. π F (t) = te t π 4, F (t) = e t π t e t Denotando con E la regione delimitata dall ellisse, e tenendo conto del suggerimento, si vede facilmente che tale regione e la trasformata, mediante le leggi {X = y x, Y = y}, con inverse {x = Y X, y = Y }, del disco D del piano XY delimitato dalla circonferenza di equazione X + Y =. Poiche l area di D é π e lo Jacobiano (in modulo) della trasformazione é pari a, possiamo concludere che l area di E é π. Lo stesso risultato si sarebbe ottenuto scrivendo in forma parametrica l equazione dell ellisse frontiera di E (ancora adoperando la trasformazione suddetta): da X = cos t e Y = sin t si ricava infatti { x = ( Y X ) = sin t 6 cos t y = Y = sin t, (t [, π]), e calcolando l integrale curvilineo ydx (prestando attenzione al verso E di percorrenza della frontiera) si ottiene π Area(E) = ( cos t + sin t π sin t ) sin tdt = dt = π. 6 (V. anche svolgimento dell esercizio seguente). 6 4,

7 Usando il teorema di Stokes, basta calcolare l integrale curvilineo della forma differenziale (x + y)dx + ydy + zdz lungo la circonferenza ottenuta intersecando la sfera unitaria con il piano z = y x. (Osserviamo che tale circonferenza ha raggio, in quanto il piano passa per l origine). Tuttavia, prima di calcolare l integrale curvilineo, osserviamo che la forma differenziale (x + y)dx + ydy + zdz é somma di una forma esatta e della forma ω = ydx, per cui bastera limitarsi a calcolare l integrale curvilineo di quest ultima. Per ricavare l equazione della circonferenza suddetta, osserviamo che, sostituendo z con y x nell equazione della sfera, si ottiene x + y xy =, equazione equivalente a quella della frontiera di E (v. svolgimento esercizio precedente, seconda parte). Dunque, le equazioni parametriche della circonferenza cercata sono le seguenti: Si ha allora S rot( F ) nds = x = sin t 6 cos t y = sin t z = y x = sin t 6 + cos t. E π ydx = sin t( cos t + sin t )dt = 6 π sin t = dt = π, il segno meno essendo dovuto al verso di percorrenza, e avendo trascurato il termine in sin t cos t che da contributo nullo all integrale. Il calcolo si sarebbe potuto effettuare piu rapidamente, sempre grazie al teorema del rotore, calcolando direttamente il flusso uscente dal disco contenuto nel piano di equazione z = y x e delimitato dalla circonferenza : infatti, in tal caso avremmo trovato n = (,, ), rot( F ) = (,, ), e quindi rot( F ) n =, costante. L area del disco é ovviamente π, in quanto é un cerchio massimo nella sfera unitaria. In conclusione, il flusso cercato é dato dal prodotto di tale area per, concordemente con quanto gia trovato in precedenza. 7

8 Prova scritta del 8/9/ Si consideri la serie di potenze n= ( ) n x n. n Dopo averne determinato il raggio r di convergenza, se ne calcoli la somma, utilizzando il seguente noto sviluppo in serie: 4x = + valido con lo stesso raggio di convergenza. n= ( ) n x n+ n n +, Si consideri la forma differenziale in due dimensioni: y ω = (x + ) + y dx + x + (x + ) + y dy. Si riconosca che ω non é una forma esatta nel suo dominio di definizione e si valuti l integrale ω dove é la circonferenza di equazione (x ) + y =. a) Si consideri, nel piano (x, y), la curva chiusa Γ (asteroide) di equazioni parametriche { x = cos θ y = sin θ, con θ [, π], e si calcoli l area della regione delimitata da tale curva. [Sugg.: all occorrenza, si ponga cos 4 θ sin θ = cos θ(sin θ cos θ) e si usino le formule di duplicazione...] b) Si calcoli l area della superficie S ottenuta intersecando il piano Π di equazione z = 4x + y con la superficie di equazione x / + y / =. Soluzioni compito 8/9/ Applicando il criterio del rapporto, troviamo a n a n+ = e quindi si vede facilmente che r = 4. (n)!(n + )!(n + )! n!n!(n)!(n + )(n + ) = n + (n + ), 8

9 Dallo sviluppo noto, derivando termine a termine, troviamo = 4x n= ( ) n x n n e quindi risulta, per x < 4 : n= ( ) n x n = n 4x. La forma differenziale ω é definita e di classe nel dominio IR \ {(, )}. alcoli di routine mostrano che essa é chiusa. Tuttavia essa non é esatta, poiché l integrale curvilineo lungo la circonferenza di equazione (x + ) + y = vale π. Ora, poiché la circonferenza (x ) + y = ha centro in (, ) e raggio, essa giace completamente in un sottodominio rettangolare nel quale ω é esatta (per es. il semipiano x > ). Pertanto l integrale curvilineo richiesto é nullo. a) Per il calcolo dell area A si possono usare le formule di Green: π / A = xdy = sin θ cos 4 θdθ = sin θ cos 4 θdθ, Γ (l ultima uguaglianza valendo per motivi di simmetria). Seguendo il suggerimento, si trova + cos(θ) sin θ cos 4 sin (θ) θdθ = dθ. 4 Ora, separando i due addendi, si perviene a 8 sin θ cos 4 θdθ = sin (θ)dθ + sin (θ) cos(θ)dθ = dunque = sin θ cos 4 θdθ = θ sin(θ) cos(θ) 4 + sin θ 6 θ sin(θ) cos(θ) + + sin θ alcoli di routine conducono ora alla conclusione: l area é uguale a 8 π. b) Si vede facilmente che la superficie di equazione x / + y / = interseca il piano xy proprio in Γ. Pertanto, l equazione della superficie S non é altro che l equazione del piano z = 4x + y ristretta al dominio circoscritto da Γ. Poiché l elemento di superficie é 5dS, l area cercata é 5 volte quella calcolata in precedenza, ossia 5 8 π. 9

10 [ π, π]. Prova scritta del // Si trovi la serie di Fourier della funzione f(x) = sin 4 x sin x, nell intervallo [Sugg.: si utilizzino le formule di bisezione/duplicazione e la relazione (valida per ogni x reale) sin 4 x = sin x 4 sin (x).] Nello spazio IR sia Q il solido avente come frontiera la superficie S di equazione (x y) + y z =. Dopo aver individuato una trasformazione lineare T : IR IR che trasformi Q nella palla unitaria, si calcoli il volume del solido Q. Si consideri la curva ottenuta intersecando il paraboloide di equazione z = x + y con il piano z = 4x + 4y, e si trovino i punti di ascissa massima e minima di. Soluzioni compito // hiaramente, essendo sin 4 x sin x = sin x cos x, la relazione é valida per ogni x, e quindi sin 4 x = sin x 4 sin (x) f(x) = cos (4x) = 4 8 cos(4x). 8 Questo é esattamente lo sviluppo richiesto della funzione (pari) f. Ovviamente, la trasformazione piu naturale é data dalle leggi X = x y, Y = y, Z = z, da cui facilmente si ricavano le inverse: x = X + Y, y = Y, z = Z. Lo Jacobiano é poi una costante: J = 6, e infine (indicando con B la palla unitaria): V ol(q) = dxdydz = JdXdY dz = 6V ol(b) = 6 4 π = 8π. Q B

11 Basterebbe semplicemente mettere a sistema le equazioni dei due vincoli, per ottenere la condizione (x ) + (y ) = 8 (circonferenza centrata in (, ) e raggio ), da cui facilmente si vede che il massimo valore possibile per la x é + e il minimo é. D altra parte, adoperando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, basta cercare il massimo e minimo valore della funzione F (x, y, z) = x, con i vincoli z x y =, e z 4x 4y =. alcolando il gradiente della Lagrangiana, si ottengono le equazioni λ x 4λ x =, λ y + λ =, λ + λ =, (oltre a quelle dei due vincoli). onfrontando la seconda con la terza, e osservando che non puo risultare simultaneamente λ = λ =, si vede facilmente che si deve avere y = : dai vincoli allora si ricava x + 4 = 4x + 8, le cui soluzioni sono x = ± 8, cioé appunto i due estremi cercati. Prova scritta del 5//4 E data la serie di potenze n= b n n xn, dove i termini b n verificano le seguenti relazioni: n =,,... b =, b n+ b n = n +, ) Si determini esplicitamente il valore dei termini b n, e si trovi il raggio di convergenza della serie. ) Detta S(x) la somma della serie nell insieme di convergenza, si dimostri che risulta S(x) S(x) = e x x Si consideri la seguente forma differenziale in IR : ω = ydx xdy + dz. ) Si calcoli esplicitamente l integrale curvilineo di ω lungo la curva chiusa ottenuta intersecando il piano z = x + y + con il cilindro di equazione x + y =. ) Si valuti lo stesso integrale mediante il teorema del rotore.

12 Detto Γ il cono di equazione z = x + y, si calcoli l area della porzione di Γ compresa fra il piano xy e la curva intersezione di Γ con il cilindro di equazione x + y =. Soluzioni compito 5//4 Scrivendo i primi termini b n, si vede facilmente che b n =, per n. n! Allora, la serie di potenze si puo scrivere come segue: n= n!( n ) xn. Applicando il criterio del rapporto, si vede facilmente che il raggio di convergenza é infinito, per cui la serie data converge per ogni x. Ora, naturalmente si ha S(x) = n= n n!( n ) xn, e S(x) = n!( n ) xn, per cui la relazione da dimostrare si ottiene cosi : S(x) S(x) = n= n= n n!( n ) xn = n! xn = e x x. n= ) Le equazioni parametriche della curva chiusa sono: x = cos t, y = sin t, z = cos t + sin t +, con t [, π]. L integrale curvilineo richiesto si calcola allora come segue: π ω = (sin (t) + cos (t) sin(t) + cos(t))dt = π. ) Per adoperare il teorema del rotore, porremo U = (y, x, ): il rotore del campo U coincide con il vettore e (ove e denota il versore dell asse z). La normale al piano z = x + y + ha componenti parallele a (,, ), e quindi il suo versore é dato da n = (,, ). L elemento di superficie del piano é invece dxdy = dxdy. Allora, detta Σ la superficie di piano circondata da, l integrale da calcolare é rot(u) nds, Σ ossia dxdy B

13 dove B é il disco nel piano xy di centro l origine e raggio. Facilmente si vede che l ultimo integrale non é altro che il doppio dell area di B, cioé π, lo stesso risultato ottenuto precedentemente. L elemento di superficie ds di Γ é: ds = + ( z x ) + ( z y ) dxdy = dxdy. Il dominio d integrazione é chiaramente la regione di piano xy circondata dall ellisse di equazione x + y =, e quindi l area cercata non é altro che l area di tale ellisse, moltiplicata per. Poiché l ellisse ha semiassi lunghi e rispettivamente, la sua area é π, e quindi in definitiva l area della superficie da calcolare é π. Prova scritta del //4

14 E data la serie di funzioni n= e nx n, per x IR. ) Si trovi l insieme di convergenza, e si determini, se esiste, una semiretta ove la serie converga totalmente. ) Si calcoli la somma della serie, nel suo insieme di convergenza. Sia Γ la curva grafico della funzione y = x + x, per x [, ]. Siano poi S il segmento della retta y =, compreso fra i punti (, ) e (, ), e S il segmento dell asse y compreso fra i punti (, ) e (, ). Detta F la curva chiusa composta da Γ, S e S, orientata in senso antiorario, si calcoli il seguente integrale curvilineo: ω, ove ω = xdy ydx + e y dy. Si consideri, nel piano xy, la curva grafico della funzione y = xe x, con x [, ], e si calcoli il volume del solido di rotazione E, ottenuto facendo ruotare di un angolo giro attorno all asse y la regione di piano delimitata da, dall asse y e dalla retta y = e. F di potenze: Soluzioni compito //4 ) Essendo e nx = (e x ) n per ogni n e x, la serie si puo trattare come serie e nx n= n = ove y = e x. La serie di potenze in y ha raggio di convergenza, e quindi la serie data converge per ogni x > : infatti, per x > si ha y = e x <. Per x = la serie diventa quella armonica, e diverge. Si ha ovviamente divergenza per x <, e convergenza totale nella semiretta x : infatti in quell insieme si ha e nx per ogni n, e la serie n e n n ) La somma della serie, per x >, é data da n= y n n, é convergente, per quanto detto prima. S(x) = ln( e x ) : 4 n e n n,

15 infatti, ritornando alla serie di potenze in y, si ha, per y < : n= y n y n = t n dt = n= y dt = log( y). t Risostituendo y = e x si trova esattamente l espressione suddetta di S(x). La forma differenziale ω si puo riguardare come la somma della forma xdy ydx con la forma esatta e y dy. Pertanto l integrale curvilineo richiesto si riduce a calcolare F (xdy ydx) = J, dove J é (come conseguenza delle formule di Green) il doppio dell area della regione circondata da F. Per ottenere J basta fare il seguente calcolo: e infine F ω = 5. J = (x + x )dx = ( + 4 ) = 5 4, La funzione f(x) = xe x é positiva e crescente per x [, ]. Pertanto, la sua funzione inversa g é positiva e crescente per y [, e]. Il volume cercato si puo calcolare mediante la formula V ol = π e g(y) dy = π g (f(x))f (x)dx = π Un semplice calcolo di integrale per parti fornisce infine V ol = π(e + 6 e) = π(4 e). x (e x + xe x )dx. 5