INGEGNERIA MECCANICA - CANALE L-Z ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL COMPITO A. ( 1) k 2k + 1 e(2k+1)(x+y),

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1 1 INGEGNERIA MECCANICA - CANALE L-Z ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL COMPITO A ESERCIZIO 1 Studiare la convergenza assoluta, puntuale e totale della serie k + 1 e(k+1)(x+y), rappresentando, graficamente, gli insiemi di convergenza puntuale e totale. Calcolare esplicitamente la somma. Sia t e x+y, e si consideri la serie di potenze: k + 1 tk+1. Tale serie converge semplicemente e assolutamente quando t ( 1, 1) e totalmente in [ r, r] per ogni numero r (, 1), conclusione che si può derivare facilmente calcolando il raggio di convergenza (R 1). Per t ±1 converge semplicemente (criterio di Leibniz) ma non assolutamente; a noi interesserà solo il caso t 1. Ricordando che la la serie in t è lo sviluppo di Maclaurin della funzione arctan: arctan t possiamo calcolare agevolmente la somma: k + 1 tk+1, k + 1 e(k+1)(x+y) arctan e x+y. Poiché t e x+y, la serie data converge puntualmente per e x+y (, 1], quindi nell insieme x + y, assolutamente in x + y < e totalmente negli insiemi x + y δ con δ <. ESERCIZIO Calcolare + V F ndσ dove V è il volume delimitato dalla superficie z 1 x + y e dai piani z, z 1 ed F ( 4xy, yz, 4zx ). Si ha div F 4x + z + 4y e quindi, usando il teorema della divergenza e le coordinate

2 cilindriche, + V F ndσ (4x + z + 4y )dxdydz V π 1 z π π (4ρ + z)ρdρdzdθ [ ρ 4 + zρ ] ρ1 z ρ dz [ (z 1) 4 + z(1 z) ] dz [ 1 π 5 (z 1) z4 3 z3 + z 87 3 π. ] 1 ESERCIZIO 3 Determinare il minimo e il massimo assoluto della funzione f(x, y) x + y x 4y + 1 nel triangolo T del piano che ha come vertici i punti (, ), (1, ) e (, ). La funzione è continua, l insieme chiuso e limitato e quindi massimo e minimo assoluti esistono. L equazione f si traduce nel sistema { x 4y 4 che ha l unica soluzione (1, 1), dove f(1, 1). Dall analisi del determinante Hessiano si vede facilmente che (1, 1) è un punto di minimo relativo. Sulla base del triangolo troviamo la funzione ϕ(x) f(x, ) x x + 1 (x 1), x, che ha un minimo relativo per x 1, dove ϕ(1). Inoltre f(, ) ϕ() 1 f(, ) ϕ(). Sul lato sinistro troviamo la funzione ψ(y) f(y/, y) 9 4 y 5y + 1, y, che ha un minimo relativo per y 1 9, dove ψ(1/9) Inoltre ψ() f(1, ). Sul lato destro troviamo nuovamente la funzione ψ(y) f( y/, y) 9 4 y 5y + 1, y. In conclusione, il minimo assoluto vale ed è assunto nel punto (1, 1), il massimo assoluto vale 1 ed è assunto nei punti (, ) e (, ). OSSERVAZIONE 1 Scrivendo la funzione nella forma f(x, y) (x 1) + (y 1), si vede subito che (1, 1) è il punto di minimo assoluto. OSSERVAZIONE Il dominio è simmetrico rispetto alla retta x 1 e la funzione pari rispetto a tale retta, e questo spiega perché sui due lati troviamo la stessa ψ(y).

3 3 ESERCIZIO 4 Determinare se la seguente forma differenziale y cos xdx + y(x + sin x)dy è esatta e in caso affermativo calcolare una primitiva. Ponendo F 1 (x, y) y cos x e F y(x + sin x) troviamo che F 1 y 4y cos x, F x y(1 + cos x) ed essendo cos x 1 + cos x, la forma è chiusa. Essendo il suo insieme di definizione tutto R, è anche esatta. Per calcolare la primitiva f integriamo il primo coefficiente: ( f(x, y) y cos xdx y x + 1 ) sin x + ϕ(y) e imponendo f y y(x + sin x) troviamo l equazione y(x + sin x) + ϕ (y) y(x + sin x) per cui possiamo prendere ϕ ed f(x, y) y ( x + 1 sin x). ESERCIZIO 5 Data la curva di equazione x 1 cos t y sin t, t [, π] z cos t calcolare i versori tangente, normale e binormale, la curvatura e la torsione. Poniamo r(t) (1 cos t, sin t, cos t), da cui: r (t) (sin t, cos t, sin t), r (t), T(t) ( 1 sin t, cos t, 1 ) sin t dove T(t) il versore tangente. Per calcolare il versore normale bisogna prima scrivere il vettore T (t) e il suo modulo. Ovvero: ( 1 T (t) cos t, sin t, 1 ) cos t, T (t) 1, da cui si ottiene facilmente l espressione del versore normale: N(t) T (t) T (t) ( 1 cos t, sin t, 1 cos t ).

4 4 Essendo poi la curvatura è data dalla formula: ed è quindi costante. r (t) r i j k (t) sin t cos t sin t cos t sin t cos t ( i k) r (t) r (t) r (t) 3 Poiché x 1 z, la curva è piana e quindi la torsione è nulla e il versore binormale costante. Quindi: i j k B B() T() N() i 1 k.

5 5 INGEGNERIA MECCANICA - CANALE L-Z ANALISI MATEMATICA II SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL COMPITO B ESERCIZIO 1 Studiare la convergenza assoluta, puntuale e totale della serie k + 1 e(k+1)(x+y), rappresentando, graficamente, gli insiemi di convergenza puntuale e totale. Calcolare esplicitamente la somma. Sia t e x+y, e si consideri la serie di potenze: k + 1 tk+1. Tale serie converge semplicemente e assolutamente quando t ( 1, 1) e totalmente in [ r, r] per ogni numero r (, 1), conclusione che si può derivare facilmente calcolando il raggio di convergenza (R 1). Per t ±1 converge semplicemente (criterio di Leibniz) ma non assolutamente; a noi interesserà solo il caso t 1. Ricordando che la la serie in t è lo sviluppo di Maclaurin della funzione arctan: arctan t possiamo calcolare agevolmente la somma: k + 1 tk+1, k + 1 e(k+1)(x+y) arctan e x+y. Poiché t e x+y, la serie data converge puntualmente per e x+y (, 1], quindi nell insieme x + y, assolutamente in x + y < e totalmente negli insiemi x + y δ con δ <. ESERCIZIO Calcolare + V F ndσ dove V è il volume delimitato dalla superficie z 1 + x + y e dai piani z, z 1 ed F ( xz, 4yx, 4zx ).

6 6 Si ha divf z + 8x e quindi, usando il teorema della divergenza e le coordinate cilindriche, F ndσ ( z + 8x )dxdydz + V V π 1 1+z π 1 π 1 π 87 3 π. (8ρ cos θ z)ρdρdzdθ [ ρ 4 cos θ zρ ] ρ1+z ρ dzdθ [ (z + 1) 4 cos θ z(1 + z) ] dzdθ [ 5 (z + 1)5 cos θ 1 4 z4 3 z3 z OSSERVAZIONE Il risultato finale è uguale a quello dell esercizio corrispondente nel compito A perché: a) per ragioni di simmetria V x dxdydz V y dxdydz, e quindi nell integrale triplo si può sostituire 8x con 4ρ ; b) tramite la sostituzione z z si può rasformare l integrale triplo in quello del compito A (e viceversa). ESERCIZIO 3 Determinare il minimo e il massimo assoluto della funzione f(x, y) x + y 4x y + 1 nel triangolo T del piano che ha come vertici i punti (, ), (, 1) e (, ). La funzione è continua, l insieme chiuso e limitato e quindi massimo e minimo assoluti esistono. L equazione f si traduce nel sistema { 4x y 4 che ha l unica soluzione (1, 1), dove f(1, 1). Dall analisi del determinante Hessiano si vede facilmente che (1, 1) è un punto di minimo relativo. Sul lato sull asse y troviamo la funzione ϕ(y) f(, y) y y + 1 (y 1), y, che ha un minimo relativo per y 1, dove ϕ(1). Inoltre f(, ) ϕ() 1 f(, ) ϕ(). Sul lato obliquo inferiore troviamo la funzione ψ(x) f(x, x/) 9 4 x 5x + 1, x, che ha un minimo relativo per x 1 9, dove ψ(1/9) Inoltre ψ() f(, 1). Sul lato obliquo superiore troviamo nuovamente la funzione ψ(x) f(x, x/) 9 4 x 5x + 1, x. In conclusione, il minimo assoluto vale ed è assunto nel punto (1, 1), il massimo assoluto vale 1 ed è assunto nei punti (, ) e (, ). OSSERVAZIONE 1 Scrivendo la funzione nella forma f(x, y) (x 1) + (y 1), si vede subito che (1, 1) è il punto di minimo assoluto. ] 1 dθ

7 7 OSSERVAZIONE Il dominio è simmetrico rispetto alla retta y 1 e la funzione pari rispetto a tale retta, e questo spiega perché sui due lati obliqui troviamo la stessa ψ(x). ESERCIZIO 4 Determinare se la seguente forma differenziale y sin xdx + y(x sin x)dy è esatta e in caso affermativo calcolare una primitiva. Ponendo F 1 (x, y) y sin x e F y(x sin x) troviamo che F 1 y 4y sin x, F x y(1 cos x) ed essendo sin x 1 cos x, la forma è chiusa. Essendo il suo insieme di definizione tutto R, è anche esatta. Per calcolare la primitiva f integriamo il primo coefficiente: ( f(x, y) y sin xdx y x 1 ) sin x + ϕ(y) e imponendo f y y(x sin x) troviamo l equazione y(x sin x) + ϕ (y) y(x sin x) per cui possiamo prendere ϕ ed f(x, y) y ( x 1 sin x). ESERCIZIO 5 Data la curva di equazione x 1 sin t y cos t, t [, π] z sin t calcolare i versori tangente, normale e binormale, la curvatura e la torsione. Poniamo r(t) (1 sin t, cos t, sin t), da cui: r (t) ( cos t, sin t, cos t), r (t), T(t) ( 1 ) 1 cos t, sin t, cos t dove T(t) il versore tangente. Per calcolare il versore normale bisogna prima scrivere il vettore T (t) e il suo modulo. Ovvero: ( 1 T (t) sin t, cos t, 1 ) sin t, T (t) 1,

8 8 da cui si ottiene facilmente l espressione del versore normale: Essendo poi N(t) T (t) T (t) la curvatura è data dalla formula: ed è quindi costante. ( 1 sin t, cos t, 1 sin t ). r (t) r i j k (t) cos t sin t cos t sin t cos t sin t ( i + k) r (t) r (t) r (t) 3 Poiché x 1 z, la curva è piana e quindi la torsione è nulla e il versore binormale costante. Quindi: i j k B B() T() N() i + 1 k.