1) i) Rappresentare sia attraverso disequazioni, sia attraverso un disegno, il dominio della funzione

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1 Università di Milano - Bicocca Corso di laurea di primo livello in Scienze statistiche ed economiche Corso di laurea di primo livello in Statistica e gestione delle informazioni Matematica II.7.8 SOLUZIONE i Rappresentare sia attraverso disequazioni, sia attraverso un disegno, il dominio della funzione fx, y = xy x y. ii Determinare l estremo superiore, l estremo inferiore, gli eventuali massimi e minimi locali e globali di f x, y. Soluzione. i Il dominio della funzione è il sottoinsieme del piano dove xy x y, cioè y xy+x. Risolvendo l equazione y xy+x = in y troviamo y = x ± { x x = x. Quindi y xy + x se e solo se y è compreso tra x e x notiamo che x < x per x >, mentre x > x per x <. Quindi il dominio è D = {x, y : x, x y x} {x, y : x <, x y x}. y=x y=x ii Osserviamo che f x, y per ogni x, y nel dominio e, per i conti precedenti, f x, y = se e solo se x, y appartiene ad una delle due

2 rette, che quindi costituiscono punti di minimo assoluto per f x, y. D altra parte, per n +, f n, n = 8n n n = n +, e quindi l estremo superiore di f x, y è +. Resta da investigare l esistenza di massimi o minimi locali. Per questo calcoliamo y x f x, y = xy x y, x y, xy x y che si annulla se e solo se { y = x/ y = x dunque se e solo se x, y =,, che non è all interno del dominio D. Quindi non esistono massimi o minimi relativi. L estremo superiore e l assenza di massimi o minimi relativi si potevano anche dedurre osservando che f x, y è una funzione omogenea, poiché, per ogni t >, f tx, ty = txty t x t y = t xy x y. Fissiamo x, y strettamente compreso tra le due rette quindi f x, y >. Allora f tx, ty = tf x, y + per t + dunque il sup è +. D altra parte, f tx, ty = tf x, y è strettamente crescente con t, e quindi non ci possono essere massimi o minimi locali., Sia A = { x, y, z R : x y z }. Determinare i valori interi positivi di k per i quali l integrale esiste finito. Soluzione. I k = = = y = k I k = xy A dxdydz x + z k+ xy dxdydz x + z k+ y y x x + z k dxdydz [ x + z ] k x=y y dydz k x= y y + z k y + z k dydz.

3 Ora il conto prosegue in modo diverso se k = oppure k > cioè k =,,,.... Se k =, I = = = = y y + z y + z dydz [log y + z y + z ] y=z y= dz log z z + z log + z + + z z log + z + z + z dz dz e questo integrale è banalmente infinito, poiché la funzione integranda converge ad un numero diverso da zero per z +. Infatti z log + z + z log. + z per z +. Se invece k =,,,... I k = + [ y + z k ] y=z + z k y dz k k y= = + z k + z k + z z k + + z k dz k k k = + {z k k k k z + k z + k k + z k z + } k dz, e l integrabilità dipende dal termine z k, purché k k z + k z + k k per z +. Infatti k k z + k z + k k z + k poiché k. Dunque l integrale esiste finito se e solo se k, k k = k + k k

4 cioè k /. Essendo k intero positivo, la risposta è che l integrale esiste finito se e solo se k. Sia B = { } x, y R : x + y. Calcolare J = B x + y dxdy. Soluzione. La figura mostra la circonferenza di equazione x + y = P r O A=, e le coordinate polari r, θ di un punto P sulla circonferenza soddisfano r = cos θ basta osservare che il triangolo OP A è rettangolo in P. Allora, essendo cos θ simmetrica su [π/, π/], J = = π/ cos θ = 6 = 6 π/ π/ π/ [ r [ t t r rdrdθ = ] r= cos θ r= dθ = 6 π/ cos θ π/ cos θ sin θ dθ = 6 ] t= t= = 9. cos θdθ r drdθ t dt Calcolare il piano p x, y, z tangente al grafico della funzione fx, y, z = log x + zy

5 nel punto,,, f,,. Soluzione. Osserviamo che e quindi f,, = fx, y, z =, zy, y x f,, =,,, p x, y, z = f,, + f,, x, y, z =,, x, y, z = x + z. 5 Sia γ la circonferenza di equazione x + y =. Per ogni x, y R sia f x, y la distanza di γ dal punto x, y cioè il minimo delle distanze dei punti di γ da x, y. Stabilire dove f x, y è differenziabile e, per questi punti, calcolare f x, y. Soluzione. Pensiamo innanzitutto a un punto P = x, y esterno alla circonferenza unitaria γ. A P=x,y O, La distanza di P da γ è uguale alla distanza di P dall origine O, meno, cioè f x, y = x + y. Analogamente, se P = x, y è interno alla circonferenza, la sua distanza da γ è f x, y = x + y, mentre se è sulla circonferenza, allora, ovviamente, la distanza è nulla. Allora, per ogni x, y R abbiamo f x, y = x + y. 5

6 Per studiare la differenziabilità di f x, y osserviamo che per ogni punto x, y / γ, x, y, la funzione f x, y è differenziabile, poiché di classe C i problemi alla differenziabilità li danno il valore assoluto e la radice quadrata. Osserviamo che, in coordinate polari, f r cos θ, r sin θ = r Allora su ogni raggio la funzione ha grafico r e quindi non è differenziabile per r = e, per simmetria, nell origine. Dunque f è differenziabile in x, y se e solo se x, y / γ, x, y,. Per questi valori di x, y abbiamo f x, y = { x + y se x + y > x + y se < x + y <. Allora oppure f x, y = f x, y = x x + y, y x + y x x + y, y x + y. Quindi, in entrambi i casi, f x, y = x x + y + y x + y =. 6