Esercizi sull integrazione II

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1 ANALISI MATEMATICA T-2 (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) - COMPL. DI ANALISI MATEMATICA (A-K) (C.d.L. Ing. Civile) A.A Prof. G.Cupini Esercizi sull integrazione II (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali errori) Esercizio 1. dove (t) = (t, log t), t [1, 2]; i seguenti integrali curvilinei: y ds 1 + x 2 dove l arco di parabola y = x 2, x [ 1, 1]; xy ds dove (t) = (t, t, t 2 ), t [, 2];. dove (t) = (cos t, sin t, t), t [, 4π]. (x + z) ds z x 2 + y 2 ds Esercizio 2. x 2 y 2 ds dove è la circonferenza di centro l origine e raggio 2 orientata in senso orario. [Sugg.: E un integrale di prima specie, non ha alcuna importanza l orientazione. 2π 2π x 2 y 2 ds = 16 cos 2 t sin 2 t 4 sin 2 t + 4 cos 2 1 t dt = 64 4 sin2 (2t) dt =...] x Esercizio 3. il lavoro del campo F 1 (x, y) = ( (cos t, sin t), t [, 2π]. x 2 +y 2, y x 2 +y 2 ) lungo la curva 1, 1 (t) = poi il lavoro di F 2 (x, y) = (y, x) e F 3 (x, y) = (x, y) lungo l ellisse 2, orientata in senso orario, di equazione 4x 2 + y 2 = 4.

2 [Sugg.: Notiamo che il campo F 2 è conservativo, infatti la forma differenziale associata è chiusa su un dominio semplicemente connesso (R 2 ): dunque il suo lavoro è nullo, essendo 2 una curva chiusa. Per F 3 : una parametrizzazione di 2 è data da ( 2 )(t) = (cos t, 2 sin t), t [, 2π]. Tenere conto che il lavoro su 2 è l opposto del lavoro su 2. ] Esercizio 4. Sia la curva di equazioni parametriche: (a) Studiare la regolarità di, (b) (x + y)5 ds. x(t) = e t + e t, y(t) = e t e t t [, 1]. [Sugg.: (a) (t) = 2(e 2t + e 2t ) (, ) per ogni t. Dunque è regolare. (b) Proseguire per sostituzione (e 4t = z).] 1 (x + y) 5 ds = 2 5 e 5t 1 2(e 2t + e 2t ) dt = 2 5 e 4t 2(e 4t + 1) dt Esercizio 5. Dopo aver disegnato l insieme { } D := (x, y) R 2 : 2 x 3/2 3y 2, calcolare + D F (x, y), N(x, y) ds, dove F : R2 R 2, F (x, y) = (x, xy 2 ) e N è il versore normale esterno a D. Esercizio 6. D y dx dy, dove D = {(x, y) : x 2 + y 2 1 1, 3 x y 3x}. D x 2 dx dy, Esercizio 7. Q xyze x+z dx dy dz dove Q = {(x, y, z) : x 2, y 1, z 1}. Esercizio 8. Determinare una parametrizzazione della superficie S = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 5, z 1 2 (x2 + y 2 + 3)} in coordinate cartesiane e in coordinate sferiche.

3 poi il flusso del rotore di F (x, y, z) = (x 2 + y, y 2 + z, xz) attraverso la superficie (scegliere a piacere l orientazione) in due modi: secondo la definizione e usando il Teorema di Stokes. [Sol. della prima parte: l intersezione tra x 2 +y 2 +z 2 = 5 e z = 1 2 (x2 +y 2 +3) è una circonferenza del piano z = 2 di centro (,, 2) e raggio 1. Una parametrizzazione di S è data da Φ : T S, Φ(x, y) = (x, y, 5 x 2 y 2 ), dove T = {(x, y) : x 2 + y 2 1}. Un altra è Φ : T S, Φ(θ, φ) = ( 5 sin φ cos θ, 5 sin φ sin θ, 5 cos φ) dove T = {(θ, φ) : θ 2π, φ arcsin 1 5 }] Esercizio 9. S y 2 + 2z 1 + x 2 + y 2 dσ dove S è la porzione della superficie 2z = x 2 y 2 che si trova racchiusa tra i cilindri x 2 + y 2 = 2 e x 2 + 2y 2 = 4. Esercizio 1. Sia F : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x 2, y, z + x). Sia D la regione interna al cilindro x 2 + 2y 2 = 1 appartenente al semispazio y > e racchiusa tra i piani z = e z = 1. il flusso uscente da D in due modi: usando la definizione e usando il Teorema della divergenza. [Sugg: tenere conto del fatto che D è costituita da 4 superfici regolari, S 1 sul piano z =, S 2 sul piano z = 1, S 3 sul cilindro e S 4 sul piano y =. Una parametrizzazione di S 3 è data da Φ : T S 3, Φ(θ, z) = (cos θ, 1 2 sin θ, z) dove T = {(θ, z) : θ π, z 1}. Esercizio 11. Eventualmente utilizzando il teorema della divergenza, calcolare il flusso di F : R 3 R 3, F (x, y, z) = (e x, zy, 2xy) uscente dalla superficie Σ, ove Σ è la frontiera della regione di spazio racchiusa tra la sfera e il paraboloide (x + 4) 2 + y 2 + z 2 = 1 x = y 2 + z 2 2. Esercizio 12. dove S = S xy dσ { (x, y, z) R 3 : z = 2 } x 2 + y 2, x 2 + y 2 4. [Sugg.: Per motivi di simmetria il risultato è, provare comunque a svolgere i conti. Una parametrizzazione di S è Φ : T S, dove T = {(ρ, θ) : ρ [, 2], θ [, 2π]} e Φ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, 2ρ).]

4 Esercizio 13. Sia S il sostegno di Φ(s, t) = (s cos t, s sin t, s 2 t) (s, t) [, 1] [, 2π]. Si dica se Φ è una superficie regolare e si determini l equazione del piano tangente a S nel punto Φ( 1 2, π 2 ). Esercizio 14. Sia E il solido E = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1, z x 2 + y 2}. xy sin z dx dy dz. E Esercizio 15. Sia E il solido E = { (x, y, z) R 3 : x 1, y 1, z x + y }. (x y)z dx dy dz. E Esercizio 16. Nel piano xz sia la curva di equazioni parametriche x(t) = 1 + sin t, z(t) = cos t t [, π 4 ]. Usando il Secondo Teorema di Guldino, calcolare l area della superficie di rotazione generata dalla rotazione del sostegno di attorno all asse z. poi l area della superficie di rotazione generata dalla rotazione del sostegno di attorno all asse x. Di entrambe le superfici fornire una parametrizzazione. [Sugg.: si tratta di calcolare, nel primo caso, 2π x ds e, nel secondo, 2π z ds. Una parametrizzazione della prima superficie è data da: Φ(t, θ) = (x(t) cos θ, x(t) sin θ, z(t)) = ((1 + sin t) cos θ, (1 + sin t) sin θ, cos t), (t, θ) [, π ] [, 2π]. 4 Analogamente, una parametrizzazione della prima superficie è data da: Φ(t, θ) = (x(t), z(t) sin θ, z(t) cos θ) = (1 + sin t, cos t sin θ, cos t cos θ), (t, θ) [, π ] [, 2π].] 4 Esercizio 17. Sia E il solido E = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 6, z x 2 + y 2}. il suo volume e l area della sua superficie.

5 Esercizio 18. (in due modi: secondo la definizione e usando il Teorema della divergenza) div F (x, y, z) dx dy dz dove F (x, y, z) = (x 3 y x2 2, 3 4 y4, xz) e Ω Ω = {(x, y, z) : x 2 + y 2 1, z 1}. Esercizio 19. (in due modi: secondo la definizione e usando il Teorema della divergenza) il flusso di f(x, y, z) = (x 2, y 2, z 2 ) uscente dal cubo [, 1] [, 1] [, 1]. [Sol.: 3] Esercizio 2. (in due modi: secondo la definizione e usando il Teorema della divergenza) il flusso di f(x, y, z) = (xe x+y, ye x+y, x) uscente dalla frontiera del solido {(x, y, z) : x y 2 x, z x + y}.