Integrali superficiali eteoremi digaussestokes/ Esercizi proposti

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1 SRolando, 4 Integrali superficiali eteoremi digaussestokes/ Esercizi proposti L asterisco contrassegna gli esercizi più difficili Data la parametrizzazione σ (u, v) =(u + v, log u, log v), (u, v) [, ] [, ] (regolare), calcolare: (a) N σ (u, v) elasuanorma (b) σ ey+z dσ (c) σ (x, z x, ey ) ds Calcolare f (x, y, z) dσ neiseguenticasi: (a) f (x, y, z) =x (z +), è la calotta parametrizzata da σ (u, v) = +u, u + v,v con (u, v) [, ] [, ] (b) f (x, y, z) =y + z, = (x, y, z) :x + y, z = y + (grafico della funzione g (x, y) =y +su K = (x, y) :x + y ) (c) f (x, y, z) = (x + y )+z +, è la frontiera dell insieme A = (x, y, z) :x + y z (d) f (x, y, z) = x + y + z, èlasferax + y + z =9 9 (e*) f (x, y, z) =z +y, = (x, y, z) :x +4y =, z +x (superficie laterale di A = (x, y, z) :x +4y, z +x ) Calcolare l area della calotta neiseguenticasi: x = r cos θ (tronco di cono con basi di raggi (a) : y = r sin θ, (r, θ) [R,R ] [, π],r >R > R ed R ed altezza R R ) z = r (b) è ottenuta facendo ruotare di un angolo retto attorno all asse z la semicirconferenza Γ : (y ) + z =, y (c*) è la frontiera dell insieme A = (x, y, z) :x + y, z 9+xy 4 Si consideri una lamina pesante rappresentata dalla calotta di equazioni parametriche x =cosu y = v, (u, v) [, π] [, ] (tronco di cilindro di raggio ed altezza ), z =sinu con densità di massa ρ (x, y, z) =x y Calcolare la massa totale m ed il baricentro G della lamina

2 SRolando, 4 5 Calcolare F ds neiseguenticasi: (a) F (x, y, z) =(x,z+,y), è la calotta dell Esercizio a, orientata dalla normale che forma ovunque angolo acuto con il versore k dell asse z (b) F (x, y, z) =(e x+z, arctan e x+z, arctan e x+z ), è la calotta dell Esercizio b, orientata verso l alto (c) F (x, y, z) =e x +y +z (xi + yj + zk), è la calotta dell Esercizio d, orientata secondo la normale entrante (d*) F (x, y, z) =(x, y, xy +logz), è la calotta dell Esercizio e, orientata secondo il versore normale che punta verso l asse z 6 Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) =4xi y j + z k uscente dalla frontiera della regione di spazio delimitata dal cilindro x + y =4e dai piani z =e z = 7 Calcolare il flusso entrante del campo F (x, y, z) = (ye x+y, xe x+y,xy) attraverso la frontiera dell insieme A = {(x, y, z) : y x y, z x + y} 8 Calcolare, sia direttamente che tramite il teorema di Stokes, il flusso del rotore del campo F (x, y, z) = x + y 4, xy, xz + z attraverso la semisfera x +y +z =6, z, orientata verso il basso 9 Si considerino il campo F (x, y, z) =zj+yk e la calotta parametrizzata ed orientata da σ (u, v) = u v,u,v con (u, v) [, ] [, ] (a) Calcolare il flusso di F attraverso (b) Calcolare la circuitazione di F lungo il bordo di, orientato coerentemente con Sia la parte di paraboloide definita da z = x y, z, orientata secondo la normale che si allontana dall origine Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) = yi + zj + xk attraverso, sia direttamente che tramite il teorema di Gauss Calcolare il flusso del rotore del campo F (x, y, z) = y,xz,x + yz attraverso la calotta dell Esercizio b, orientata secondo la normale che si allontana dall asse z * Si consideri la calotta = (x, y, z) :x =y + z, x orientata in modo che il versore normale formi ovunque angolo ottuso con il versore i dell asse x (a) Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) =,z, y attraverso (b) Calcolare il flusso del rotore del campo G (x, y, z) = x, xz, xy attraverso

3 SRolando, 4 Risultati (a) N σ (u, v) = uv, v, u, Nσ (u, v) = uv +u + v (b) σ ey+z dσ = uv +u + v dudv = (c) σ (x, z x, ey ) ds = = (u + v, log v u v, u) uv, v, u dudv v + u ln v v + u v dudv = ln (7 ln ) (a) fdσ = ( + u) v (,, ) (, v, ) dudv = 4 (b) fdσ = K (y +)(,, ) dxdy = π (ρ sin θ +)ρdθdρ = π (c) fdσ = fdσ + fdσ, fdσ = {x +y } f x, y, x + y ( x, y, ) dxdy =π 4ρ + ρdρ =π, fdσ = {x +y } f (x, y, ) (,, ) dxdy =π ρ +ρdρ =π (d) fdσ = π π f ( sin ϕ cos θ, sinϕsin θ, cosϕ)9sinϕ dϕdθ =9 π sin ϕ +cosϕ sin ϕdϕdθ =4π π (e) fdσ = π +cos θ f cos θ, sin θ,z sin θ, cos θ, (,, ) dz dθ = 9 π (a) area () = [R,R ] [,π] (cos θ, sin θ, ) ( r sin θ,rcos θ, ) drdθ = π R R (b) Secondo teorema di Guldino: area () = π Γ yds= π π/ ( + cos t) ( sin t, cos t) dt = π (π ) π/ (c) area () =area( )+area( )+area( ) con = (x, y, z) :x + y, z= (cerchio di base), = (x, y, z) :x + y =, z 9+xy (superficie laterale), = (x, y, z) :x + y, z=9+xy equindi area ( )=π, area ( )= π 9+cos θ sin θ ( sin θ, cos θ, ) (,, ) dz dθ =8π, ρ +ρdρdθ = π area ( )= {x +y } ( y, x, ) dxdy = π 4 m = 9 π, G =(,, ) 5 (a) F ds =+ u, v, u + v (,, v) dudv = u v + uv + v dudv = (b) F ds = F n dσ = (ex+z, arctan e x+z, arctan e x+z ) (,, ) dσ = (c) F ds = F n dσ = ex +y +z (x, y, z) = e 9 4π = 8πe 9 (x,y,z) x +y +z dσ = e9 dσ = e 9 area ()

4 SRolando, 4 4 (d) F ds = π +cos θ cos θ, sin θ, cos θ sin θ +logz cos θ, sin θ, dz dθ = π 6 Teorema di Gauss: F n e dσ =+ {x +y 4, z } (4 4y +z) dxdydz =84π 7 Teorema di Gauss: F n i dσ = A (y x) ex+y dxdydz = { y x y } x y e x+y dxdy = e + 8 Calcolo diretto: rot F =(, z, y ) ed n = (x,y,z),dacui x +y +z rot F ds = (x,y,z) (, z,y ) 4 dσ = 4 (y ) zdσ =6 π π π/ 4sin ϕ cos ϕ sin θ cos ϕ sin ϕ dϕdθ =6π x =4sinϕcos θ essendo : y =4sinϕsin θ con (θ, ϕ) [, π] π, π e N =6sinϕ z =4cosϕ Teorema di Stokes: rot F ds = {x +y =6,z=} F dp = π F (4 cos t, 4sint, ) ( 4sint, 4cost, ) dt =6π 9 (a) F ds = [,] [,] F u v,u,v 4uv,, 4u v,, dudv = (,v,u), 4uv, 4u v dvdu = (b) Teorema di Stokes: Γ() F dp = rot F ds = (,, ) ds = Calcolo diretto: F ds =+ {x +y } F x, y, x y (x, y, ) dxdy = π ρ sin θ, ρ, ρ cos θ (ρ cos θ, ρ sin θ, ) ρ dρdθ = Teorema di Gauss: l orientamento di è secondo la normale n e ma non è chiusa, quindi F ds + F n e dσ =+ div F dxdydz = {} dove div F =e : x + y =, z =(cerchio di base ); allora F ds = F n e dσ = F (x, y, ) (,, ) dσ = xdσ =

5 SRolando, 4 5 Teorema di Stokes: rot F ds = {x +y =4,z=} F dp + {x +y =4,z= } F dp = π F ( cos t, sint, ) ( sint, cost, ) dt+ + π F ( cos t, sint, ) ( sint, cost, ) dt = 8π Osserviamo che x =y + z : y = y z = z con (y,z) K = (y,z) : y + z ed N =(, 6y, z) tale che N i => (angolo acuto) (a) Calcolo diretto: F ds = { y +z } F y + z,y,z (, 6y, z) dydz = π Teorema di Gauss: = { y +z } 6zy +y z dydz = / 6 r sin θ cos θ + r 4 cos θ sin θ rdrdθ = π l orientamento di è secondo la normale n e ma non è chiusa, quindi F ds + F n e dσ + F n e dσ =+ div F dxdydz = {} x = x = dove div F =e : y + z e : (ellissi di base ); allora y + z F ds = F n e dσ F n e dσ =,z, y (,, ) dσ,z, y (,, ) dσ = dσ dσ = π (b) Calcolo diretto: rot G ds = (x, y, z) ds = { y +z } y + z, y, z (, 6y, z) dydz = { y +z } y +4z dydz = 4 π / r rdrdθ = 6 π Teorema di Stokes: rot G ds = {x=, y +z =} G dp + {x=, y +z =} G dp = π G, cos t, sin t, sin t, cos t dt+ π G, cos t, sint, sin t, cost dt = 6 π