Analisi Matematica II Politecnico di Milano Ingegneria Industriale

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1 Analisi Matematica II Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Autovalutazione #. Sia P l insieme di tutti i parallelepipedi che giacciono nel primo ottante con tre facce sui piani coordinati e un vertice sul piano π : x + y + z. eterminare il parallelepipedo in P di volume massimo e calcolarne il volume.. Sia Ω xyz dxdydz dove Ω {(x, y, z) R : x + y + z r, x, y, z } (a) Calcolare I per fili. (b) Calcolare I per strati. (c) Calcolare I utilizzando le coordinate sferiche.. Calcolare il lavoro del campo vettoriale F (y + xy, x + y) lungo il bordo γ, orientato positivamente, del dominio {(x, y) R : x + y, x y x}.. Calcolare il lavoro del campo vettoriale F (x + y + z, x + y, yz) lungo il bordo, orientato positivamente, della superficie Σ S Ω, dove S è la sfera con centro in O (,, ) e di raggio r e Ω {(x, y, z) R : y x, r/ z r/}. 5. Calcolare il flusso del campo vettoriale F (x, y, z ) attraverso la superficie chiusa Σ, orientata verso l esterno, data dal cilindro x + y r, z h, e dai due dischi che ne formano la base inferiore e la base superiore.

2 Soluzioni. Un parallelepipedo P in P è determinato dai tre vertici X (x,, ), Y (, y, ) e Z (,, z), dove x, y, z > e il vertice A (x, y, z) appartiene al piano π. Quindi il volume di P è V xyz, con x + y + z. Pertanto, per z x y, si ha V xy( x y) xy x y xy. Si tratta quindi di determinare i massimi di questa funzione sotto il vincolo x e y. Iniziamo a cercare i punti critici di V. Si ha V x y xy y V y x x xy ossia { ( x y)y x( x y). Consideriamo la prima equazione. Se y, la seconda equazione diventa x( x) e quindi si ha x oppure x. ossia si hanno i punti P (, ) e P (, ). Se invece y, allora deve essere x y, ossia y x. In questo caso, la seconda equazione diventa x(9x ) e quindi si ha x oppure x, ossia si hanno i punti P (, ) e P (, ). I punti P, P e P giacciono su un piano coordinato e quindi non possono essere punti di massimo (poiché il volume è nullo). L unico punto in cui si può avere un massimo è P. la matrice Hessiana di V è ] y x y H(x, y). x y x Poiché ( det H, ) > e ( V x, ) <, il punto P è effettivamente un punto di massimo per la funzione V. Pertanto il parallelepipedo cercato è determinato dal punto A (,, ) e ha volume V.. (a) Poiché Ω {(x, y, z) R : (x, y), z r x y }, dove {(x, y) R : x + y r, x, y }, si può calcolare I per fili: ] r x y xyz dz dx dy ] xy z r x y dx dy xy(r x y )dx dy. Passando alle coordinate polari (nel piano), l insieme è determinato dalle condizioni ρ r e θ π. Quindi, si ha π/ r 8. ρ sin θ cos θ(r ρ )ρ dθ (r ρ ρ 5 ) r ρ ρ π/ cos θ sin θ dθ ] π/

3 (b) Poiché Ω {(x, y, z) R : z r, (x, y) z }, dove z {(x, y) R : x + y r z, x, y }, si può calcolare I per strati: ] xyz dx dy dz. z Passando alle coordinate polari, l insieme z è determinato dalle condizioni ρ r z e θ π. Quindi, si ha ] r z 8 π/ r z z ρ r 8. ρ z ] r z z(r z ) dz ρ sin θ cos θzρ dθ π/ cos θ ( z)(r z ) dz (r z ) ] sin θ dθ dz (c) In coordinate sferiche l insieme Ω è determinato dalle condizioni ρ r, ϕ π e θ π. Pertanto, si ha π/ π/ ρ r 8. ρ 5 π/ sin ϕ ] π/ dz dz ρ sin ϕ cos θ ρ sin ϕ sin θ ρ cos ϕ ρ sin ϕ dϕ dθ π/ cos ϕ sin ϕ dϕ ] π/ cos θ ] π/ sin θ dθ. La regione è la parte di corona circolare di centro O e raggi e compresa tra le due rette di equazione y x e y x, come si vede nella figura seguente

4 y π γ π x Poiché è una regione semplice, per il teorema di Gauss-Green, si ha ( F L F dx + F dy y F ) dxdy ( x y) dxdy. x γ Passando alle coordinate polari, si ha e quindi L π π { (ρ, θ), + ), π) ρ, ( ρ cos θ ρ sin θ)ρ dθ ] π/ ρ ( ρ cos θ ρ sin θ) dθ π/ ρ θ ρ sin θ + ρ cos θ ρ ] π/ π/ π θ π } ( π ρ sin π + ρ cos π π + ρ sin π ρ cos π ) ( π ρ + ( )ρ ) ρ + ( ) ρ ] + ( ) 8 π ( ) ossia L π + ( ).

5 . La superficie Σ è la porzione della sfera S che ha le seguenti equazioni parametriche x r sin ϕ cos θ ϕ π y r sin ϕ sin θ, ] π θ π z r cos ϕ, ] π. Usando il teorema di Stokes, si ha L rot F, n dσ Poiché si ha e N r sin ϕ (x, y, z) Σ, si ha Σ rot F, N dϕdθ. i j k rot F x y z ( z,, x ) x + y + z x + y yz rot F, N r sin ϕ ( xz + y + xz z) Σ r sin ϕ (y z) Σ r sin ϕ (sin ϕ sin θ cos ϕ). 5

6 Quindi, si ha L π/ π/ π/ π/ r sin ϕ (sin ϕ sin θ cos ϕ) dϕ dθ π/ ] π/ r (sin ϕ sin θ sin ϕ cos ϕ)dθ dϕ π/ π/ π/ r sin ϕ cos θ θ ] π/ sin ϕ dϕ π/ r π/ π/ π/ ( sin ϕ π sin ϕ ) dϕ r ϕ sin ϕ cos ϕ + π 8 cos ϕ ] π/ ( r π + π 8 ( ) r π + π + r. π/ π + + π 8 5. Sia Ω la regione di R che ha la superficie Σ come bordo. Usando il teorema della divergenza, si ha Φ div F dx dy dz (x + y + z ) dx dy dz. Ω Passando alle coordinate cilindriche, la regione Ω è determinata dalle condizioni ρ r, θ π, t h. Pertanto, si ha Φ π π h π dθ Ω ρ t + ρ t (ρ + t ) ρ dθ dt ] h (ρ + ρt ) dt ] h π (ρ h + ρ h ρ π h + ρ h r + h πhr. ) )