Flusso, divergenza e rotore. Mauro Saita. Versione provvisoria. Giugno

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1 Flusso, divergenza e rotore. Esercizi maurosaita@tiscalinet.it ersione provvisoria. Giugno Indice 1 Teorema della divergenza (di Gauss) Flusso di un campo di forze attraverso un cubo di dimensioni infinitesime Interpretazione della divergenza come densità di flusso Analisi vettoriale 5 3 oluzioni. 9 1 Nome file: Es flusso divergenza rotore 216.tex Pag. 1

2 1 Teorema della divergenza (di Gauss). Queste note si ispirano a R. Feynman, The Feynman Lectures on Phisics, vol. II, Part 1, pp. 3-7; per maggiori chiarimenti si rimanda al testo. 1.1 Flusso di un campo di forze attraverso un cubo di dimensioni infinitesime. Esercizio 1.1. i consideri in R 3 un cubetto infinitesimo con gli spigoli paralleli agli assi coordinati e si orienti la superficie del cubetto con la normale uscente. Determinare il flusso del campo di forze F = (F 1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z)) (di classe almeno 1, definito su R 3 ) uscente dalla superficie del cubetto.

3 Il flusso totale uscente dalla superficie d del cubetto infinitesimo è dato dalla somma dei flussi uscenti dalle tre coppie di facce opposte. Per questioni di simmetria si ha Flusso uscente dal cubetto = dove d è il volume del cubetto. ( F1 x + F 2 y + F ) 3 dx dy dz z = div F d (1.4) e Ω è un solido (compatto) di volume delimitato da una superficie chiusa, il flusso uscente da è dato dalla somma dei flussi uscenti da tanti cubetti infinitesimi contenuti in Ω. i ottiene Teorema 1.2 (della divergenza (di Gauss)). ia Ω un solido compatto il cui bordo è una superficie chiusa, orientata con la normale n uscente da. e Ω F R 3 un campo vettoriale di classe 1 (Ω) allora Flusso uscente da = F N d = div F d (1.5) Esercizio 1.3. i cosideri il campo vettoriale F(x, y, z) = (3xy 2, xe z, z 3 ) Determinare il flusso di F uscente dal bordo Ω della regione solida delimitata dal cilindro y 2 + z 2 = 1 e dai piani x = 1, x = 2. oluzione. i orienti con il vettore normale n che punta verso l esterno. Utilizzando il teorema della divergenza si ha F n d = 3y 2 + 3z 2 d In coordinate cilindriche (x = x, y = r cos θ, z = r sin θ) si ottiene: F n d = 3y 2 + 3z 2 d = 2 1 2π dx dθ Esercizio 1.4. Determinare il flusso del campo vettoriale 1 3r 3 dr = 9 2 π F(x, y, z) = (x 3 + yz, xz + y 3, xy + z 3 + 1) uscente dal bordo Ω del solido definito dalle seguenti disuguaglianze: z 2 x 2 y 2, x 2 + y 2 + z 2 1, y, z. oluzione. Per il teorema della divergenza si ha F n d = 3(x2 + y 2 + z 2 )d, dove è il volume di Ω. In coordinate sferiche tale solido è individuato dalle seguenti disuguaglianze: r 1, θ π, φ π 4. Pertanto si ottiene F n d = 3(x2 + y 2 + z 2 )d = 3 π 4 sin φ dφ π d θ 1 r4 dr = 3 1 (2 2). Pag. 3

4 1.2 Interpretazione della divergenza come densità di flusso. Dall uguaglianza (1.4) si ricava div F = Flusso uscente dal cubetto olume del cubetto (1.6) Quindi la divergenza di F fornisce il flusso per unità di volume, cioè la densità volumetrica di flusso. Pag. 4

5 2 Analisi vettoriale Esercizio 2.1. ia = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = R 2, z h}. 1. Trovare una parametrizzazione di : x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) D R Per ogni p = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) di, trovare il vettore normale unitario N p = (N 1 (u, v), N 2 (u, v), N 3 (u, v)) che punta verso l esterno di. 3. Trovare l elemento di area d = g(u, v)dudv della superficie parametrizzata. 4. Trovare l area di calcolando un integrale di superficie. 5. alcolare il flusso del campo vettoriale F(x, y, z) = (x + y, x + y, ), (x, y, z) R 3, uscente dalla superficie. 6. ia f : R 3 R la funzione f(x, y, z) = x 2 + y 2. alcolare l integrale di superficie fd. Esercizio 2.2. Usando il teorema della divergenza, calcolare (2x + 2y + z 2 ) d dove è la sfera x 2 + y 2 + z 2 = 1. Esercizio 2.3. ia = B il bordo della regione solida B compresa tra il paraboloide z = 1 x 2 y 2 e il piano z = e sia F il campo vettoriale R 3 R 3 definito da F(x, y, z) = yi + xj + 4zk. Usando il teorema della divergenza, calcolare il flusso di F uscente dalla superficie. Esercizio 2.4. Trovare il flusso del campo vettoriale F = xi + yj + zk attraverso la sfera di centro l origine e raggio a. Orientare la sfera con il vettore normale unitario N che punta verso l esterno. Esercizio 2.5. Trovare il flusso di F = k attraverso il cilindro x 2 + y 2 = 1, orientato con il vettore normale N che punta verso l esterno. Esercizio 2.6. alcolare il flusso di F = i attraverso la porzione del piano x + y + z = 1 che si trova nel primo ottante. i fissi N in modo che punti lontano dall origine. Pag. 5

6 Esercizio 2.7. Trovare l elemento di area d della superficie sferica di equazioni parametriche x(φ, ϑ) = a sin φ cos θ y(φ, ϑ) = a sin φ sin θ z(φ, ϑ) = a cos φ (2.1) a > fissato, φ π, ϑ 2π. alcolare l area della sfera. Esercizio 2.8. alcolare il flusso di F = yj attraverso la semisfera = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 = a 2, z } i fissi il vettore unitario di orientazione N in modo che punti lontano dall origine. Esercizio 2.9. Trovare l elemento di area d della superficie (cilindro) di equazioni parametriche x(t, u) = a cos t y(t, u) = a sin t z(t, u) = u t 2π, u R. Esercizio 2.1. Trovare il flusso del campo vettoriale F = xi + z 2 j + y 2 k attraverso il tetraedro T i cui vertici sono l origine e i tre punti (1,, ), (, 1, ) e (,, 1). (i orientino le facce del tetraedro con la normale esterna). Esercizio ia [, 2π] alcolare l integrale dove F = x i + y j + z k R 3 l elica di equazioni parametriche (t) = (cos t, sin t, t). F d s (2.2) In termini equivalenti, calcolare l integrale F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz (2.3) sulla curva della forme differenziale ω = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz. Esercizio ia F un campo vettoriale piano costante (cioè del tipo F = α i + β j, con α, β R) e sia [a, b] R 2 una curva chiusa di classe 1. Dimostrare che F d s = (2.4) Pag. 6

7 Esercizio ia Ω un aperto di R 3. Dimostrare che a) per ogni campo scalare Ω φ R di classe 2 su Ω si ha: rot φ = b) per ogni campo vettoriale Ω F R 3 di classe 1 su Ω si ha: F è conservativo F è irrotazionale. Esercizio ia Ω un aperto di R 3. Dimostrare che per ogni campo vettoriale Ω F R 3 di classe 2 su Ω si ha: div rotf = Esercizio Il campo vettoriale F = x x + y y + z z è il rotore di un altro campo vettoriale? Esercizio ia F un campo vettoriale di classe 1 (U), U aperto di R 3, e sia una superficie chiusa tutta contenuta in U. Dimostrare che rotf n d = (2.5) Lo si dimostri in due modi: a) usando il teorema della divergenza; b) usando il teorema del rotore. Esercizio Una funzione f di classe 2 (U), U aperto di R 3, si dice armonica se soddisfa l equazione div f = f xx + f yy + f zz = (2.6) detta equazione di Laplace. e si scrive al posto di div, l equazione di Laplace si scrive simbolicamente f = 2 f = (2.7) dove 2 = è detto operatore di Laplace o laplaciano. Posto r = r(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, dimostrare che la funzione (di tre variabili) 1 r è armonica. Esercizio Dimostrare che per ogni superficie chiusa contenuta in U e per ogni funzione armonica f in U, f n d = (2.8) Pag. 7

8 Esercizio ia F(x, y, z) = xi + yj + zk r n r = x 2 + y 2 + z 2, n R. Dimostrare che l unico n per il quale divf = è n = 3. (Ad esempio, è il caso del campo gravitazionale o del campo elettrico). Esercizio 2.2. ia la superficie costituita dalla semisfera superiore 1 di centro l origine e raggio a e dal disco 2, sul piano x, y, di centro l origine e raggio a. ia F = xi + yj + zk. erificare il teorema della divergenza. (ioè, calcolare l integrale della divergenza e il flusso, e verificare che sono uguali). Esercizio iano 1, 2 due superfici chiuse. upponiamo che 2 sia tutta contenuta all interno di 1 e sia la regione di spazio compresa tra di esse. ia F un campo vettoriale tale che divf = in. Fissiamo su 1 e su 2 l orientazione n uscente. Dimostrare che F n d = 1 F n d 2 (2.9) Esercizio ia F il campo vettoriale radiale che in ogni punto P = (x, y, z) punta lontano dall origine, con intensità 1 r 2, dove r = x 2 + y 2 + z Determinare il dominio D di F. D è connesso? è semplicemente connesso? 2. F è solenoidale? è irrotazionale? è conservativo? 3. alcolare il flusso di F attraverso la sfera di centro l origine e raggio a. Il fatto che tale flusso non sia nullo, contraddice il teorema della divergenza? piegare. 4. Dimostrare che il flusso attraverso una qualunque superficie chiusa, orientata con la normale uscente, vale zero se la superficie non contiene l origine al suo interno, mentre vale 4π se la contiene. 5. Determinare il lavoro compiuto da F lungo la curva = 1 2 percorsa in senso antiorario a partire da (1,, 1), dove 1, 2 sono gli archi di parabola contenuti nel piano z = 1 di equazioni y = 1 x 2 e y = 1 + x 2 ( 1 x 1). 6. Dimostrare che non esiste alcun campo vettoriale G in R 3 \ tale che rotg = F. Esercizio ia F un campo vettoriale di classe 1 (R 3 ). (ale a dire, le componenti di F hanno tutte le derivate parziali e queste sono continue). Dimostrare che le due condizioni seguenti sono equivalenti: 1. Per ogni superficie chiusa, si ha F n d = 2. divf = Pag. 8

9 3 oluzioni. Esercizio x = R cos u, y = R sin u, z = v, (u, v) D = [, 2π] [, h]. 2. N p = (cos u, sin u, ). 3. d = g(u, v)dudv = Rdudv 4. 2π du h Rdv = 2πRh 5. (R cos u + R sin u, R cos u + R sin u, ) (cos u, sin u, )Rdudv = D 2π du h R 2 (1 + 2 sin u cos u)dv = 2πR 2 h 6. fd = D R 2 Rdudv = 2πR 3 h Esercizio 2.2 La funzione integranda si può scrivere 2x+2y +z 2 = (2, 2, z) (x, y, z) = F N, dove F = (2, 2, z) e N = (x, y, z) è il vettore unitario normale alla sfera, orientato verso l esterno. Allora l integrale superficiale è il flusso di F attraverso la sfera e, per il teorema della divergenza, (2x + 2y + z 2 ) d = 1 d = 4 3 π Esercizio 2.3 F Nd = B div F d = B 4 d = 4 volume (B) = 4 D (1 x2 y 2 )dxdy, dove D è il disco unitario. Il flusso vale 2π. Esercizio 2.4 Il campo vettoriale unitario n normale alla sfera è 1 (xi + yj + zk) a i ha F n = 1 a (x2 + y 2 + z 2 ) = 1 a a2 = a. Quindi F n d = a d = a d = a(area ) = a4πa 2 = 4πa 3 Esercizio 2.5 Il campo k è sempre tangente alla superficie del cilindro. Quindi il flusso è nullo. Pag. 9

10 Esercizio 2.6 i ha n = 1 3 (i + j + k) e F n = 1 3. La regione è un triangolo equilatero di lato 2. La sua area è Il flusso è F n area () = = Esercizio 2.7 Posto r(φ, ϑ) = (x(φ, ϑ), y(φ, ϑ), z(φ, ϑ)) si ha d = r φ r φ dφ dϑ Facendo i conti, si ottiene d = a 2 sin φ dφ dϑ (arrivare allo stesso risultato ragionando su una figura). L area della sfera è π 2π d = a 2 sin φ dφ dϑ = 4πa 2 Esercizio 2.8 n = 1 y2 (xi + yj + zk); F n =. Facciamo il conto usando le coordinate a a sferiche φ, ϑ. i ha y = a sin φ sin ϑ; l elemento d area è d = a 2 sin φ dφ dϑ. Il flusso è y 2 a d = 1 π/2 2π a 4 sin 3 φ sin 2 ϑ dφ dϑ (3.1) a π/2 = a 3 sin 3 φ dφ 2π sin 2 ϑ dϑ π/2 = a 3 sin φ(1 cos 2 φ) dφ = a 3[ cos φ cos3 φ = 2 3 πa3 ] π/2 2π sin 2 ϑ dϑ [ 1 2 ϑ 1 2 sin ϑ cos ϑ ] 2π Esercizio 2.9 L elemento di area è d = a dϑ dz. (Ragionare anche sulla figura). Esercizio 2.1 onviene usare il teorema della divergenza: F n d = divf d (3.2) dove T = è il tetraedro e è la regione di spazio racchiusa da T. i ha divf = 1. Quindi F n d = divf d = d = volume ( ) = 1 3 (base)(altezza) = = 1 6 Pag. 1

11 Esercizio 2.11 F d s = = 2π 2π (cos t i + sin t j + t k) ( sin t i + cos t j + k) dt ( sin t cos t + sin t cos t + t) dt = 2π t dt = 2π 2 Esercizio 2.12 e (t) = (x(t), y(t), F d s = = b a [α x (t) + β y (t)] dt [ α x(t) + β y(t) ] b = α(x(b) x(a)) + β(y(b) y(a)) = α + β = a = (α x(b) + βy(b)) (α x(a) + βy(a)) perché (x(a), y(a)) = (x(b), y(b)), in quanto per ipotesi è chiusa. Esercizio 2.13 φ = ( φ x, φ y, φ z ). La prima componente di rot φ è : y ( φ z ) φ z ( φ y ) = 2 φ y z 2 φ z y = Per la seconda e terza componente di rot φ si procede in modo analogo. Quindi, ogni campo vettoriale F conservativo (F = φ) è irrotazionale. i j k Esercizio 2.14 rotf = x y z F 1 F 2 F = ( F 3 3 y F 2 z )i + ( F 1 z F 3 x )j + ( F 2 div rotf = ( F3 x y F ) 2 + ( F1 z y z F ) 3 + ( F2 x z x F ) 1 y = 2 F 3 x y 2 F 2 x z + 2 F 1 y z 2 F 3 y x + 2 F 2 z x 2 F 1 z y = Quindi, il rotore di un qualunque campo vettoriale è solenoidale. x F 1 y )k Esercizio 2.15 e esistesse un campo vettoriale G tale che rotg = F si avrebbe divf = div rotg = (perché div rot = ). Invece divf = 3. Quindi F non è rotore di alcun campo vettoriale. Pag. 11

12 Esercizio 2.16 a) i ricordi che div rotf = per ogni F. Pertanto, detto il volume racchiuso dalla superficie chiusa, si ha = e, per il teorema della divergenza, rotf n d = div(rotf) d = d = (3.3) b) Poiché è una superficie chiusa, si ha =. Per il teorema del rotore, rotf n d = F ds = F ds = (3.4) Oppure, si tracci sulla superficie una curva chiusa che divida in due superfici 1, 2. e si orienta compatibilmente con 1, allora la curva sarà il bordo orientato di 2. Applicando il teorema del rotore si ottiene: rotf n d = F n dl 1 rotf n d = F n ds = F n ds 2 Dunque Esercizio 2.18 rotf n d = rotf n d + 1 rotf n d = 2 ia la regione di spazio racchiusa da. Per il teorema della divergenza, f n d = div( f) d = (3.5) perché per ipotesi f è armonica, cioè soddisfa div( f) =. Esercizio 2.19 La prima componente di F è F 1 = r n x. La derivata parziale di r rispetto a x vale x. Usando le regole di derivazione (del prodotto e della funzione composta), si ha: r D 1 F 1 = D 1 (r n x) = nr n 1 x r x + r n Non c è bisogno di calcolare le altre derivate parziali D 2 F 2 e D 3 F 3. Infatti, per simmetria, si ottiene: ommando membro a membro, che si annulla identicamente solo se n = 3. D 2 F 2 = D 2 (r n y) = nr n 1 y r y + r n (3.6) D 3 F 3 = D 3 (r n z) = nr n 1 z r z + r n (3.7) divf = D 1 F 1 + D 2 F 2 + D 3 F 3 = r n ( n + 3) (3.8) Pag. 12

13 Esercizio 2.2 i orienti con la normale uscente. ia la figura solida (semisfera piena) della quale è il bordo. divf d = 3 vol ( ) = πa3 = 2πa 3. Il flusso di F sul disco di base 2 è nullo, perché F è tangente a tale disco. Il flusso di F attraverso la semisfera 1 è (x, y, z) F n d = (x, y, z) d (3.9) 1 1 a = a a d = a area( 1 ) = a2πa 2 = 2πa 3 L integrale della divergenza e il flusso valgono entrambi 2πa 3. Esercizio 2.21 i denoti con 2 la superficie 2 orientata con la normale entrante. Allora, per il teorema della divergenza = divf d = F n d + F n d 1 2 = F n d F n d 1 2 Esercizio Il dominio D di F è R 3 \. D è connesso e semplicemente connesso. 2. i è già dimostrato in 2.19 che divf =, quindi F è solenoidale. Utilizzando la definizione di rotore si ricava rotf =. Pertanto F è un campo irrotazionale definito su un dominio semplicemente connesso, di conseguenza è conservativo. 3. ulla superficie della sfera di centro l origine e raggio a, la componente normale di F vale 1 a 2. Quindi il flusso attraverso tale sfera vale 1 a 2 4πa2 = 4π. 4. e è una superficie che non contiene l origine al suo interno, si può applicare il teorema della divergenza e si ottiene subito F n d =. e invece contiene l origine nel suo interno, sia 1 una sfera di centro l origine e di raggio abbastanza grande da contenere tutta la superficie al suo interno. Allora, per l esercizio 2.21, F n d = F n d = 4π 1 5. La curva è chiusa e il campo F è conservativo, quindi il lavoro compiuto da F lungo è nullo. Pag. 13

14 6. i tratta didimostrare che non esiste alcun G tale che rotg = F. i supponga, per assurdo, che un tale G esista. ia una sfera centrata in e sia un sua circonferenza di raggio massimo. hiamiamo 1 e 2 le due superfici semisferiche in cui divide. i noti che è bordo sia di 1 che di 2, ma l orientazione indotta su da 1 è opposta rispetto all orientazione indotta su da 2. Applicando il teorema del rotore, tenendo conto delle orientazioni sul bordo, si ottiene: F n d = rotg n d = G n dl 1 1 F n d = rotg n d = G n dl 2 2 ommando membro a membro, si ricava F n d = F n d + F n d = 1 2 Assurdo, perché si è visto che tale integrale vale 4π. Esercizio 2.23 L implicazione divf = segue subito dal teorema della divergenza. F n d = Resta da dimostrare l implicazione inversa: F n d = divf = Per assurdo, si supponga che esista un punto P in cui (divf)(p ) non sia zero; ad esempio, sia (divf)(p ) >. Per continuità, esiste una sfera aperta W, centrata in P, tale che (divf)(p ) > per ogni punto P in W. Ma allora, detta = W la superficie sferica che è bordo di W, per il teorema della divergenza si ha F n d = divf d > L ultima disuguaglianza contraddice l ipotesi che per ogni superficie si abbia F n d =. W Pag. 14