Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale

Transcript

1 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Seconda Prova in Itinere Docente: Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta dev essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. a) Dare la definizione di campo conservativo. b) Stabilire se il campo vettoriale vx, y) 1 + x 3 )x 3 y + 2 cos x ) ) x 4 i x7 7 + sin y j è conservativo dove esso è definito, e, nel caso fosse conservativo, determinarne un potenziale. c) Calcolare il lavoro del campo lungo l ellisse di equazione x 2 +9y 2 1, percorsa una volta in senso antiorario a partire dal punto P 1, ). a)... b) Un potenziale è Ux, y) x4 y 4 + x7 y + 2 sin x cos y. 7 c).

2 2. Si consideri la funzione fx, y) logx 2 y 2 1). a) Qual è il dominio di fx, y)? Lo si descriva analiticamente e lo si disegni nel piano cartesiano. b) La funzione fx, y) è differenziabile nel suo dominio? Giustificare la risposta. c) Scrivere l equazione del piano tangente alla superficie z fx, y) nel punto 2, 1, f2, 1)). d) La curva di livello fx, y) f2, 1) è una curva regolare in un intorno di 2, 1)? In caso affermativo, scrivere l equazione della retta tangente a tale curva in 2, 1). a) D f { x, y) R 2 : x 2 y 2 1 > },... b)... c) 2x y z 3 + log 2. d) 2x y 3.

3 3. a) Enunciare il teorema del rotore nello spazio. b) Sia dato il campo vettoriale F x, y, z) yi + 2x 3 j + 6k, e sia S la porzione della superficie di equazione z 2 x 6 y 6 che si proietta nel dominio D {x, y) R 2 x 2 +y 2 1}, orientata verso l alto. Calcolare il flusso del rotore di F attraverso S in due modi distinti: i. utilizzando direttamente la definizione di flusso; ii. utilizzando il teorema del rotore. a)... b) i. Il rotore del campo F è rotfx, y, z) det i j k x y z 6x 2 1)k. y 2x 3 6 La superficie S è data in forma cartesiana z gx, y) 2 x 6 y 6, con x 2 + y 2 1, quindi, rispettando l orientazione verso l alto, si ha ) gx, y) gx, y) n ds i j + k dx dy 6x 5 i + 6y 5 j + k ) dx dy. x y Abbiamo dunque: Φ S rotf) rotf n ds S 6x 2 1)k 6x 5 i + 6y 5 j + k ) dx dy 6x 2 1) dx dy 6 ρ 3 cos 2 ϑ dρ dϑ dx dy 6 [,1] [,2π] 1 ρ 3 dρ π π cos 2 ϑ dϑ π π 2 ii. La curva S ha una parametrizzazione regolare r con derivata r : rt) cos t, sin t, 2 cos 6 t sin 6 t ) ; r t) sin t, cos t, 6 cos 5 t sin t 6 sin 5 t cos t ). Poiché S è orientata verso l alto, il bordo S è perscorso in senso antiorario, e si ha: W S F) F t ds S... π 2 F rt)) r t) dt sin t)i + 2 cos 3 t)j + 6k ) sin t)i + cos t)j + 6 cos 5 t sin t 6 sin 5 t cos t)k ) dt sin 2 t + 2 cos 4 t + 36 cos 5 t sin t 36 sin 5 t cos t ) dt sin 2 t + 2 cos 4 t ) dt +

4 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Seconda Prova in Itinere Docente: Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta dev essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. a) Dare la definizione di campo conservativo. b) Stabilire se il campo vettoriale ) y 3 vx, y) 3 + y sin x i + x1 + y 5 )y 2 cos y ) j è conservativo dove esso è definito, e, nel caso fosse conservativo, determinarne un potenziale. c) Calcolare il lavoro del campo lungo l ellisse di equazione x 2 +9y 2 1, percorsa una volta in senso antiorario a partire dal punto P 1, ). a)... b) Un potenziale è Ux, y) xy3 3 + xy8 3 cos x sin y. 8 c)

5 2. Si consideri la funzione fx, y) logy 2 x 2 1). a) Qual è il dominio di fx, y)? Lo si descriva analiticamente e lo si disegni nel piano cartesiano. b) La funzione fx, y) è differenziabile nel suo dominio? Giustificare la risposta. c) Scrivere l equazione del piano tangente alla superficie z fx, y) nel punto 1, 2, f1, 2)). d) La curva di livello fx, y) f1, 2) è una curva regolare in un intorno di 1, 2)? In caso affermativo, scrivere l equazione della retta tangente a tale curva in 1, 2). a) D f { x, y) R 2 : y 2 x 2 1 > },... b)... c) x 2y + z + 3 log 2. d) x 2y + 3.

6 3. a) Enunciare il teorema del rotore nello spazio. b) Sia dato il campo vettoriale F x, y, z) y 3 i + 2xj + 4k, e sia S la porzione della superficie di equazione z 4 x 6 y 6 che si proietta nel dominio D {x, y) R 2 x 2 +y 2 1}, orientata verso l alto. Calcolare il flusso del rotore di F attraverso S in due modi distinti: i. utilizzando direttamente la definizione di flusso; ii. utilizzando il teorema del rotore. a)... b) i. Il rotore del campo F è i j k rotfx, y, z) det x y z 2 + 3y 2 )k. y 3 2x 4 La superficie S è data in forma cartesiana z gx, y) 4 x 6 y 6, con x 2 + y 2 1, quindi, rispettando l orientazione verso l alto, si ha ) gx, y) gx, y) n ds i j + k dx dy 6x 5 i + 6y 5 j + k ) dx dy. x y Abbiamo dunque: Φ S rotf) rotf n ds S 2 + 3y 2 )k 6x 5 i + 6y 5 j + k ) dx dy 2 + 3y 2 ) dx dy 2 dx dy + 3 ρ 3 sin 2 ϑ dρ dϑ 2π π π 11 4 π ρ 3 dρ sin 2 ϑ dϑ [,1] [,2π] ii. La curva S ha una parametrizzazione regolare r con derivata r : rt) cos t, sin t, 4 cos 6 t sin 6 t ) ; r t) sin t, cos t, 6 cos 5 t sin t 6 sin 5 t cos t ). Poiché S è orientata verso l alto, il bordo S è perscorso in senso antiorario, e si ha: W S F) F t ds S π F rt)) r t) dt sin 3 t)i + 2 cos t)j + 4k ) sin t)i + cos t)j + 6 cos 5 t sin t 6 sin 5 t cos t)k ) dt sin 4 t + 2 cos 2 t + 24 cos 5 t sin t 24 sin 5 t cos t ) dt sin 4 t + 2 cos 2 t ) dt +

7 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Seconda Prova in Itinere Docente: Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta dev essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. a) Dare la definizione di campo conservativo. b) Stabilire se il campo vettoriale vx, y) 1 + x)x 4 y + 4 cos x ) ) x 5 i x6 6 + cos y j è conservativo dove esso è definito, e, nel caso fosse conservativo, determinarne un potenziale. c) Calcolare il lavoro del campo lungo l ellisse di equazione x 2 +9y 2 1, percorsa una volta in senso antiorario a partire dal punto P 1, ). a) - b) Un potenziale è Ux, y) x5 y 5 + x6 y + 4 sin x + sin y. 6 c)

8 2. Si consideri la funzione fx, y) log1 x 2 + y 2 ). a) Qual è il dominio di fx, y)? Lo si descriva analiticamente e lo si disegni nel piano cartesiano. b) La funzione fx, y) è differenziabile nel suo dominio? Giustificare la risposta. c) Scrivere l equazione del piano tangente alla superficie z fx, y) nel punto 1, 2, f1, 2)). d) La curva di livello fx, y) f1, 2) è una curva regolare in un intorno di 1, 2)? In caso affermativo, scrivere l equazione della retta tangente a tale curva in 1, 2). a) D f { x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 > },... b)... c) x 2y + 2z log 2. d) x 2y + 3.

9 3. a) Enunciare il teorema del rotore nello spazio. b) Sia dato il campo vettoriale F x, y, z) 2y 3 i + xj + 5k, e sia S la porzione della superficie di equazione z 5 x 6 y 6 che si proietta nel dominio D {x, y) R 2 x 2 +y 2 1}, orientata verso l alto. Calcolare il flusso del rotore di F attraverso S in due modi distinti: i. utilizzando direttamente la definizione di flusso; ii. utilizzando il teorema del rotore. a)... b) i. Il rotore del campo F è i j k rotfx, y, z) det x y z 1 + 6y 2 )k. 2y 3 x 5 La superficie S è data in forma cartesiana z gx, y) 5 x 6 y 6, con x 2 + y 2 1, quindi, rispettando l orientazione verso l alto, si ha ) gx, y) gx, y) n ds i j + k dx dy 6x 5 i + 6y 5 j + k ) dx dy. x y Abbiamo dunque: Φ S rotf) S π + 6 rotf n ds 1 π π 5 2 π 1 + 6y 2 )k 6x 5 i + 6y 5 j + k ) dx dy 1 + 6y 2 ) dx dy dx dy + 6 ρ 3 dρ [,1] [,2π] sin 2 ϑ dϑ ii. La curva S ha una parametrizzazione regolare r con derivata r : rt) cos t, sin t, 5 cos 6 t sin 6 t ) ; ρ 3 sin 2 ϑ dρ dϑ r t) sin t, cos t, 6 cos 5 t sin t 6 sin 5 t cos t ). Poiché S è orientata verso l alto, il bordo S è perscorso in senso antiorario, e si ha: W S F) F t ds S π F rt)) r t) dt 2 sin 3 t)i + cos t)j + 5k ) sin t)i + cos t)j + 6 cos 5 t sin t 6 sin 5 t cos t)k ) dt 2 sin 4 t + cos 2 t + 3 cos 5 t sin t 3 sin 5 t cos t ) dt 2 sin 4 t + cos 2 t ) dt +

10 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Seconda Prova in Itinere Docente: Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta dev essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. a) Dare la definizione di campo conservativo. b) Stabilire se il campo vettoriale ) y 2 vx, y) 2 + y sin x i + x1 + y 7 )y sin y ) j è conservativo dove esso è definito, e, nel caso fosse conservativo, determinarne un potenziale. c) Calcolare il lavoro del campo lungo l ellisse di equazione x 2 +9y 2 1, percorsa una volta in senso antiorario a partire dal punto P 1, ). a) - b) Un potenziale è Ux, y) xy2 2 + xy9 5 cos x + cos y. 9 c)

11 2. Si consideri la funzione fx, y) log1 + x 2 y 2 ). a) Qual è il dominio di fx, y)? Lo si descriva analiticamente e lo si disegni nel piano cartesiano. b) La funzione fx, y) è differenziabile nel suo dominio? Giustificare la risposta. c) Scrivere l equazione del piano tangente alla superficie z fx, y) nel punto 2, 1, f2, 1)). d) La curva di livello fx, y) f2, 1) è una curva regolare in un intorno di 2, 1)? In caso affermativo, scrivere l equazione della retta tangente a tale curva in 2, 1). a) D f { x, y) R 2 : 1 + x 2 y 2 > },... b)... c) 2x y 2z log 2. d) 2x y 3.

12 3. a) Enunciare il teorema del rotore nello spazio. b) Sia dato il campo vettoriale F x, y, z) 2yi + x 3 j + 3k, e sia S la porzione della superficie di equazione z 3 x 6 y 6 che si proietta nel dominio D {x, y) R 2 x 2 +y 2 1}, orientata verso l alto. Calcolare il flusso del rotore di F attraverso S in due modi distinti: i. utilizzando direttamente la definizione di flusso; ii. utilizzando il teorema del rotore. a)... b) i. Il rotore del campo F è i j k rotfx, y, z) det x y z 3x 2 2)k. 2y x 3 3 La superficie S è data in forma cartesiana z gx, y) 3 x 6 y 6, con x 2 + y 2 1, quindi, rispettando l orientazione verso l alto, si ha ) gx, y) gx, y) n ds i j + k dx dy 6x 5 i + 6y 5 j + k ) dx dy. x y Abbiamo dunque: Φ S rotf) rotf n ds S 3x 2 2)k 6x 5 i + 6y 5 j + k ) dx dy 3x 2 2) dx dy 3 ρ 3 cos 2 ϑ dρ dϑ 2 dx dy 3 [,1] [,2π] 1 ρ 3 dρ π 2π 5 4 π cos 2 ϑ dϑ 2π ii. La curva S ha una parametrizzazione regolare r con derivata r : rt) cos t, sin t, 3 cos 6 t sin 6 t ) ; r t) sin t, cos t, 6 cos 5 t sin t 6 sin 5 t cos t ). Poiché S è orientata verso l alto, il bordo S è perscorso in senso antiorario, e si ha: W S F) F t ds S π F rt)) r t) dt 2 sin t)i + cos 3 t)j + 3k ) sin t)i + cos t)j + 6 cos 5 t sin t 6 sin 5 t cos t)k ) dt 2 sin 2 t + cos 4 t + 18 cos 5 t sin t 18 sin 5 t cos t ) dt 2 sin 2 t + cos 4 t ) dt +