Teoria Es. 1 Es. 2 Totale Analisi e Geometria 1 Seconda Prova. Compito F. 14 Gennaio Cognome: Nome: Matricola:

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1 Teoria Es. 1 Es. Totale Analisi e Geometria 1 Seconda Prova. Compito F. 14 Gennaio 019. Docente: Numero di iscrizione all appello: Cognome: Nome: Matricola: Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e sul retro. Le risposte devono essere riportate nelle caselle. I fogli di brutta non si consegnano. Questioni di teoria (6 punti) (Scrivere le risposte su questo foglio e sul retro.) (T1). Scrivere una definizione di curvatura di una curva (nello spazio) in un suo punto. (Si chiede una definizione; non la formula che fornisce la curvatura in una parametrizzazione arbitraria.) (T). Enunciare e dimostrare il Teorema della Media Integrale.

2 (A) Si consideri l equazione: sull intervallo I = (3, + ). Esercizio 1 (1 punti) y 1 y = 0 (1) Domanda (A) 1. Trovare la soluzione generale, sull intervallo I = (3, + ), dell equazione (1). (B) Sia ỹ la soluzione del problema di Cauchy: y 1 y = y(4) = 4 () sull intervallo I = (3, + ). Domanda (B) 1. Calcolare i valori ỹ (4) e ỹ (4). (Non è necessario trovare prima la soluzione ỹ(x); si può utilizzare direttamente il sistema ().) Domanda (B). Trovare la soluzione ỹ = ỹ(x) del problema di Cauchy (), definita su (3, + ). Domanda (B) 3. Controllare, facendo i conti, che la soluzione del problema di Cauchy che è stata trovata, soddisfa entrambe le condizioni del sistema (). Risposte Risposta (A) 1. Soluzione generale dell equazione (1): Risposta (B) 1. ỹ (4) = ỹ (4) = Risposta (B). Soluzione del problema di Cauchy (): ỹ(x) = Risposta (B) 3. Controllo, mediante conto diretto, che la soluzione del problema di Cauchy che si è trovata (Risposta (B) ), soddisfa entrambe le condizioni ():

3 Esercizio (1 punti) Si consideri la curva parametrizzata in R 3 : x = t + cos t C : y = t + sin t z = sin t cos t t R Calcolare: (a) il vettore velocità istantanea C (t) e la sua lunghezza, cioè la velocità scalare C (t) (= v(t)), per tutti i t R; (b) il vettore accelerazione istantanea C (t), per tutti i t R; (c) la lunghezza dell arco di curva C 0 che si ottiene restringendo la curva C all intervallo I = [0, π]; cioè, calcolare l integrale di linea ds. C 0 (d) la curvatura di C in t 0 = 0. (Suggerimento: Può essere utile ricordare la decomposizione dell accelerazione: C = dv dt T + v κn.) Risposte Risposta (a): C (t) = C (t) = Risposta (b): C (t) = Risposta (c): Lunghezza dell arco di curva da t = 0 a t = π: Risposta (d): Curvatura κ(0) =

4 Esercizio 1. Soluzioni. Risposta (A) 1. y(x) = C() C R L equazione y 1 1 y = 0 è lineare omogenea (e anche separabile). Posto a(x) =, una primitiva di a(x) sull intervallo (3, + ) è A(x) = ln(). Quindi la soluzione generale sull intervallo I = (3, + ) è y(x) = Ce A(x) = Ce ln(x 3) = C(), dove C R è una costante arbitraria. Risposta (B) 1. Chiamiamo ỹ la soluzione del problema di Cauchy. Dal sistema () si ricava: ỹ (x) = 1 ỹ +. Per x = 4, poiché ỹ(4) = 4, si ha : ỹ (4) = ỹ(4) = = 5. La derivata seconda è ỹ (x) = ỹ () ỹ () + 1. Quindi, ỹ (4) = ỹ (4)(4 3) ỹ(4) + 1 = = Quindi: ỹ (4) = 5 ỹ (4) = Risposta (B). La soluzione generale di y 1 y = è C() + x(), C R Il valore iniziale y(4) = 4 impone C = 0. Quindi, la soluzione del problema di Cauchy (): ỹ(x) = x() Risposta (B) 3. Si vede subito che ỹ(x) = x(x 4) soddisfa la condizione iniziale y(4) = 4. Infatti: ỹ(4) = 4(4 3) = 4 Verifichiamo ora, con un conto diretto, che ỹ(x) = x() soddisfa l equazione y 1 y =. Poiché ỹ (x) = d dx x() =, sostituendo ỹ nel primo membro y 1 y si ottiene: Quindi ỹ soddisfa l equazione y 1 y =. ỹ (x) 1 ỹ = 1 x() =

5 Esercizio. Soluzioni. N.B. Per semplificare i conti nei punti (a) e (b) si ricordino le formule di trigonometria: sin t = sin t cos t cos t = cos t sin t (oltre a cos t + sin t = 1). Risposta (a): C (t) = (1 sin t, 1 + sin t, cos t) v(t) = C (t) = + sin t + cos t = Risposta (b): C (t) = ( cos t, cos t, sin t) Risposta (c): Lunghezza dell arco di curva da t = 0 a t = π: π C (t) dt = π 0 0 dt = π Risposta (d): C (0) = (,, 0) = dv dt T + v kn = 4kN. 8 = C (0) = 4κ. Quindi κ(0) = La risposta (d) si ottiene anche per mezzo della formula κ(0) = C (0) C (0) (1, 1, ) (,, 0) C (0) 3 = 3 =