Terzo esonero. 21 marzo Esercizio

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1 Terzo esonero 2 marzo 27. Esercizio Disegnare l insieme D : x, y) : x y 2 x, 2x 2 y 2x} e calcolarne l area. Determinare una trasformazione lineare che mandi D in un rettangolo. Calcolare l integale doppio x + 2y) dx dy. D Figura. D : x, y) : x + y 2, 2 y 2x }.. Soluzione: Le limitazioni che definiscono il dominio D di integrazione

2 2 da cui x + y 2 2 y 2x u x + y v y 2x x, y) D u, v) R : u 2, 2 v } Il cambiamento di coordinate affine é invertibile come segue u x + y v y 2x x u v) 3 y 2 3 u + 3 v Tenuto conto che lo Jacobiano é J Riesce AreaD) J AreaR) y) dx dy Dx 2 3 dv 5u + v) du Il valore trovato rappresenta il volume del solido di R 3 Sia fx, y, z) x + y + z. E : x, y) D, z x + 2y} 2. Esercizio Calcolare l integrale triplo di f sul dominio Ω : x, y, z) : x, y, z, x 2 + y 2 + z 2 }. Calcolare l integrale triplo di f sul dominio Ω : Ω x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 /4}. Calcolare l integrale triplo di f sul dominio Ω 2 : Ω x, y, z) : x y }.

3 2. ESERCIZIO Soluzione: I tre integrali tripli proposti, relativi a porzioni sferiche si calcolano vantaggiosamente servendosi delle coordinate sferiche f x + y + z ρsinψ) cosϑ) + sinψ) sinϑ) + cosψ)) J ρ 3 sin 2 ψ) [cosϑ) + sinϑ)] + sinψ) cosψ) ) Ω ρ 3 dρ x, y, z) Ω dψ ρ ψ π/2 ϑ π/2 Ω fdxdydz sin 2 ψ) [cosϑ) + sinϑ)] + sinψ) cosψ) ) dϑ 3 π 6 Ω /2 ρ 3 dρ x, y, z) Ω dψ ρ 2 ψ π/2 ϑ π/2 Ω fdxdydz sin 2 ψ) [cosϑ) + sinϑ)] + sinψ) cosψ) ) dϑ 45π 256 Ω 2 /2 ρ 3 dρ x, y, z) Ω 2 dψ π/4 /2 ρ ψ π/2 ϑ π/4 Ω 2 fdxdydz sin 2 ψ) [cosϑ) + sinϑ)] + sinψ) cosψ) ) dϑ 45π 52

4 4 3. Esercizio Dire per quali scelte di a R, il campo vettoriale ) F a x, y) x e x2 +a y 2), y e x2 +a y 2 ) é conservativo e, per tali scelte, determinarne un potenziale. Sia Γ la poligonale data dai punti A, ), B, ) e C, ), orientata da A a C. Calcolare, per ogni a R, F a T ds Γ Dimostrare che il campo vettoriale F x, y) x φx 2 + y 2 ), y φx 2 + y 2 ) ) é conservativo per ogni scelta di φ C R). 3.. Soluzione: Il campo F a é definito in tutto il piano, aperto stellato, quindi per il Lemma di Poincaré é dotato di potenziale per tutti i valori a per i quali riesce rot F a Tenuto conto che rot F a,, x y +a y2) e x2 ) } y x +a y2) e x2 ) },, 2a ) x y e x2 +ay 2 ) ne segue rot F a a } F x, y) x e x2 + y 2), y e x2 + y 2 ) Ux, y) Si riconosce facilmente che le due componenti di F sono le due derivate parziali della Ux, y) 2 e x2 +y 2 ) che pertanto é un potenziale di F. Il lavoro lungo la poligonale Γ deve comunque, almeno se a essere calcolato eseguendo le integrazioni F a. T ds x e x2 dx + y e ay2 dy Γ 2 e } 2a e a }

5 Nel caso a il lavoro é nullo: infatti Γ 4. ESERCIZIO 5 F a. T ds U, ) U, ) essendo i due punti, ) e, ) appartenenti alla stessa linea di livello la circonferenza di centro l origine e raggio ) della Ux, y). Per decidere se il campo F x, y) x φx 2 + y 2 ), y φx 2 + y 2 ) ) sia conservativo é necessario e sufficiente che si abbia Tenuto conto che rot F,, rot F x y φx2 + y 2 )) } y x φx2 + y 2 ),, y φ x 2 + y 2 ) 2x x φ x 2 + y 2 ) 2y },, } si ha l asserto: il campo Fx, y) x φx 2 + y 2 ), y φx 2 + y 2 ) ) e conservativo per ogni scelta di φ C R). Sia dato il campo vettoriale F x, y, z) x, y + 4. Esercizio z y 2 + z 2, z Calcolare rot F. Calcolare il lavoro di F lungo la curva } y y 2 + z 2 C : xt) t, yt) sin t, zt) cos t} t [, 2π]. Dire se il campo vettoriale F e conservativo e, in caso affermativo, determinarne un potenziale.

6 6 4.. Soluzione: i j k rot F x y z z y x y + z y 2 + z 2 y 2 + z 2 Il calcolo del lavoro: 2π Conservativo? LC) C F. T ds,, } t + sint) + cost)) cost) + cost) sint)) sint))} dt 2π 2 + 2π Il campo F ha rotore nullo, tuttavia essendo definito in un aperto Ω : x, y, z) R 3, y 2 + z 2 } non stellato, Ω é tutto R 3 privato dell asse x, non puó essere applicato ad F il Lemma di Poincaré. F potrebbe essere conservativo come pure potrebbe non esserlo: osservato che F x, y, z}, z y 2 + z 2, y y 2 + z 2 } si riconosce nel primo addendo x, y, z} un ben noto campo conservativo, di potenziale 2 x2 + y 2 + z 2 ) nel secondo addendo un noto campo non conservativo, generalmente indicato come campo magnetico associato ad un filo percorso da corrente. Quindi il campo F non puó essere conservativo. Una verifica diretta che F non é conservativo poteva essere condotta calcolando il lavoro di F lungo la circonferenza B : x, y cost), z sint), B F. T ds In genere scritto con y al posto di z e x al posto di y t [, 2π]}

7 2π 4. ESERCIZIO 7 cost) + sint)) sint)) + sint) cost)) cost)} dt 2π