Prof. R. Capone Esercitazioni di Matematica IV Corso di studi in Matematica

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1 Forme differeniali lineari in tre variabili Sia Ω R 3 un insieme aperto e siano, B, C: Ω R funioni continue in Ω. Consideriamo la forma differeniale ω in Ω ω = (, y, )d + B(, y, )dy + C(, y, )d Si dice che la forma differeniale è integrabile in Ω o che essa è un differeniale esatto in Ω quando esiste una funione f(, y, ) continua in Ω la quale, in ogni punto di Ω abbia come differeniale totale la forma (, y, )d + B(, y, )dy + C(, y, )d, tale cioè che sia: ossia df = (, y, )d + B(, y, )dy + C(, y, )d df df = (, y, ), d df = B(, y, ), dy = C(, y, ). d Ogni funione f(, y, ) che soddisfi le condiioni sopra scritte si chiama una primitiva o un integrale della forma differeniale. Vale il seguente teorema Se le funioni (, y, ), B(, y, ), C(, y, ) sono funioni continue assieme alle derivate pariali,, B, B, C, C nel parallelepipedo T: T: a b, c y d, e f allora condiione necessaria e sufficiente affinché l espressione differeniale sia un differeniale esatto è che si abbia: = B, = C, B = C In tal caso l integrale indefinito della dorma differeniale è dato dalla formula: y f(, y, ) = (, y, )d + B(, y, )dy + C(, y, )d + c y dove (, y, ) è un punto arbitrario di T e c una costante arbitraria Teorema La formula b (((t), y(t), (t)) (t) + B ((t), y(t), (t))y (t) + C((t), y(t), (t)) (t))dt a

2 non dipende dalla parametriaione della curva orientata semplice e regolare γ ma dipendono dall orientaione della curva stessa. Nel caso di una curve orientata, semplice regolare γ, poiché γ si può considerare come l unione di curve regolari γ,,, γ n, l integrale della forma differeniale esiste anche in questo caso e si ha: ω γ = ω γ + ω + + ω γ n Nel fare gli integrali curvilinei delle forme differeniali occorre prestare molta attenione all orientamento della curva. Per questo motivo, gli integrali curvilinei delle forme differeniali sono detti integrali orientati. ES. Riconoscere che la forma differeniale ω(, y, ) = (y + + ) d + ( + y)dy + (y + arctg)d è un differeniale esatto e calcolare il suo integrale indefinito Il problema dell integraione si può porre in tutto lo spaio. Nel nostro caso è: (, y, ) = y + + ; B(, y, ) = + y; C(, y, ) = y + arctg Si constata facilmente che risulta: Quindi la forma differeniale è esatta. Per trovare l integrale si procede come segue: = B = = C = + B = C = y f(, y, ) = (y + + ) d + ( + y)dy + (y + arctg)d + c = y + arctg + y + c y Cambiamento di variabili negli integrali doppi Spesso conviene esprimere un ominio rispetto a cui calcoliamo un integrale doppio delle variabili e y, attraverso un nuovo dominio T, sfruttando eventuali simmetrie sia del dominio di integraione che della funione integranda. Un cambiamento di variabili è una funione

3 T: (u, v) R ((u, v), y(u, v)) R Consideriamo una funione T, lineare dal piano uv al piano y: T ([ u + bv ]) = [au v cu + dv ] = [u b ], = [a v c d ] Per via della linearità, T trasforma parallelogrammi del piano uv in altri parallelogrammi del piano y. Vi è un rapporto costante tra l area di un parallelogramma S e quella della sua immagine T(S), il cui fattore di proporionalità è il modulo del determinante della matrice associata : rea(t(s)) = det rea(s) Cosa succede se S non è un parallelogramma? ato che una funione lineare manda parallelogrammi in parallelogrammi, allora manda poligoni in poligoni, mantenendo il medesimo fattore di proporionalità fra l area del poligono e quello della sua immagine. In particolare, manda poligoni inclusi in S in poligoni inclusi in T(S) e ugualmente per quelli contenenti S, che hanno immagine contenente T(S). Perciò possiamo concludere in base alla definiione di misura secondo Peano Jordan che la relaione di proporionalità fra l area di un insieme e quella della sua immagine vale per tutti gli insiemi dotati di area. efiniione Se T è una funione lineare, allora, per ogni insieme S, misurabile secondo Peano Jordan, si ha rea(t(s)) = det(j T ) rea(s) dove J T = è la matrice associata, nonché la matrice jacobiana di T. La matrice jacobiana della funione è: T: (u, v) R ((u, v), y(u, v)) R J T (u, v) = [ u u v ] v Teorema del cambiamento di variabili Se T: R R è una trasformaione di classe C, T(u, v) = ((u, v), y(u, v) che sia: biunivoca da un aperto misurabile S del piano uv in un aperto misurabile T = T(S) del piano y; Con jacobiano sempre non nullo e limitato (una trasformaione che gode di queste proprietà si chiama anche diffeomorfismo) llora, f: T R integrabile su T, vale la formula: 3

4 Eserciio n Calcolare l integrale doppio: (, y) f(, y)ddy = f((u, v), y(u, v) (u, v) dudv T S Essendo il dominio definito dalle limitaioni: cos( + y) e y ddy + y, y Si può effettuare un cambiamento di variabili + y = u; y = v l dominio, corrisponde nel piano (u,v) il dominio T definito dalle limitaioni: u, v Il determinante funionale vale: Si ha quindi: cos( + y) e y ddy J = = = cosu ev dudv T = cosudu e v dv = e e 4

5 Relaione tra integrale doppio e integrale curvilineo (formule di Gauss-Green) nel piano efiniione Se è un dominio limitato in R, la cui frontiera sia una curva di Jordan regolare a tratti, si dice che è orientata positivamente se è orientata in senso antiorario e si denoterà col simbolo + Le formule di Gauss-Green sono applicabili quando l insieme di integraione è un dominio regolare. Esse permettono di calcolare un integrale doppio attraverso un integrale curvilineo di una forma differeniale lineare esteso alla frontiera di. L uso di tali formule è molto utile quando il dominio di integraione (regolare) è dato in rappresentaione parametrica. ato l integrale doppio f(, y)ddy occorre determinare una funione F(,y) tale che, in, si abbia: oppure La funione F(, y) può essere calcolata come: f(, y) = F f(, y) = F F(, y) = f(, y)d e F(, y) = f(, y)dy In base alle formule di Gauss-Green, si ha: Lemma Fddy Fddy = F(, y)dy = F(, y)d Sia un dominio semplice (o normale) rispetto agli assi e F(, y) = P(, y) + Q(, y) un campo vettoriale definito dalla chiusura di di classe C : Se = {(, y) R : a < < b, φ () < y < φ ()} con φ () e φ () regolari a tratti, allora P y ddy = Pd + 5

6 Se = {(, y) R : c < y < d, ψ (y) < < ψ (y)} con ψ (y) e ψ (y) regolari a tratti, allora Eserciio n 3 eterminare il seguente integrale Q ddy = Qdy + dove è il dominio rappresentato in figura yddy Svolgiamo l integrale sena le formule di Gauss-Green Utiliiamo la trasformaione in coordinate polari: = + ρcosθ { y = ρsinθ ρ, θ yddy = ( + ρcosθ)ρsinθρdρdθ = ρ dρ = [ ρ3 3 ] [ cosθ] + [ρ4 4 ] sinθdθ sinθdθ Calcoliamo lo stesso integrale facendo uso delle formule di Gauss-Green: llora dove F(, y) = f(, y)d = yd = y F(, y)dy = y dy = y dy γ + ρ 3 dρ = 3 + y dy sinθcosθdθ = = t γ : { y = t 6

7 = + cost : { y = sint t Lungo γ l integrale è evidentemente nullo. Eserciio n 4 Calcolare il seguente integrale: y dy = ( + cost) sint costdt = 3 dove = {(, y) R :, y } ( + y ) ddy Calcoliamo l integrale doppio sena usare le formule di Gauss-Green. Si ha che: ( + y ) ddy = ddy + y = ( )d Con le formule di Gauss-Green: llora si ha: F(, y)dy + [ y3 3 ] ddy = d = ( 3 4 )d = [ ] + [ 4 7 ] = 3 35 dy + d + ( ) d = F(, y) = f(, y)d = ( + y )d = y = ( 3 = ( 3 γ y dy = ( 3 dove γ e hanno rappresentaioni parametriche: 7

8 = t γ : { y = t t = t : { y = t t Si noti che ha verso di percorrena opposto a quello richiesto. Calcolando separatamente gli integrali lungo le due curve si ha: In definitiva ( 3 γ = ( t3 3 + t5 ) tdt ( 3 ( 3 γ = ( t4 3 + t6 ) dt = ( t3 3 + t3 ) dt = 3 ( 3 = = 3 35 = 44 5 Possiamo adoperare l altra formula di Gauss indistintamente, ottenendo lo stesso risultato: Segue che: In definitiva: F(, y) = f(, y)d = ( + y )dy = y3 3 + y F(, y)d = ( y3 3 + y) d + ( y3 γ 3 + y) d ( y3 3 + y) d = (t 4 + t6 3 ) dt 6 = γ 5 ( y3 3 + y) d = ( t3 3 + t3 ) dt = 3 F(, y)d = ( y3 3 + y) d + ( y3 3 + y) d = = 3 35 γ 8