Meccanica. 3. Elementi di Analisi Vettoriale. Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia.

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1 Meccanica 3. Elementi di Analisi Vettoriale Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia 5 maggio 2017

2 Traccia 1. Vettori Variabili 2. Derivate e Integrali 3. Derivate dei Versori 4. Spostamento Elementare 5. Aree e Volumi Elementari 6. Operatori Differenziali 2

3 Vettori Dipendenti da un Parametro Uno scalare fisico (p. es. la temperatura) può dipendere da un parametro s (per esempio il tempo o la coordinata intrinseca). In tal caso la variazione è descritta da una funzione scalare del parametro: f : s [ R] f (s) R Analogamente un vettore fisico (p. es. la velocità) può dipendere da un parametro s (per esempio il tempo o la coordinata intrinseca). In questo caso la variazione è descritta da una funzione vettoriale del parametro: v : s [ R] v (s) V 3

4 Vettori Dipendenti dal Punto di Applicazione e Campi Vettoriali Uno scalare fisico (p. es. la temperatura) può variare con la posizione P (x, y, z) nello spazio. In tal caso la variazione è descritta da un campo scalare (ovvero da una funzione scalare delle 3 coordinate spaziali): f : P î R 3ó f (P ) R Analogamente un vettore fisico (p. es. la velocità) può variare con la posizione P (x, y, z) nello spazio. In questo caso la variazione è descritta da un campo vettoriale (ovvero da una funzione vettoriale delle 3 coordinate spaziali): v : P î R 3ó v (P ) V campo vettoriale della velocità del vento 4

5 Derivata di un Vettore Dato un vettore v(s) dipendente in modo continuo da un parametro s (p. es. il tempo), si definisce derivata del vettore v(s) rispetto alla variabile s il limite del rapporto incrementale: d v(s) ds v = lim s 0 1 s = lim s 0 v(s + s) v(s) s = lim s 0 s [ v(s + s) v(s)] Essendo una moltiplicazione scalare tra la differenza v(s + s) v(s) di due vettori (che è un vettore) e lo scalare 1 s, la derivata di un vettore è un vettore. La direzione della derivata d v(s) ds, in generale, è diversa dalla direzione di v(s). = 5

6 Regole di Derivazione dei Vettori Per i vettori valgono le seguenti regole di derivazione: d Ä ä a ± d a b = dt dt ± d b dt d dα (α a) = a + αd a dt dt dt d Ä ä d a a b = dt dt b + a d b dt d Ä ä a d a b = dt dt b + a d b dt Le derivate dei vettori possono essere effettuate mediante le espressioni cartesiane: d v dt = dv x dt î + dv y dt ĵ + dv z dt ˆk essendo i versori cartesiani {î, ĵ, ˆk} costanti. { α R a, b V 6

7 Funzione Primitiva o Integrale Indefinito Data una funzione scalare: f s [ R] f (s) R si definisce funzione primitiva o integrale indefinito della funzione f la funzione F tale che f sia la derivata di F : F = f (s) ds f = df ds Analogamente, data una funzione vettoriale: s [ R] v v (s) V si definisce funzione primitiva o integrale indefinito della funzione v la funzione w tale che v sia la derivata di w: w = v (s) ds v = d w ds 7

8 Funzione Primitiva o Integrale Indefinito (II) La funzione primitiva (o integrale indefinito) si può calcolare mediante le espressioni cartesiane: v (s) = v x (s) î + v y (s) ĵ + v z (s) ˆk v (s) ds = î v x (s) ds + ĵ v y (s) ds + ˆk v z (s) ds 8

9 Derivate Parziali Data una funzione scalare di più variabili f (x, y, z), si definiscono derivate parziali i limiti (se esistono): f f (x + x, y, z) f (x, y, z) (x, y, z) = lim x x 0 x f f (x, y + y, z) f (x, y, z) (x, y, z) = lim y y 0 y f f (x, y, z + z) f (x, y, z) (x, y, z) = lim z z 0 z Esempio: f (x, y, z) = xy 2 sin z f x (x, y, z) = y2 sin z f (x, y, z) = 2xy sin z y f z (x, y, z) = xy2 cos z 9

10 Derivata Parziale e Derivata Totale La derivata totale è diversa dalla derivata parziale se esiste una dipendenza funzionale tra le variabili. Esempio: Funzione di 2 variabili; una delle due variabili è funzione dell altra: f (x, y) = x 2 y 2 y = 2x Le derivate parziali rispetto a una variabile sono effettuate considerando le altre variabili come se fossero costanti: f x = f 2xy2, y = 2x2 y La derivata totale rispetto a x si effettua considerando la dipendenza funzionale di y da x: f (x, y (x)) = x 2 y 2 (x) = x 2 (2x) 2 = 4x 4 df dx = 16x3 f x 10

11 Derivata Parziale e Derivata Totale (II) Esempio: Si osservi che in questo esempio: f (x, y) = x 2 y 2 y = 2x vale la relazione: df dx = f x + f y Infatti: f x + f y dy dx dy dx = 2xy2 + ( 2x 2 y ) 2 = 2xy 2 + 4x 2 y = 2x (2x) 2 + 4x 2 (2x) = = 8x 3 + 8x 3 = 16x 3 = df dx 11

12 Derivate dei Versori della Base Cartesiana Rispetto alle Coordinate Cartesiane La base cartesiana è globale: I versori non dipendono dalle coordinate: î x = 0, ĵ x = 0, ˆk x = 0, î y = 0, ĵ y = 0, ˆk y = 0, î z = 0, ĵ z = 0, ˆk z = 0. 12

13 Derivate dei Versori della Base Cilindrica Rispetto alle Coordinate Cilindriche La base cilindrica è locale: Alcuni versori dipendono dalle coordinate: î r (ϕ) = 0, r î ϕ (ϕ) = 0, r ˆk r = 0, î r (ϕ) ϕ = î ϕ, î ϕ (ϕ) ϕ = î r, ˆk ϕ = 0, î r (ϕ) = 0, z î ϕ (ϕ) = 0, z ˆk z = 0. parallelo 13

14 Derivate dei Versori della Base Cilindrica Rispetto alle Coordinate Cilindriche (II) Infatti: î r (ϕ) = (cos ϕ) î + (sin ϕ) ĵ î ϕ (ϕ) = (sin ϕ) î + (cos ϕ) ĵ ˆk = ˆk Quindi: î r ϕ = (sin ϕ) î + (cos ϕ) ĵ = î ϕ î ϕ ϕ = (cos ϕ) î (sin ϕ) ĵ = î r parallelo 14

15 Derivate dei Versori della Base Intrinseca Rispetto alla Coordinata Intrinseca La base intrinseca è locale: In generale i versori dipendono dalla coordinata s: dˆt(s) = κ ˆn ds dˆn(s) = κ ˆt + τ ds ˆb dˆb(s) = τ ˆn ds (formule di Frenet-Serret). Infatti, per quanto riguarda la I si ha: ˆn = ρ dˆt ds dˆt ds = 1 ˆn = κ ˆn ρ ˆb 15

16 Derivate dei Versori della Base Intrinseca Rispetto alla Coordinata Intrinseca (II) Per dimostrare la III, utilizziamo la scomposizione di un generico vettore in coordinate intrinseche: v = Ä v ˆt ä ˆt + Ä v ˆn ä ˆn + Ä v ˆb ä ˆb applicandola a v = dˆb ds ( ) ( : ) dˆb dˆb dˆb ds = ds ˆt ˆt + ds ˆn ˆn + ( ) dˆb ds ˆb ˆb Calcoliamo i 3 termini tra parentesi. Il 1 o si scrive: ï dˆb d ds ˆt = Ĉt ˆn äò ñ dˆt ˆt = ds ds ˆn + ˆt dˆn ô ˆt = ds ï = (κˆn) ˆn + ˆt dˆn ò ï ˆt = κ (ˆn ˆn) + ˆt dˆn ò ˆt = ds ds Å = ˆt dˆn ã ˆt = Ĉt ˆt ä dˆn ds ds = 0 ˆb 16

17 Derivate dei Versori della Base Intrinseca Rispetto alla Coordinata Intrinseca (III) Il 2 o termine tra parentesi si ricava dalla definizione di torsione: τ = ˆn dˆb dˆb ˆn = τ ds ds Il 3 o termine tra parentesi si ricava dalla relazione di ortonormalità: ˆb ˆb = 1 d Ĉb ˆbä = 0 ds dˆb ds ˆb + ˆb dˆb ds = 0 2 dˆb ds ˆb = 0 dˆb ds ˆb = 0 ˆb 17

18 Derivate dei Versori della Base Intrinseca Rispetto alla Coordinata Intrinseca (IV) Mettendo insieme i 3 termini della III avremo quindi: ( ) ( ) ( ) dˆb dˆb dˆb dˆb ds = ds ˆt ˆt + ds ˆn ˆn + ds ˆb ˆb = = 0 ˆt τ ˆn + 0 ˆb = τ ˆn Dimostriamo infine la II: dˆn ds = d Ĉb ˆt ä = dˆb ds ds ˆt + ˆb dˆt ds = = ( τ ˆn) ˆt + ˆb (κ ˆn) = = τ Ĉn ˆt ä + κ Ĉb ˆn ä = = τ Ä ˆb ä + κ Ä ˆt ä = κ ˆt + τ ˆb ˆb 18

19 Il Vettore Spostamento Elementare Il vettore spostamento elementare o spostamento infinitesimo d r: È la variazione elementare o infinitesima del vettore posizionale, Ovvero è il differenziale del vettore posizionale. Le sue componenti, rispetto a una prefissata base di versori: Sono gli spostamenti infinitesimi nelle direzioni orientate dei versori della base. 19

20 Il Vettore Spostamento Elementare nella Base Cartesiana Nella base cartesiana si ha: d r = dx î + dy ĵ + dz ˆk,» d r = (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 20

21 Il Vettore Spostamento Elementare nella Base Cilindrica Nella base cilindrica si ha: d r = dr î r + r dϕ î ϕ + dz ˆk» d r = (dr) 2 + r 2 (dϕ) 2 + (dz) 2 d r a primo membro è il vettore spostamento elementare; dr a secondo membro è la variazione della coordinata cilindrica r. 21

22 Il Vettore Spostamento Elementare nella Base Sferica Nella base sferica si ha: d r = dρ î ρ + ρ dθ î θ + ρ (sin θ) dϕ î ϕ d r = (dρ) 2 + ρ 2 (dθ) 2 + ρ Ä 2 sin 2 θ ä (dϕ) 2 22

23 Il Vettore Spostamento Elementare nella Base Intrinseca Nella base intrinseca si ha: d r = ds ˆt d r = ds ˆb 23

24 Aree Elementari in Coordinate Cartesiane Dalle componenti dello spostamento elementare nella base cartesiana possiamo costruire le seguenti tre aree elementari giacenti sui piani perpendicolari ai versori cartesiani î, ĵ e ˆk: d r = dx î + dy ĵ + dz ˆk quindi: ds x = dy dz ds y = dz dx ds z = dx dy 24

25 Aree Elementari in Coordinate Cilindriche Dalle componenti dello spostamento elementare nella base cilindrica possiamo costruire le seguenti tre aree elementari giacenti sui piani perpendicolari ai versori cilindrici î r, î ϕ e ˆk: d r = dr î r + r dϕ î ϕ + dz ˆk quindi: ds r = r dϕ dz ds ϕ = dr dz ds z = r dr dϕ 25

26 Aree Elementari in Coordinate Sferiche Dalle componenti dello spostamento elementare nella base sferica possiamo costruire le seguenti tre aree elementari giacenti sui piani perpendicolari ai versori sferici î ρ, î θ e î ϕ : d r = dρ î ρ + ρ dθ î θ + ρ (sin θ) dϕ î ϕ quindi: ds ρ = ρ 2 (sin θ) dθ dϕ ds θ = ρ (sin θ) dρ dϕ ds ϕ = ρ dρ dθ 26

27 Volume Elementare in Coordinate Cartesiane Dalle componenti dello spostamento elementare nella base cartesiana possiamo costruire il volume elementare espresso in coordinate cartesiane: d r = dx î + dy ĵ + dz ˆk quindi: dv = dx dy dz 27

28 Volume Elementare in Coordinate Cilindriche Dalle componenti dello spostamento elementare nella base cilindrica possiamo costruire il volume elementare espresso in coordinate cilindriche: d r = dr î r + r dϕ î ϕ + dz ˆk quindi: dv = r dr dϕ dz 28

29 Volume Elementare in Coordinate Sferiche Dalle componenti dello spostamento elementare nella base sferica possiamo costruire il volume elementare espresso in coordinate sferiche: d r = dρ î ρ + ρ dθ î θ + ρ (sin θ) dϕ î ϕ quindi: dv = ρ 2 (sin θ) dρ dθ dϕ 29

30 Il Simbolo Nabla Il simbolo nabla, che si indica con il simbolo, è un operatore differenziale vettoriale formale che in una base di versori cartesiana {î, ĵ, ˆk} si rappresenta simbolicamente come: = î x + ĵ y + ˆk z L applicazione del simbolo nabla a campi scalari e vettoriali produce gli operatori gradiente, divergenza e rotore : f gradiente v divergenza v rotore 30

31 L Operatore Gradiente Consideriamo una funzione scalare della posizione P : f = f (P ) = f (x, y, z) Si definisce l operatore gradiente come: f = î x + ĵ y + ˆk z f = î f x + ĵ f f + ˆk y z f = grad f = î f x + ĵ f f + ˆk y z L operatore gradiente si applica a una funzione scalare; il risultato è un vettore: P î R 3ó f f (P ) R P î R 3ó f Ä ä f (P ) V 31

32 L Operatore Gradiente (II) Esempio: Data la funzione scalare: f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy R il gradiente è la funzione vettoriale: Ä ä f f (x, y, z) = î x + ĵ f f + ˆk y z = = 2 (x + y) î + 2 (x + y) ĵ + 2z ˆk V 32

33 L Operatore Divergenza Consideriamo una funzione vettoriale della posizione P : v = v (P ) = v (x, y, z) = v x (x, y, z) î + v y (x, y, z) ĵ + v z (x, y, z) ˆk Si definisce l operatore divergenza come: v = î x + ĵ y + ˆk z Äv v x x î + v y ĵ + v z ˆkä = x + v y y + v z z v = div v = v x x + v y y + v z z L operatore divergenza si applica a una funzione vettoriale; il risultato è uno scalare: P î R 3ó v v (P ) V P î R 3ó v Ä v ä (P ) R 33

34 L Operatore Divergenza (II) Esempio: Data la funzione vettoriale: v (x, y, z) = ( x 2 + y 2) î + ( x 2 + z 2) ĵ + z ˆk V la divergenza è la funzione scalare: Ä ä v x v (x, y, z) = x + v y y + v z z = = 2x + 1 R 34

35 L Operatore Rotore Consideriamo una funzione vettoriale della posizione P : v = v (P ) = v (x, y, z) = v x (x, y, z) î + v y (x, y, z) ĵ + v z (x, y, z) ˆk Si definisce l operatore rotore come: v = î x + ĵ y + ˆk z Ä v x î + v y ĵ + v z ˆkä î ĵ ˆk v = rot v = det x y z = v x v y v z ï vz = y v ò ï y vx î + z z v ò ï z vy ĵ + x x v ò x ˆk y 35

36 L Operatore Rotore (II) L operatore rotore si applica a una funzione vettoriale; il risultato è un vettore: P î R 3ó v v (P ) V P î R 3ó v Ä v ä (P ) V 36

37 L Operatore Rotore (III) Esempio: Data la funzione vettoriale: v (x, y, z) = 2y î + 2x ĵ + 2z ˆk V il rotore è la funzione vettoriale: î ĵ ˆk î ĵ ˆk Ä ä v (x, y, z) = det x y z = det x y z = v x v y v z 2y 2x 2z ï (2z) = (2x) ò ï ( 2y) î + (2z) ò ĵ + y z z ï x (2x) + x ( 2y) ò ˆk = y = 4 ˆk V 37

38 Operatori Differenziali Riassumendo, definite le funzioni: R 3 f R (funzione scalare) R 3 si ha: R 3 R 3 R 3 v V f V v R v V (funzione vettoriale) (gradiente) (divergenza) (rotore) 38

39 Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia domenico.galli@unibo.it