Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica 4.1

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1 Statica e Cinematica Ammissibili Deformazioni e sforzi sono detti virtuali (non necessariamente veri) quando sono rispettosi di determinate condizioni. Corpo in equilibrio nella configurazione deformata sotto l azione di carichi esterni (forze di volume e superficie e spostamenti sul contorno vincolato). Un campo di sforzi k si dice staticamente ammissibile se con i carichi statici soddisfa le equazioni di equilibrio indefinite all interno del corpo e le condizioni di equilibrio sul contorno caricato S f : Un campo addizionale di spostamenti infinitesimi u k (x ) (assimilabile ad un atto di moto, quindi linearizzabile) si dice cinematicamente ammissibile se possiede derivate parziali prime continue all interno del corpo e rispetta tutte le condizioni al contorno sugli spostamenti: Lo spostamento virtuale va inteso come una variazione del campo di spostamenti corrispondente alla configurazione corrente di equilibrio. Come tale deve essere omogeneo sul contorno vincolato. Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica 4.1

2 Principio dei Lavori Virtuali (1) Si valuta il lavoro virtuale esterno W ext che le forze compiono per la variazione degli spostamenti virtuali dei loro punti di applicazione: Si applica il teorema di Gauss all integrale di superficie e si integra per parti: Il termine in parentesi tonda sparisce per l ipotesi di statica equilibrata. Il termine che resta puo essere riscritto considerando solo la parte simmetrica del gradiente della variazione di spostamento u,k, che concettualmente corrisponde alla velocita di deformazione k (variazioni infinitesime). Per la proprieta del prodotto tensioriale interno: Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica 4.2

3 Principio dei Lavori Virtuali (2) Il lavoro virtuale esterno coincide con il lavoro vituale interno che gli sforzi in equilibrio con le forze esterne compiono per le velocita di deformazione congruenti con il campo di spostamenti virtuali (principio o equazione dei lavori virtuali): Nell ipotesi che il campo di spostamenti virtuale sia quello vero, l equazione dei lavori virtuali e una forma alternativa delle equazioni indefinite di equilibrio. L equilibrio imposto dalle condizioni indefinite di equilibrio e una condizione vettoriale, definita puntualmente (forma esatta e difficile da realizzare). L equilibrio imposto dall equazione dei lavori virtuali e una condizione scalare, definita su un volume finito del solido (forma debole, ottenuta mediante scalarizzazione prodotto scalare con un vettore- e integrazione su un volume). Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica 4.3

4 Equilibrio in Forma Debole Il principio dei lavori virtuali vale: Indipendentemente dalla natura del materiale del corpo; Indipendentemente dall entita degli spostamenti reali. L equazione ricavata con uso di coordinate spaziali e non materiali. Le deformazioni infinitesime virtuali sono definite con riferimento a una configurazione di equilibrio, e non a uno stato privo di sollecitazione (configurazione indeformata). Esse sono assimilabili ad un atto di moto a partire dalla configurazione deformata, caratterizzato da velocita virtuali v = u/t. In questa forma piu generale l equazione e nota come principio delle potenze virtuali: In questa forma appare il tensore velocita di deformazione D k (parte simmetrica del gradiente di velocita ). Il premesso alle espressioni delle velocita indica il campo virtuale. Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica 4.4

5 PLV in Piccoli Spostamenti Nell ipotesi di piccoli spostamenti, in cui gli spostamenti totali sono infinitesimi e l equilibrio si instaura nella configurazione indeformata, il principio dei lavori virtuali puo essere riscritto in termini di spostamenti virtuali totali e non di spostamenti virtuali incrementali. In tal caso, occorre considerare anche gli spostamenti imposti sul contorno vincolato S u : S to ds uo ds t k u r u b u σ k k S V V o dv o dv L identita dei lavori virtuali e conseguenza esclusivamente dell equilibrio e della congruenza. Formalmente possiamo scrivere ognuna delle seguenti relazioni simboliche: 1. Equilibrio + Congruenza = Principio dei Lavori Virtuali 2. Congruenza + Principio dei Lavori Virtuali = Equilibrio 3. Equilibrio + Principio dei Lavori Virtuali = Congruenza Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica 4.5