CAMPI VETTORIALI (Note)

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1 CAMPI VETTORIALI (Note) Sia v(x,y,z) il vettore che definisce la grandezza fisica del campo: il problema che ci si pone è di caratterizzare il campo vettoriale sia in termini locali, cioè validi punto per punto, sia nelle sue proprietà integrali, cioè relative a una regione finita dello spazio. sola linea del campo. Prima di procedere in tal senso è opportuno fornire una rappresentazione geometrica del campo mediante le sue linee: si definisce linea del campo all istante t la linea che in ogni suo punto il vettore v ivi definito risulta tangente a essa. Possiamo quindi pensare di costruire una tale linea passante per un assegnato punto P come inviluppo degli spostamenti infinitesimi successivi condotti a partire da P lungo le direzioni individuate da quelle del vettore v nel verso concorde a esso. In genere per ogni punto del campo, che non sia la posizione di una sorgente, passa una La rappresentazione delle linee del campo permette anche di comprendere visivamente in modo rapido quale sia l intensità della grandezza vettoriale v nell intorno di un generico punto Q. Considerando una superficie S centrata su Q e ortogonale a v(q), la densità areica di linee (cioè il numero di queste che attraversano l area unitaria) è proporzionale all intensità della grandezza vettoriale in Q (criterio di Faraday). Spesso alle linee del campo si danno denominazioni diverse in dipendenza del carattere della grandezza del campo: se questa è una forza si parla di linee di forza, se è una velocità si hanno linee di flusso, se è uno spostamento si hanno linee di corrente, ecc. Volendo pervenire all equazione delle linee del campo vettoriale v(x,y,z,t*) all istante t*, essendo la direzione della tangente in un suo punto uguale a quella del vettore nello stesso punto, si ha (in coordinate cartesiane): [1] Cioè esse sono definite dalle equazioni differenziali [2] Proprietà integrali: l integrale di linea, la circuitazione, il flusso Volendo determinare quali siano le proprietà del campo vettoriale relative a strutture spaziali, quali linee o superfici, di dimensioni finite nello spazio o quelle valide punto per punto è necessario studiare i risultati dell applicazione di particolari operatori di campo. Iniziamo l analisi delle proprietà integrali dal concetto di integrale di linea del vettore del campo v(x,y,z,t) lungo la linea orientata Γ il cui elemento di linea sia dl definito da [3] 1

2 Il valore di tale integrale dipende in generale dai punti A e B su Γ tra cui si sviluppa il cammino di integrazione, ma anche dal cammino stesso Γ scelto. Se accade che v sia stazionario, cioè indipendente dal tempo t, e se l integrale [3] è indipendente da ogni cammino seguito per andare da A a B il vettore è detto conservativo. In tal caso l integrale di linea dipende soltanto dai punti A e B e quindi esso sarà uguale alla variazione di una funzione monodroma scalare soltanto spaziale (cioè indipendente dal tempo) [4] Nel caso che la grandezza vettoriale sia una forza l integrale di linea rappresenta il lavoro e la funzione è l energia potenziale associata al vettore forza v(x,y,z). Nel caso di cammini di integrazione chiusi connessi la precedente si scrive [5], essendo tale integrale su un cammino chiuso detto circuitazione. Pertanto per un vettore conservativo la circuitazione su ogni cammino chiuso che contorni un campo connesso è nulla. Già da tale proprietà integrale possiamo trarre un informazione circa la struttura delle linee del campo vettoriale v: se esso è conservativo le sue linee sono aperte, cioè esse non sono rappresentate da una linea chiusa e hanno inizio su una sorgente e terminano su un altra sorgente (di tipo diverso dalla prima) al finito o all infinito. Tale conclusione può essere facilmente compresa in maniera intuitiva pensando che se le linee del campo v fossero chiuse il valore della circuitazione, calcolata su una qualsiasi di esse, sarebbe certamente non nulla. Si osservi che la proprietà integrale di conservatività di un campo vettoriale riguarda tutto lo spazio in cui esso è definito, dovendo valere la [5] su qualsiasi cammino chiuso di integrazione. Tale precisazione non è inutile se si pensa che è possibile che la condizione [5] sia rispettata in zone particolari ma non in tutto lo spazio. È questo il caso del campo di induzione magnetica B la cui circuitazione è nulla soltanto se calcolata su cammini che non concatenino alcuna corrente, ma tale risultato non vale per qualsiasi cammino di integrazione. Per quanto concerne le caratteristiche del campo vettoriale in connessione a superfici conviene introdurre il concetto di flusso del vettore attraverso una superficie orientata finita S. Si consideri nello spazio una superficie finita S, che risulti orientata mediante il versore a essa normale in ogni punto. Nel caso di superfici chiuse il versore viene scelto con orientazione verso l esterno. Si definisce flusso del vettore v attraverso S l integrale di superficie [6] È evidente che, essendo il flusso attraverso una superficie proporzionale all intensità del vettore sulla superficie stessa, cioè nella rappresentazione delle linee del campo, alla densità di tali linee sulla superficie, possiamo concludere che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie è proporzionale al numero (positivo o negativo, tenendo conto del verso entrante o uscente) di linee del campo che attraversano la superficie stessa. 2

3 Nel caso che il flusso, calcolato in relazione a una superficie chiusa, sia nullo può trarsi la conclusione che ogni linea del campo che entri in essa deve necessariamente anche uscire da questa. Ciò significa che entro il volume che abbia S come superficie libera non può trovarsi alcun punto singolare da cui inizino (o terminino) le linee del campo, cioè le sorgenti. Se accade che il flusso attraverso qualsiasi superficie chiusa è nullo allora si può concludere che le linee del campo sono chiuse. Proprietà locali: gradiente, divergenza, rotore Sin qui abbiamo visto quali siano le proprietà di un campo vettoriale in relazione a linee o superfici, ma volendo invece determinare le caratteristiche locali, cioè dato un punto P, studiarne il comportamento in regioni infinitesime circostanti, conviene introdurre operatori differenziali. A tale scopo consideriamo l operatore nabla, o operatore di Hamilton, indicato col simbolo coordinate cartesiane è espresso da, definito come il vettore che in [7] Le dimensioni dell operatore sono [L -1 ]. L applicazione dell operatore nabla a una funzione scalare u(x,y,z), che si presente formalmente come un semplice prodotto di un vettore per uno scalare, definisce il vettore gradiente di tale funzione [8] Volendo conoscere com è diretto tale vettore in un punto P dello spazio osserviamo che, detto c 1 il valore u(p) assunto dalla funzione scalare u(x,y,z) in corrispondenza di P, definiamo superficie di livello passante per P il luogo geometrico dei punti ove u(x,y,z)=c 1. Sulla superficie di livello la variazione di u(x,y,z) è per definizione nulla essendo su di essa la funzione costante, cioè Ricordando che il vettore dr= in P e appartenente alla superficie di livello è tangente a questa, ne consegue che il vettore gradiente di una funzione scalare u in un punto P è ortogonale alla superficie di livello passante per tale punto. In definitiva il vettore in un punto P ha come modulo la derivata direzionale di u(x,y,z) nella direzione ortogonale alla superficie di livello passante per P, essendo il suo verso positivo quello in cui u cresce (v.fig.). La derivata direzionale in una direzione generica individuata dal versore è data da. Volendo esprimere il gradiente di una funzione scalare u in coordinate polari, legate a quelle cartesiane dalle relazioni si ha 3

4 ,,. Dato un campo scalare u(x,y,z) che sia una grandezza continua e derivabile, è sempre possibile ottenere un campo vettoriale, che, come vedremo nel seguito, è conservativo. L applicazione dell operatore a un vettore v può essere fatta in due modi diversi: mediante un prodotto scalare o un prodotto vettoriale. Nel primo caso il risultato sarà uno scalare detto divergenza di v che risulta, in coordinate cartesiane, definito da [9]. Si osservi che il prodotto scalare è soltanto simbolico perché in questo caso non vale la commutazione, essendo Nel caso dei campi vettoriali l operatore divergenza è di fondamentale importanza perché mediante la sua applicazione è possibile non solo determinare la caratteristica delle sue sorgenti (vettoriali o scalari), ma anche per queste ultime determinarne la posizione. Per comprendere il significato geometrico di e la sua connessione con le sorgenti scalari del campo vettoriale conviene rinviare al paragrafo successivo ove le proprietà locali del campo saranno poste in relazione con quelle integrali. Tuttavia una prima idea del significato geometrico di si può avere se si considera la differenza tra il caso in cui la divergenza è uguale o diversa da zero. Consideriamo il caso della forza peso P=mg nell approssimazione di Terra piatta: il campo della gravità è uniforme con le linee del campo tutte parallele e verticali. In questo caso. Nel caso, invece, in cui le linee del campo si intersechino confluendo in un punto Q ove è posta la sorgente ivi si avrà (v. fig). Poiché in un solenoide a spire serrate il campo magnetico si presenta con un struttura con linee del campo parallele, un campo per il quale si abbia In coordinate polari si ha: è detto solenoidale. 4

5 Il prodotto vettoriale espresso come dà luogo a un vettore, detto rotore di v, che in coordinate cartesiane è [10] Un modo semplice per comprendere il significato geometrico del rotore è di considerare v come il campo di velocità di un fluido incomprimibile. Nel caso semplice di un moto unidimensionale del fluido, per es. v=(v,0,0), sicuramente si ha se in direzione y e/o z la velocità v varia. In fig. è illustrata la situazione presente nel moto laminare unidimensionale di un fluido reale in cui si ha, cioè la componente z del rotore di v non è nulla. Se in un punto qualsiasi P del campo si ponesse una piccola ruota a pale con asse parallelo a z si osserverebbe che essa viene posta in rotazione dalla presenza del gradiente trasverso della velocità. La velocità angolare di rotazione sarebbe tanto maggiore quanto più grande fosse la componente di nella direzione dell asse della ruota. Sempre rimanendo nel modello idrodinamico ricordiamo che per un fluido in moto si definisce vorticità il vettore : cioè un moto rotazionale presenta componenti non nulle della velocità angolare ω. Un campo vettoriale per il quale si abbia in ogni punto dello spazio possano dar luogo a gradienti trasversi è detto irrotazionale, cioè non sono presenti vortici che con i k. I campi per i quali presentano sorgenti di tipo vettoriale (per es. momenti). Le componenti di rot v espresse in coordinate polari sono date da Relazioni tra le proprietà integrali e differenziali di un campo vettoriale La correlazione tra la proprietà differenziale di un campo vettoriale espressa dalla divergenza e la proprietà integrale del flusso è espressa dal teorema della divergenza. Esso dichiara che l integrale di volume della divergenza di un vettore v esteso a un volume finito V è uguale al flusso di v attraverso la superficie chiusa Σ che racchiude V: 5

6 [11]. Tale risultato ci permette di comprendere il significato dell operatore divergenza. Infatti, considerando un fluido incomprimibile, essendo il flusso del vettore velocità attraverso una superficie chiusa Σ semplicemente il volume di fluido che esce nell unità di tempo, cioè la portata volumica, ne consegue che la divergenza della velocità è la portata a unità di volume relativo al volume racchiuso da Σ. È evidente da quanto ora detto che se div v 0 in un volume finito V, essendo non nullo il flusso attraverso la superficie chiusa Σ che racchiude Σ, ciò implica che entro V, cioè all interno di Σ debbano esserci delle sorgenti scalari di v. Quindi in definitiva possiamo concludere che l operatore divergenza connette un campo vettoriale v alle sue sorgenti scalari: cioè laddove div v 0 deve esistere una sorgente scalare di v. La determinazione della conservatività di un campo vettoriale non è concettualmente banale perché l unico criterio applicabile è quello di verificare che per ogni circuitazione (cioè in numero infinito) il risultato è sempre nullo. Ciò è ovviamente impossibile da verificare o almeno è applicabile soltanto se si conosce l espressione analitica della funzione integranda della [5]. Un altro modo di procedere è quello di utilizzare la proprietà locale del campo vettoriale vista sopra espressa dal rot v=0. La relazione che connette la proprietà integrale [5] e quella differenziale (o locale) del rotore è espressa dal seguente teorema di Stokes: la circuitazione del vettore v lungo una linea (chiusa) Γ è uguale al flusso del rot superficie Σ che abbia Γ come contorno, cioè attraverso una qualsiasi [12], essendo la normale alla superficie orientata nel verso di avanzamento di una vite destrogira che ruoti nel verso di percorrenza su Γ. Essendo Σ del tutto arbitraria la conservatività di v, cioè l annullarsi del primo membro della precedente, comporta in ogni punto dello spazio ove è definito v. Possiamo quindi concludere che costituisce la forma differenziale della conservatività di v. Proprietà dell operatore Essendo un operatore differenziale lineare, per esso valgono le seguenti proprietà: operatore di Laplace o laplaciano (in coordinate cartesiane), con 6

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