Il Teorema dei Lavori Virtuali, l Elasticità Lineare ed il Problema dell Equilibrio Elastico

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1 Il Teorema dei Lavori Virtuali, l Elasticità Lineare ed il Problema dell Equilibrio Elastico Tema 1 Si consideri un corpo continuo libero nello spazio, di forma parallelepipedica e dimensioni a = 1 cm, b = 5 cm, c = cm. Rispetto ad un riferimento Cartesiano centrato nel baricentro del corpo e ad assi paralleli ai suoi spigoli (asse x parallelo allo spigolo di dimensione a; asse y parallelo a quello di dimensione b) siano assegnati: - il campo di forze di volume: (a 4x ) (y+z) F(x, y, z) = x y + (x + z) b 4y z (x + y) 4z c N/m3 - il campo di spostamento: 3x + y s(x, y, z) = 1 4 4xz z + y m Il corpo sia inoltre soggetto a forze di superficie nulle. Indicati con T 1 e T due differenti campi simmetrici di tensione e con D 1 e D due differenti campi simmetrici di deformazione infinitesima T 1 : σ (1) x = x a 4 τ (1) xy = x y 1 4 ( τ (1) xz = (4x a ) 16 (4z c ) σ (1) y = y b 4 τ (1) yz = z y 1 4 σ (1) z = z c 4 ( a y + b x a b 4 c y + b z c b 4 ) ) N/m 53

2 54 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata ( ) σ x () = x a 4 y + 1 T : D 1 : τ () xy = x z 1 4 τ xz () = (4x a ) σ () y ( 16 (4y ) c ) = zx y b 4 τ () yz = xz y 1 4 σ () z = z c ε (1) x = 6y 1 4 γ xy (1) / = y γ (1) xz / = 1 x 1 4 ε (1) y = 1 4 γ yz (1) / = z + y 1 4 ε (1) z = z c 4 ( a y + b x a b 4 y ) ( c y + b z c b 4 y ), D : N/m 1 4 ε () x = x 1 4 γ xy () / = (y + z) 1 4 γ xz () / = 1 4 ε () y = 1 4 γ yz () / = x + y 1 4 ε () z = z si individui la coppia (T i, D i ) che consente l applicazione del teorema dei lavori virtuali per il corpo in esame. Affinché siano rispettate le ipotesi di applicabilità del teorema dei lavori virtuali é necessario prima di tutto che siano soddisfatte le ipotesi di piccoli spostamenti e piccole deformazioni. Per il campo di spostamento assegnato la prima condizione é soddisfatta. Infatti, preso il generico punto di coordinate (x, y, z) vale la seguente disuguaglianza: s(x, y, z) = 1 4 x 4 + 4x y + 5y x z + z 4 + z y 9 < max { a, b, c } 9 = ( 1 ) m e quindi banalmente risulta s(x, y, z) max {a, b, c}. Analogamente, per entrambi i campi di deformazione assegnati é soddisfatta l ipotesi di piccole deformazioni in quanto per ogni punto del corpo assegnato una qualunque norma dei tensori ad essi associati è sempre inferiore o al più dell ordine di 1 4 ( 1). Inoltre, é necessario verificare che il sistema delle forze (costituito dalle forze esterne e dalle tensioni) sia in equilibrio. La simmetria dei campi di tensione assegnati assicura il rispetto della condizione locale di equilibrio alla rotazione per il generico intorno infinitesimo del corpo. D altro canto, devono essere soddisfatte le equazioni indefinite di equilibrio di Cauchy: divt + F = in

3 Il TLV, Elasticità Lineare, Probl. Equil. Elastico 55 E immediato verificare che, per la distribuzione di forze di volume prescritta, il campo di tensione che soddisfa la precedente equazione vettoriale é T 1. Resta da verificare l equilibrio ai limiti sulla superficie di bordo del continuo in esame. Per ipotesi, sul contorno del corpo non agiscono forze di pressione. Inoltre, i versori normali alle diverse facce del parallelepipedo nel riferimento assunto sono n x = (1,, ), n x = ( 1,, ) n y = (, 1, ), n y = (, 1, ) n z = (,, 1), n z = (,, 1) Pertanto, é immediato verificare il campo T 1 soddisfa anche l equilibrio ai limiti: T 1 x= a n x =, T 1 y= b n y =, T 1 z= c n z =, T 1 x= a n x = T 1 y= b n y = T 1 z= c n z = Resta da verificare la condizione di congruenza interna fra il campo di spostamento assegnato ed il tensore delle piccole deformazioni. Il campo di deformazione infinitesima congruente é pari a: D(x, y, z) = sym[ s] che coincide con D. In definitiva, le ipotesi di applicabilità del teorema dei lavori virtuali risultano soddisfatte per la coppia (T 1, D ). Tema Si consideri una sfera omogenea di raggio R e la si riferisca ad un riferimento Cartesiano (G, x, y, z) centrato nel suo baricentro G. Si assuma che la sfera sia rigida e che sia rispettata l ipotesi di piccolezza degli spostamenti. Il bordo della sfera sia soggetto alla seguente partizione: = Σ u Σ p, con Σ u Σ p = e Σ u = {P z [ R, ]} Σ p = {P z (, R]} Lo spostamento s(p ) di punti P appartenenti alla porzione di bordo Σ u sia ristretto attraverso il seguente vincolo liscio e bilatero:

4 56 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata s(p ) n R = essendo n R la normale in P a Σ u. Siano inoltre assegnati i seguenti campi di forze di volume F e di superficie p su Σ p a) F = (3x, y, 4z) N/m 3, p = (,, ) N/m b) F = (x + 1, z y, xz 1) N/m 3, p = (,, y/r ) N/m Si stabilisca, applicando il teorema degli spostamenti virtuali, se i campi a) e b) soddisfano l equilibrio. In caso affermativo, si determini la risultante ed il momento risultante rispetto a G del sistema reattivo agente sulla sfera. Com è noto, il teorema degli spostamenti virtuali stabilisce che l uguaglianza tra i lavori virtuali interno ed esterno per ogni sistema di spostamenti congruente (nel senso della compatibilità interna e del rispetto dei vincoli esterni) equivale ad imporre l equilibrio per il sistema di forze. Nel caso in esame, in virtù dell ipotesi di corpo rigido, il generico sistema di spostamenti congruente deve essere caratterizzato da un campo di spostamento rigido e quindi da un campo di deformazione nullo. Pertanto, in applicazione del teorema degli spostamenti virtuali, un dato sistema di forze è in equilibrio se e solo se è nullo il lavoro virtuale che le forze esterne compiono per ogni spostamento rigido infinitesimo compatibile, cioè: { s nr = su Σ F s d + p s dσ = s tale che u Σ p sym[ s] = in avendo sfruttato l ipotesi di vincolo liscio su Σ u, cioè Σ u r s dσ = essendo r la distribuzione delle azioni reattive sulla superficie di vincolo Σ u. E immediato verificare che campi di spostamento rigidi infinitesimi compatibili devono essere di pura rotazione. Infatti, qualunque spostamento di traslazione pura s T non è mai compatibile, risultando s T n R per qualche punto di Σ u. Inoltre, in virtù delle condizioni di vincolo prescritte, l applicazione del teorema di Chasles indica immediatamente che il centro di spostamento coincide con G 1. In definitiva, tutti i campi di spostamento rigido infinitesimo compatibili si descrivono come: s(p ) = ω (P G) 1 Le normali alle traiettorie dei punti di un corpo rigido mobile in ogni istante concorrono nel centro della rotazione istantanea (Michel Chasles, ). Pertanto, poichè per i punti appartenenti a Σ u la normale ai vettori compatibili di spostamento coincide con n R, il punto di intersezione di tutte le rette passanti per punti di Σ u e dirette come n r coincide con G.

5 Il TLV, Elasticità Lineare, Probl. Equil. Elastico 57 Fig. 1 Sistema di coordinate sferiche. cioè attraverso un campo di rotazione rigida infinitesima attorno ad un asse per G e diretto come il vettore ω, cioè attraverso tre parametri liberi (ω x, ω y, ω z ) costanti per ogni punto della sfera. Ricordando che per ogni terna di vettori a, b, c vale la seguente proprietà si verifica banalmente che a (b c) = c (a b) = b (c a) [ω (P G)] n r = P Σ u e ω Il teorema degli spostamenti virtuali consente quindi di scrivere: [ ] ω (P G) F d + (P G) p dσ = ω Σ p che equivale a prescrivere una condizione globale di equilibrio alla rotazione per il corpo assegnato (seconda equazione cardinale della statica). Posto (P G) = (x, y, z) e valutando gli integrali in gioco attraverso un sistema di coordinate sferiche (Fig. 1), per il campo di forze a) risulta: Per dominii che presentano una simmetria sferica le coordinate di ogni punto appartenente alla regione di integrazione sono determinabili tramite due angoli (θ e φ) ed una distanza (r [, R]): Pertanto: f(x, y, z) = f(r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ)

6 58 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata (P G) F d = yz zx d xy R π π r sin θ sin φ cos θ = r cos θ sin θ cos φ r sin θdrdθdφ = r sin θ cos φ sin φ (P G) p dσ = y x dσ Σ p Σ p π/ π R sin θ sin φ = R sin θ cos φ R sin θdθdφ = mentre per il sistema b) si ha: (P G) F d = xyz y z + zy z + x d = 4πR5 /15 xz xy yx y (P G) p dσ = Σ p Σ p y /r y xy/r + x dσ = 4πR3 /3 In definitiva, vista l arbitrarietà di ω, le forze che soddisfano la condizione di equilibrio ottenuta applicando il teorema degli spostamenti virtuali sono quelle relative al sistema a) assegnato. In riferimento a quest ultimo, la prima equazione cardinale della statica fornisce immediatamente la risultante delle azioni reattive distribuite su Σ u r dσ = Σ u F d Σ p p dσ = + 4πR N (1) mentre il momento risultante di queste rispetto a G è : (P G) r = (P G) F d (P G) p dσ = () Σ u Σ p f d = f dσ = R π π π π f(r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ)r sin θ drdθdφ f(r sin θ cos φ, R sin θ sin φ, R cos θ)r sin θ dθdφ

7 Il TLV, Elasticità Lineare, Probl. Equil. Elastico 59 Tema 3 Si consideri un cubo omogeneo di lato l = 1 cm in equilibrio e lo si riferisca ad un riferimento Cartesiano (O, x, y, z) centrato nel suo baricentro e ad assi paralleli ai suoi lati. Il cubo sia poggiato in corrispondenza della faccia per z = l/ su di una superficie piana ortogonale all asse z. Sul corpo, costituito da un materiale a comportamento elastico lineare isotropo (E = GPa, ν =.3), sia assegnato il seguente campo di tensione: z(4x l ) (4x l )(4y l )/16 T(x, y, z) = 4y l N/mm sym z l Si determini: a) il campo reattivo agente sulla faccia vincolata del cubo; b) i campi delle forze di volume e di superficie che assicurano l equilibrio del corpo; c) il corrispondente campo delle piccole deformazioni; d) attraverso l applicazione del teorema dei lavori virtuali, il valore dello spostamento medio in direzione z sulla faccia per z = l/. Si discuta infine, circa la presenza o meno di una condizione di attrito sulla superficie di vincolo del cubo. a) Il versore normale alla faccia vincolata é n T z = (,, 1). Pertanto, per l equilibrio ai limiti, il campo reattivo su detta faccia risulta: r = T z= l/ n z = (,, l) T N/mm b) Dalla condizione di equilibrio indefinito divt + F = in si ricava immediatamente 8zx 1 (4x l )y F = 1 x(4y l ) 8y N/mm3 Inoltre, risultando i versori normali alle facce libere del cubo pari a: n T x = (1,, ), n T x = ( 1,, ) n T y = (, 1, ), n T y = (, 1, ) n T z = (,, 1) si verifica immediatamente che, per l equilibrio ai limiti, risulta:

8 6 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata T x=±l/ n ±x = T y=±l/ n ±y = T z=l/ n z = cioé le forze di superficie sul contorno libero del corpo sono identicamente nulle. c) Avendo assunto il materiale a comportamento elastico lineare isotropo, il campo delle piccole deformazioni si ottiene a partire dal campo di tensione, attraverso il legame costitutivo inverso di Navier: ε x = 1 E [z(4x l ) ν(4y l + z l)] ε y = 1 { 4y l ν[z(4x l ) + z l] } E ε z = 1 { z l ν[4y l + z(4x l )] } E γ xy = 1 8E (4x l )(4y l )(1 + ν) γ xz = γ yz = d) Si assuma come sistema degli spostamenti il sistema assegnato e si consideri come sistema delle forze quello ottenuto considerando il cubo in esame, poggiato sulla faccia per z = l/, e soggetto sulla sola faccia per z = l/ al campo costante di forze di superficie p T z = (,, 1) N/m, duale allo spostamento cercato. In altre parole, nel sistema di forze considerato non sono presenti né forze di volume né forze di superficie sulle facce parallele all asse z. Un campo di tensione che soddisfa banalmente le condizioni di equilibrio interno ed ai limiti per il sistema di forze considerato é il seguente: T (f) (x, y, z) = N/m 1 Pertanto, indicata con ŵ(x, y) la componente di spostamento in direzione z sulla faccia per z = l/, cioé ŵ(x, y) = s(x, y, z) z=l/ n z, l uguaglianza del lavoro virtuale esterno con quello interno conduce all equazione: x= l y= l 1 ŵ(x, y) dx dy = x= l y= l z= l T (f) D (s) dx dy dz x= l y= l x= l y= l z= l essendo D (s) il campo delle piccole deformazioni riferito al sistema degli spostamenti e cioé quello ricavato al punto c). Pertanto, lo spostamento medio cercato w risulta:

9 Il TLV, Elasticità Lineare, Probl. Equil. Elastico 61 w = 1 l x= l y= l ŵ(x, y) dx dy = 1 l x= l y= l z= l 1 ε (s) z dx dy dz x= l y= l = 1 3E l (νl 3) =.5 mm x= l y= l z= l Infine, poiché la distribuzione di forze reattive sulla superficie per z = l/ ricavata al punto a) non ha componenti parallele al piano di vincolo, ne consegue che quest ultimo, nel caso in esame, non esercita sul corpo azioni di attrito. Tema 4 Si consideri la sfera omogenea di raggio R = cm, libera nello spazio. Essa sia costituita di materiale linearmente elastico ed isotropo (E = MPa, ν =.3). Rispetto ad un riferimento Cartesiano centrato nel suo baricentro, sia assegnato il seguente campo di spostamento: 5(x + y + z) 3 s(x, y, z) = 1 5 4(x + y) + 1 m 3(y + z) + 1 Si determini: a) le condizioni di carico (campi di forze di superficie e di volume) a cui corrisponde come soluzione del problema dell equilibrio elastico il campo di spostamento assegnato; b) il potenziale elastico ed il potenziale elastico complementare; c) l energia elastica immagazzinata dal solido; d) la variazione di volume associata alla cinematica prescritta. a) A partire dal campo di spostamento assegnato é possibile determinare il campo delle piccole deformazioni: 5 1/ 5/ D(x, y, z) = sym[ s] = / sym 3 Sfruttando poi le relazioni costitutive dirette di Navier é possibile risalire al campo di tensione:

10 6 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata σ x = Gε x + λj 1 = 5.38 MP a σ y = Gε y + λj 1 = 8.46 MP a σ z = Gε z + λj 1 = 6.9 MP a τ xy = Gγ xy =.77 MP a τ xz = Gγ xz = 3.85 MP a τ yz = Gγ yz =.31 MP a avendo utilizzato le costanti di Lamé E G = = MP a (1 + ν) νe λ = = MP a (1 + ν)(1 ν) e la funzione relativa al primo invariante di deformazione J 1 (x, y, z) = 1 5 Poiché il campo di tensione trovato risulta costante, se ne deduce immediatamente che il campo di forze di volume agente sul corpo e tale da assicurare il rispetto dell equilibrio interno é identicamente nullo. D altra parte, introdotto un sistema di coordinate sferiche come illustrato in figura 1, il versore normale nel generico punto della superficie di bordo per la sfera assegnata risulta: n(θ, ϕ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) T Pertanto, per l equilibrio ai limiti, il campo di forze di superficie é agente sul contorno della sfera é: 1.8 sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ p(θ, ϕ) = Tn = sin θ cos ϕ 16.9 sin θ sin ϕ 4.6 cos θ N/mm 7.7 sin θ cos ϕ 4.6 sin θ sin ϕ 13.8 cos θ b) In virtù del comportamento elastico lineare assunto, risulta che la funzione potenziale elastico φ(x, y, z) e la funzione potenziale elastico complementare ψ(x, y, z) devono essere coincidenti. Pertanto, risulta: φ(x, y, z) = ψ(x, y, z) = 1 T D =.54 KJ/m3 c) L energia elastica E immagazzinata dal corpo é pari all integrale sul volume del solido della funzione potenziale elastico. Risultando quest ultima costante, si ricava banalmente: E = φ(x, y, z) d = π(.)3 = J

11 Il TLV, Elasticità Lineare, Probl. Equil. Elastico 63 d) Infine, la variazione di volume corrispondente alla cinematica prescritta risulta: = J 1 (x, y, z) d = π(.)3 = 67.1 mm 3 Tema 5 Si consideri una trave omogenea ad asse rettilineo di lunghezza l = 1 m per la quale valgano le ipotesi del modello di trave alla Eulero-Bernoulli. Detta trave abbia una sezione quadrata di lato r = 5 cm e sia costituita di acciaio. Si consideri un riferimento Cartesiano centrato nel baricentro di una sezione retta di estremità della trave, con l asse z disteso lungo la sua linea d asse, di modo che z [, l]. Assunto il problema piano, rispetto al piano (y, z), siano assegnate le funzioni v(z) e w(z) che esprimono rispettivamente le componenti di spostamento orizzontale (lungo z) e verticale (lungo y) per un generico punto della linea d asse della trave: ( v(z) = 1 5 z l 5 ) 6 z3 l + z4 m 3 ( ) w(z) = 1 7 lz z m Si determini: a) il vettore spostamento s(x, y, z) per ogni punto P = (x, y, z) del corpo; b) il campo di deformazione infinitesima; c) le caratteristiche della sollecitazione al variare di z; d) le condizioni di vincolo per le sezioni di estremità della trave (cioé per z = e z = l); e) i carichi distribuiti su di essa agenti, paralleli (lungo z) ed ortogonali (lungo y) alla sua linea d asse; f) l energia elastica immagazzinata dal solido; g) la variazione di volume della trave. a) Il modello di trave alla Eulero-Bernoulli prevede l ipotesi di trascurabilità degli effetti di deformabilità tagliante. Conseguentemente, la rotazione della generica sezione retta risulta pari a: ϕ(z) = dv(z) dz = v (z) = 1 5 ( zl 5 z l z3 )

12 64 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata Pertanto, tenuto conto che il problema é assunto piano rispetto al piano (y, z), il vettore spostamento per il generico punto P = (x, y, z) della trave risulta: s(x, y, z) = v(z) w(z) + yϕ(z) = (z l 5 6 z3 l + z4 3 ) zl 1 z y ( zl 5 z l z3) 1 m b) Noto il campo di spostamento, il campo di deformazione infinitesima si ricava immediatamente come: D(x, y, z) = sym[ s] = z (y + 5yz 4yz )1 c) Le caratteristiche della sollecitazione al variare di z sono: N(z) = EAw (z) = 5(1 z) N M(z) = EI x v (z) = z 4.17z Nm T (z) = EI x v (z) = z N (3) essendo I x = r 4 /1 = 5.8 cm 4, A = r = 5 cm ed avendo assunto per l acciaio E = GPa. d) Le condizioni di vincolo per le basi di estremità della trave si ricavano immediatamente considerando che: per z = risulta v() =, w() =, ϕ() =, quindi la condizione di vincolo corrispondente é un incastro; per z = l risulta v(l) =, w(l), ϕ(l), quindi la condizione di vincolo corrispondente é un appoggio semplice. e) Tenuto conto che valgono, sotto le ipotesi del modello piano di trave alla Eulero-Bernoulli, le seguenti relazioni differenziali EI x v iv (z) = q(z) EAw (z) = p(z) si ricava: q(z) = 8.33 N/m, p(z) = 5 N/m. f) L energia elastica immagazzinata dal solido può valutarsi considerando le azioni interne o equivalentemente quelle esterne. In particolare, risulta

13 Il TLV, Elasticità Lineare, Probl. Equil. Elastico 65 E = 1 = 1 l l ( N (z) EA + M ) (z) dz EI x [q(z)v(z) + p(z)w(z)]dz = J g) Infine, la variazione di volume corrispondente alla cinematica prescritta é pari a: = J 1 (x, y, z) d = r/ r/ l r/ r/ ε z (x, y, z) dx dy dz =.15 mm 3

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