2) Si consideri il seguente sistema d equazioni differenziali di due equazioni nelle due incognite u (x,y) e v (x,y): "x + x "u.

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1 Anno Accademico 008/009 Appello del 17/0/009 1) In un piano Oxy un punto materiale P di massa m scorre lungo l asse verticale Oy, mentre un altro punto materiale Q di massa m scorre lungo una retta s disposta lungo la bisettrice del primo e terzo quadrante del piano Sul sistema agiscono: I) una molla di costante elastica h>0 collegante i due punti materiali; II) una forza F = - hs/ n, applicata in Q, con n versore perpendicolare alla direzione di s concorde all asse verticale Oy ed s coordinata di Q su Os Supponendo il vincolo in Q con attrito determinare: ii) la Lagrangiana del sistema; Se il vincolo in Q è anch esso liscio, determinare: iii) eventuali integrali primi del moto ponendo che, all istante iniziale, il punto P è in quiete nell origine, mentre il punto Q si trova sulla semiretta positiva a distanza s 0 dall origine, con velocità v Q = u 0 s, u 0 <0 ed s versore della retta s iv) tutte le posizioni d equilibrio stabile del sistema materiale; v) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d equilibrio stabile da voi scelta ) Si consideri il seguente sistema d equazioni differenziali di due equazioni nelle due incognite u (x,y) e v (x,y): #"u "x + y "v "x + x "u "y + x "v "y = v + 3x "v "x + y "v "y = 4xv i) Si determinino le curve caratteristiche e si discuta del problema di Cauchy nei casi in cui la linea portante i dati sia la curva d equazione, rispettivamente: a) y = 0; b) y = 1 - x; c) x = -1 ii) Nel caso di problema ben posto, tracciare il dominio di dipendenza relativo al punto P (0,1) iii) Si determini la soluzione del sistema che soddisfi il seguente problema di Cauchy: # x = "1 u("1, y) = 3y v("1, y) =

2 Anno Accademico 008/009 Appello del 03/03/009 1) In un piano verticale Oxy ruotante uniformemente con velocità angolare costante ω attorno all asse verticale Oy, un sistema materiale è costituito da un asta AB omogenea di lunghezza R e massa m L asta è vincolata nel proprio baricentro a scorrere lungo una guida circolare avente, centro O e raggio 4R Sul sistema agiscono: I ) una molla elastica, di costante k positiva, collegante il vertice superiore H della guida al baricentro G dell asta; II ) una coppia di forze di momento M = 4mg AB, essendo g il vettore accelerazione di gravità Supponendo i vincoli perfetti determinare: i) le equazioni differenziali pure del moto del sistema materiale; ii) le equazioni di Hamilton Fissando i valori: 4k = (mg)/r ed ω = (48g)/R (g accelerazione di gravità), determinare: iii) tutte le posizioni d equilibrio del sistema, studiandone la stabilità; iv) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d equilibrio stabile ) Si consideri l'equazione quasi-lineare del primo ordine in due variabili indipendenti: y "u "x + x "u "y = u Trovare, se esiste, la soluzione passante per la linea d equazioni parametriche: "(# ) = #, (# ) =1, (# ) = #, per # 1 3) Si consideri l equazione del secondo ordine in due variabili indipendenti: x " u + ( xy #1) " u "x "x"y # y " u "y = f (x,y,u,"u "x,"u "y ) Dopo aver determinato le linee caratteristiche, discutere sul problema di Cauchy nei casi in cui la linea portante i dati sia la curva d equazione, rispettivamente: a) y = 0 ; b) x = 4 ; c) y = - x Nel caso di problema ben posto, tracciare il dominio di dipendenza relativo al punto P(1, 1)

3 Anno Accademico 008/009 Appello del 03/09/009 1) Nel piano verticale Oxy un punto materiale P di massa m è vincolato senza attrito a muoversi lungo la bisettrice del primo e terzo quadrante, mentre un altro punto materiale Q di massa m è vincolato senza attrito a muoversi lungo la parabola di equazione y = - α x, con α > 0 I due punti materiali sono collegati da una molla di costante elastica h > 0, mentre una molla di costante elastica k > 0 collega il punto P ad un punto fisso H situato sul semiasse verticale positivo a distanza R da O; inoltre sul punto Q agisce una forza F Q = h α x 3 i, con i versore dell asse Ox ed x ascissa del punto P Supponendo che il piano Oxy ruoti uniformemente intorno all asse Oy, determinare: i) la, o le, equazioni pure del moto; ii) la funzione Hamiltoniana Supponendo, invece, il piano Oxy fisso e le costanti così fissate: h = k, mg = kr ed α = R -1, determinare: iii) una posizione d equilibrio stabile del sistema e le piccole oscillazioni attorno a tale posizione ) Si consideri l'equazione quasi-lineare del primo ordine in due variabili indipendenti: x "u "u + xy "x "y = u Trovare, se esiste, la soluzione passante per la linea d equazioni parametriche: "(#) = #, (#) = #, (#) = #, per 1 # 3 3) Si risolva il seguente problema di Cauchy: " u "t # v " u "x = 0 u(x,0) = cos x "u (x,0) = sin x '"t

4 Anno Accademico 009/010 Appello del 10/0/010 1) Un sistema materiale è costituito da un punto materiale P, di massa m, e da un disco, di centro C e raggio R, avente densità di massa nel generico punto Q del disco pari a µ(q) = α r, dove r è la distanza di Q dal suo centro C ed α = 3M/(πR 3 ), con M costante positiva Il disco è vincolato a rotolare senza strisciare lungo l asse orizzontale Ox del piano verticale Oxy, mentre il punto P è vincolato a muoversi senza attrito su una retta di equazione y = -z, z asse ortogonale al piano Oxy Sul disco, inoltre, agiscono: I) una molla di costante elastica h > 0 collegante un punto T appartenente al bordo del disco con il punto materiale P; II) un momento M 1 = ½ h (TT x HC), con H punto di contatto tra disco e guida e T proiezione di T sull asse verticale passante per il centro del disco; III) un momento M = h (HT x OH) Determinare: ii) le equazioni di Hamilton Posto, quindi, mg = ½ hr, determinare: iii) tutte le posizioni di equilibrio del sistema materiale, studiandone la stabilità; iv) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d equilibrio stabile da voi scelta ) Si consideri il seguente sistema d equazioni differenziali di due equazioni nelle due incognite u (x,y) e v (x,y): "u "u 3 # xy = uv + 4x "x "y "v "x # "u xey "y + y "v ' "y = 4 x + eu i) Si determinino le curve caratteristiche e si discuta del problema di Cauchy nei casi in cui la linea portante i dati sia la curva d equazione, rispettivamente: a) y = -1; b) y = - x; c) x = 1; d) y = x - ii) Nel caso di problema ben posto, tracciare il dominio di dipendenza relativo al punto P (0,1) iii) Si determini la soluzione del sistema che soddisfi il seguente problema di Cauchy: " x =1 # u(1,y) = 3y v(1,y) = y Ai sensi del D Lgs 30/06/003, n 196, si autorizza la pubblicazione online in chiaro dell esito della prova COGNOME: NOME: NUMERO DI MATRICOLA:

5 Anno Accademico 009/010 Appello del 03/03/010 1) In un piano verticale Oxy ruotante uniformemente intorno all asse verticale Oy, un sistema materiale è costituito da una sbarra omogenea AB di lunghezza R, vincolata con il punto medio C ad un punto del semiasse positivo Oy posto a distanza R dall origine Una molla di costante elastica h > 0 collega l estremo B della sbarra ad un punto fisso H posto a distanza R dall origine sul semiasse positivo Ox Sulla sbarra, inoltre, agisce un momento M = h (OH x CB) Determinare: ii) eventuali integrali primi del moto supponendo che, all istante iniziale, la sbarra sia disposta con l estremo A nell origine O e l estremo B avente velocità v B = u 0 i, con u 0 > 0 ed i il versore dell asse Ox; iii) le equazioni di Hamilton; iv) tutte le posizioni di equilibrio del sistema materiale, studiandone la stabilità; v) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d equilibrio stabile da voi scelta ) Si consideri l'equazione quasi-lineare del primo ordine in due variabili indipendenti: u "u "x + "u "y = x Trovare, se esiste, la soluzione del problema di Cauchy u(x,0) = "x 3) Si risolva il seguente problema di Cauchy: " u "t # v " u "x = 0 u(x,0) = x 3 + x # 3 "u "t (x,0) = ex # e #x ' Ai sensi del D Lgs 30/06/003, n 196, si autorizza la pubblicazione online in chiaro dell esito della prova COGNOME: NOME: NUMERO DI MATRICOLA:

6 Anno Accademico 009/010 Appello del 0/07/010 1) Un punto materiale P di massa m è vincolato a muoversi lungo una circonferenza di raggio R disposta nel piano verticale Oxy, mentre un altro punto Q di massa m è vincolato a muoversi lungo l asse Oy I due punti materiali sono collegati da una molla di costante elastica k > 0 Supponendo il piano Oxy ruotante uniformemente intorno all asse Oy con velocità angolare costante ω, determinare: ii) le equazioni di Hamilton Posto ora mω = k calcolare, inoltre: iii) tutte le posizioni di equilibrio del sistema materiale, studiandone la stabilità; iv) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d equilibrio stabile da voi scelta ) Si consideri l'equazione quasi-lineare del primo ordine in due variabili indipendenti: x "1 #u #x + u#u #y = u nel semispazio x > 0 Trovare, se esiste, la soluzione passante per la linea d equazioni parametriche: "(# ) = #, (# ) = 1, (# ) = #, per 1 # 3) Si consideri l equazione del secondo ordine in due variabili indipendenti: " u "x + ( y # x ) " u "x"y # xy" u "y = f (x,y,u,"u "x,"u "y ) Dopo aver determinato le linee caratteristiche, discutere sul problema di Cauchy nei casi in cui la linea portante i dati sia la curva d equazione, rispettivamente: a) y = 0 ; b) x = 0 ; c) y = x + 1 Nel caso di problema ben posto, tracciare il dominio di dipendenza relativo al punto P(1, 1) Ai sensi del D Lgs 30/06/003, n 196, si autorizza la pubblicazione online in chiaro dell esito della prova COGNOME: NOME: NUMERO DI MATRICOLA:

7 Anno Accademico 009/010 Appello del 16/07/010 1) Un sistema materiale è costituito da una lamina rettangolare omogenea ABCD, con AD = L e AB = L Lungo la mediana EF, essendo E il punto medio del lato AD ed F il corrispondente sul lato BC, passa l asse scorrevole orizzontale Oy Sul sistema materiale agiscono: a) un momento M = k (C C x FC ), con C proiezione di C sul piano orizzontale Oxy; b) una molla di costante elastica k > 0 applicata nel punto E della lamina e centro l origine degli assi Determinare: i) la, o le, equazioni pure del moto ii) tutte le posizioni di equilibrio del sistema materiale, studiandone la stabilità; iii) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d equilibrio stabile da voi scelta ) Si consideri il seguente sistema differenziale di due equazioni nelle due incognite u( x, y) e v( x, y): # x "u "x + x "v "y + 3"v "x = vx x y "v "x + "u "y + 3y"u "x = xu Si determini la soluzione del sistema che soddisfi il seguente problema di Cauchy: " y = 1 # u(x,1) = e x v(x,1) = x 3) Si consideri l equazione del secondo ordine in due variabili indipendenti: ( ) " u x " u + 1# xy "x "x"y # y" u = xy + u"u "y "x # "u "y Dopo aver determinato le linee caratteristiche, discutere sul problema di Cauchy nei casi in cui la linea portante i dati sia la curva d equazione, rispettivamente: a) y = 0, b) y = x /, c) x = 0, d) y = x Nel caso di problema ben posto, tracciare il dominio di dipendenza relativo al punto P(1, 1) Ai sensi del D Lgs 30/06/003, n 196, si autorizza la pubblicazione online in chiaro dell esito della prova COGNOME: NUMERO DI MATRICOLA: NOME: