Esercitazione di Meccanica Razionale 16 novembre 2016 Laurea in Ingegneria Meccanica Latina

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1 Esercitazione di Meccanica Razionale 16 novembre 2016 Laurea in Ingegneria Meccanica Latina Quesito 1. Si consideri un cilindro rigido libero in moto rispetto a un osservatore. Sia O il punto occupato dal centro di massa del cilindro all istante t, sia a un versore parallelo all asse del cilindro allo stesso istante e sia b un versore ortogonale all asse del cilindro allo stesso istante. Sia v t (O) la velocità di tale elemento all istante t e ω(t) la velocità angolare del moto rigido allo stesso istante. Si dica se l atto di moto è traslatorio o rotatorio all istante t e, qualora possibile, si determini l asse di istantanea rotazione e l asse di Mozzi, nei seguenti casi 1. v t (O) = 0 e ω = λ a; 2. v t (O) = v 0 a e ω = 0; 3. v t (O) = v 0 a e ω = λ a; 4. v t (O) = v 0 a e ω = λ b; 5. v t (O) = v 0 b e ω = λ a; 6. v t (O) = v 0 b e ω = λ b. Si determini l energia cinetica del cilindro nei casi 1, 2 e 3. Quesito 2. Si consideri un cono rigido libero in moto rispetto a un osservatore. Sia O il punto occupato dal centro di massa del cono all istante t, sia a un versore parallelo all asse del cono allo stesso istante e sia b un versore ortogonale all asse del cono allo stesso istante. Sia v t (O) la velocità di tale elemento all istante t e ω(t) la velocità angolare del moto rigido allo stesso istante. Si dica se l atto di moto è traslatorio o rotatorio all istante t e, qualora possibile, si determini l asse di istantanea rotazione e l asse di Mozzi, nei seguenti casi 1. v t (O) = 0 e ω = λ a; 2. v t (O) = v 0 a e ω = 0; 3. v t (O) = v 0 a e ω = λ a; 4. v t (O) = v 0 a e ω = λ b; 5. v t (O) = v 0 b e ω = λ a;

2 6. v t (O) = v 0 b e ω = λ b. Si determini l energia cinetica del cono nei casi 1, 2 e 3. Quesito 3. Si consideri il moto di una sbarretta rigida di lunghezza l vincolata in modo che i due estremi si muovano su due rette mutuamente perpendicolari e concorrenti in un punto (ellissografo). Si determinino la base e la rulletta, si disegni l immagine della rulletta nello spazio delle posizioni dell osservatore fisso in corrispondenza della quattro posizioni in cui la sbarretta giace sulle rette e le quattro posizioni in cui la sbarretta forma l angolo di π/4 con le due rette. Si determini la traiettoria descritta dagli elementi solidali alla sbarretta; si individui ciascun elemento con la sua distanza s da uno degli estremi della sbarretta. Quesito 4. Si consideri il moto piano di un disco rigido a contatto con una retta. Si determini la condizione di puro rotolamento, si costruisca un modello cinematico a un grado di libertà, si esprima la velocità angolare in termini della coordinata lagrangiana considerata. Si esprima l energia cinetica in termini della coordinata lagrangiana considerata. Nel caso di puro rotolamento si determinino la base e la rulletta e si determini la traiettoria descritta dall elemento solidale al disco che all istante iniziale è a contatto con la retta. Quesito 5. Si consideri il moto piano di un disco rigido di raggio r a contatto dall interno con una circonferenza di raggio R > r. Nel caso di puro rotolamento si determinino la base e la rulletta; nel caso r = R/2 si determini la traiettoria descritta da un elemento sul bordo del disco. Quesito 6. Si consideri il moto piano di un disco rigido di raggio r a contatto dall esterno con una circonferenza di raggio R > r. Nel caso di puro rotolamento si determinino la base e la rulletta. Quesito 7. Si consideri il moto una sfera rigida di raggio r a contatto con una superficie piana. Si determini la condizione di puro rotolamento usando gli angoli di Eulero.

3 Quesito 8. Si consideri il moto una sfera rigida di raggio r a contatto con una superficie piana. Si determini la condizione di puro rotolamento usando gli angoli di Cardano. Quesito 9. Si consideri il moto di un cilindro circolare retto rigido a contatto con una superficie piana. Quesito 10. Si consideri il moto di un cono circolare retto rigido a contatto con una superficie piana. considerata, si esprima l energia cinetica in termini della coordinata lagrangiana. Quesito 11. Si consideri un corpo rigido piano di massa m distribuita in modo uniforme la cui forma è un quadrato di lato a al quale è stato praticato un foro circolare di diametro a con centro coincidente con il centro del quadrato. Si determini un riferimento principale d inerzia relativo a uno dei vertici del quadrato e Quesito 12. Si consideri un corpo rigido piano di massa m distribuita in modo uniforme la cui forma è un disco di raggio r al quale è stato praticato un foro quadrato di lato r 2 con centro coincidente con il centro del disco. Si determini un riferimento principale d inerzia relativo a uno dei vertici del quadrato e Quesito 13. Si consideri una lamina rigida circolare di raggio r e di massa m distribuita in modo uniforme. Si determini un riferimento principale d inerzia relativo a un punto sul bordo del disco e con il diametro del disco passante per l origine. Quesito 14. Si consideri una lamina rigida di massa m distribuita in modo uniforme a forma di corona circolare di raggio interno r 1 e raggio esterno r 2.

4 Si determini un riferimento principale d inerzia relativo a un punto sul bordo esterno della corona e con il diametro della corona passante per l origine. Quesito 15. Si consideri una lamina rigida di massa m distribuita in modo uniforme a forma di corona circolare di raggio interno r 1 e raggio esterno r 2. Si determini un riferimento principale d inerzia relativo a un punto sul bordo interno della corona e con il diametro della corona passante per l origine. Quesito 16. Una sbarretta di lunghezza l e massa m distribuita uniformemente si muove rispetto a un osservatore mantenendo fisso un suo elemento posto a distanza r da uno degli estremi della sbarretta. Si discuta il numero di gradi di libertà del sistema, si introducano le coordinate lagrangiane, si esprimano in termini delle coordinate lagrangiane le coordinate del centro di massa, la velocità angolare, il momento angolare totale calcolato rispetto al punto fisso e l energia Quesito 17. Una lamina circolare omogenea di raggio r e massa m con un elemento del suo bordo fisso rispetto a un osservatore si muove mantenendosi verticale. In altri termini durante il moto una retta solidale alla lamina, a questa ortogonale e passante per il punto fisso si mantiene nel piano orizzontale passante per il punto fisso. Quesito 18. Una lamina quadrata omogenea di lato a e massa m con un vertice fisso rispetto a un osservatore si muove mantenendosi verticale. In altri termini durante il moto una retta solidale alla lamina, a questa ortogonale e passante per il punto fisso si mantiene nel piano orizzontale passante per il punto fisso.

5 Quesito 19. Una lamina omogenea di massa m è stata ottenuta saldando un elemento del bordo di un disco di raggio r a un elemento del bordo di un secondo disco di raggio 2r. La saldatura è effettuata in modo che il punto di saldatura e i centri dei due dischi giacciano su una stessa retta. Si determini il centro di massa della lamina. Si determini il riferimento principale d inerzia relativo al punto di saldatura e la relativa matrice d inerzia. Si determini la matrice d inerzia relativa a un riferimento con origine nel punto di saldatura, un asse ortogonale alla lamina e un secondo asse nel piano della lamina che forma l angolo π/4 con la retta passante per i due centri dei dischi originari e per il punto di saldatura. Quesito 20. Una lamina quadrata omogenea di lato a e massa m con il punto medio di uno dei suoi lati fisso rispetto a un osservatore si muove mantenendo tale lato orizzontale.