Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Anno Accademico 2018/2019 Meccanica Razionale - Appello del 13/4/2019

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1 orso di Laurea in Ingegneria Meccanica Anno Accademico 2018/2019 Meccanica Razionale - Appello del 1/4/2019 Nome... N. Matricola... Ancona, 1 aprile Un asta OA di massa M e lunghezza L si muove nel piano verticale O(, ) (con verticale ascendente), libera di ruotare attorno al suo estremo O che è fisso. Nell asta è praticata una scanalatura, nel senso della lunghezza, all interno della quale scorre senza attrito una pallina di massa m, collegata all estremo O da una molla di costante > 0. Una forza costante = ĵ agisce inoltre sull estremo A dell asta. Utilizzando le coordinate lagrangiane s (ascissa di lungo l asta) e θ (angolo dell asta con la verticale) indicate in figura, determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità per valori generici dei parametri; determinare quindi un intervallo per nel quale le configurazioni di equilibrio incondizionate sono stabili. O θ s > 0 A

2 2. (15 punti) Nel sistema di riferimento O(,, z) indicato in figura, calcolare la matrice d inerzia di un contorno esagonale regolare non omogeneo ABDEA di massa M e lato L. Il lato AB, che ha massa quadrupla degli altri lati, giace sull asse ed il vertice appartiene all asse. Indicare con m 1 la massa di AB e con m 2 la massa di ciascuno degli altri lati; esprimere gli elementi della matrice d inerzia dapprima in funzione di m 1 ed m 2, sostituendo solo alla fine le loro espressioni in funzione di M. E D O A B Non si possono usare le formule notevoli dei momenti d inerzia.

3 orso di Laurea in Ingegneria Meccanica Anno Accademico 2017/2018 Meccanica Razionale - Appello del 1/4/2019 Nome... N. Matricola... Ancona, 1 aprile Una circonferenza di centro, raggio R e massa M si muove nel piano verticale O(, ) (con verticale ascendente), libera di ruotare attorno ad un suo punto O che è fisso. Sul diametro OA (privo di massa) scorre senza attrito una pallina di massa m, collegata al punto O da una molla di costante > 0. Una forza costante = ĵ agisce inoltre sul punto A. Utilizzando le coordinate lagrangiane s (ascissa di lungo il diametro OA) e θ (angolo del diametro OA con la verticale) indicate in figura, determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità per valori generici dei parametri; determinare quindi un intervallo per nel quale le configurazioni di equilibrio incondizionate sono stabili. O θ s > 0 R A Svolgimento. L energia potenziale è data da V (s, θ) = M g + m g O2 A = = M g R cos θ m g s cos θ s2 + 2 R cos θ

4 Derivate dell energia potenziale: V = m g cos θ + s s (1) V = (m g R + m g s 2 R) sin θ θ (2) 2 V s 2 = () 2 V θ2 = (m g R + m g s 2 R) cos θ (4) 2 V = m g sin θ s θ (5) troviamo le configurazioni di equilibrio uguagliando a zero le (1) e (2): m g cos θ + s = 0 (6) (m g R + m g s 2 R) sin θ = 0 (7) onviene iniziare dall equazione (7), già fattorizzata, che fornisce due gruppi di soluzioni. rimo gruppo: ovvero e sin θ = 0 m g cos θ + s = 0 θ = 0, s = m g θ = π, s = m g. (9) Indicando con Q(θ, s) le configurazioni di equilibrio abbiamo le prime due di esse: ( Q 1 = 0, m g ) (10) ( Q 2 = π, m g isicamente, Q 2 andrebbe scartata perchè fornisce s < 0; ignoriamo tuttavia questo fatto e forniamo la soluzione completa. Secondo gruppo: ) (8) (11) m g R + m g s 2 R = 0 (12) m g cos θ + s = 0 (1) ovvero s = m g cos θ m g R + m g m g cos θ 2 R = 0 da cui l equazione risolutiva cos θ = 2 m g m 2 g 2 R. Otteniamo quindi due configurazioni di equilibrio condizionate, ( Q = θ 0, 2 m g ) R m g ( Q 4 = θ 0, 2 m g ) R m g (14) (15)

5 che esistono solo se 2 m g m 2 g 2 R 1 er lo studio della stabilità scriviamo le matrici hessiane in corrispondenza dei quattro equilibri. ( ) 0 H(Q 1 ) = 0 m g R + m2 g 2 2 R che è stabile se che è stabile se H(Q 2 ) = m g R + m2 g 2 2 R > 0. (16) ( ) 0 0 (m g R m2 g 2 2 R) m g R m2 g 2 2 R < 0. (17) Le due configurazioni di equilibrio incondizionate Q 1 e Q 2 sono entrambe stabili se ovvero 2 R < m g R + m2 g 2 2 R > m g R m2 g 2 m g 2 m2 g 2 2 R < < m g 2 + m2 g 2 2 R Le due configurazioni di equilibrio Q e Q 4 sono enrambe instabili, in quanto 2 V/ θ 2 = 0 per entrambe (come si vede direttamente dalla (4) assieme alla (12)) e quindi il determinante della matrice hessiana è negativo.

6 2. (15 punti) Nel sistema di riferimento O(,, z) indicato in figura, calcolare la matrice d inerzia di un contorno esagonale regolare non omogeneo ABDEA di massa M e lato L. Il lato AB giace sull asse ed il punto apprtiene all asse. Il lato A ha massa tripla degli altri lati. Indicare con m 1 la massa di A e con m 2 la massa di ciascuno degli altri lati; esprimere gli elementi della matrice d inerzia dapprima in funzione di m 1 ed m 2, sostituendo solo alla fine le loro espressioni in funzione di M. (A) E 5 4 D K 6 6 O H 6 A B 1 2 H 2 α=π/ (B) () α igura 1: er la stesura della soluzione la figura è modificata rispetto al testo d esame. Svolgimento. Indichiamo con 1, 2,..., 6 i punti medi dei lati, come in figura (A). Notiamo che 2 H 2 = 6 H 6 = L /4 e 6 K 6 = L/4, OA = L/2. alcoliamo la matrice d inerzia di un asta generica di lunghezza L e massa m disposta come in figura (B): I 11 = µ I 22 = µ L/2 L/2 L/2 L/2 2 dl = µ 2 dl = µ L/2 L/2 L/2 L/2 (l sin α) 2 dl = 1 12 µ L sin 2 α = 1 12 ml2 sin 2 α (18) (l cos α) 2 dl = 1 12 µ L cos 2 α = 1 12 ml2 cos 2 α (19) I = I 11 + I 22 = 1 12 ml2 (20) I 12 = µ L/2 L/2 dl = µ L/2 L/2 l 2 sin α cos α dl = 1 12 ml2 sin α cos α (21) Se l asta orientata come in figura (), I 11, I 22 e I sono ancora dati dalle stesse espressioni (18), (19) e (20), mentre I 12 cambia segno.

7 on questi risultati, possiamo calcolare gli elementi della matrice d inerzia delle quattro aste B, D, E e A con α = π/. Asta B: I 11 = 1 12 m 2 L m 2 I 22 = 1 12 m 2 L m 2 I = 10 m 2 L 2 I 12 = 1 12 m 2 L 2 4 m 2 L 2 ( ) 2 L = m 2 L 2 ( ) L = 7 12 m 2 L = 11 m 2 L 2 24 Asta D: ( I 11 = 1 12 m 2 L m 2 L 2 I 22 = 7 12 m 2 L 2 I = 29 6 m 2 L 2 2 ) 2 = 7 4 m 2 L 2 I 12 = 1 12 m 2 L 2 4 m 2 L = 9 m 2 L 2 8 Asta E : I 11 = I 11 (D) = 7 4 m 2 L 2 I 22 = 1 12 m 2 L m 2 I = 11 6 m 2 L 2 I 12 = 1 12 m 2 L 2 4 m 2 L 2 ( ) L = 1 12 m 2 L = 5 24 m 2 L 2 Asta A: I 11 = 1 4 m 1 L 2 I 22 = 1 12 m 1 L m 1 I = 1 m 1 L 2 I 12 = 1 12 m 1 L 2 4 m 1 L 2 er le aste AB e ED abbiamo, con α = 0: Asta AB: I 11 = I 12 = 0 ( ) L = 1 12 m 1 L = 24 m 1 L 2 I 22 = I = 1 12 m 2 L 2 + m 2 L 2 = 1 12 m 2 L 2

8 Asta ED: I 11 = 0 + m 2 (L ) 2 = m2 L 2 I 22 = 1 12 m 2 L 2 I = m 2 L 2 I 12 = 0 m 2 L 2 = m 2 L 2 In conclusione, sommando tutti i contributi, otteniamo per la matrice d inerzia del sistema: I 11 = 1 4 m 1 L m 2 L 2 (22) I 22 = 1 12 m 1 L m 2 L 2 (2) I = 1 m 1 L m 2 L 2 (24) I 12 = 24 m 1 L 2 67 m 2 L 2 (25) 24 Ora esprimiamo il tutto in termini della massa M dell intero sistema. Abbiamo: m m 2 = M m 1 = m 2 ovvero Le (22)-(25) diventano allora: m 2 = 1 8 M m 1 = 8 M I 11 = M L2 I 22 = 1 12 M L2 I = M L2 I 12 = 5 96 M L 2

9 orso di Laurea in Ingegneria Meccanica Anno Accademico 2017/2018 Meccanica Razionale - Appello del 1/4/2019 Nome... N. Matricola... Ancona, 1 aprile Un contorno quadrato di centro, lato L e massa M si muove nel piano verticale O(, ) (con verticale ascendente), libero di ruotare attorno al suo vertice O che è fisso. Sulla diagonale OA (priva di massa) scorre senza attrito una pallina di massa m, collegata al punto O da una molla di costante > 0. Una forza costante = ĵ agisce inoltre sul punto A. Utilizzando le coordinate lagrangiane s (ascissa di lungo la diagonale) e θ (angolo della diagonale con la verticale) indicate in figura, determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità per valori generici dei parametri; determinare quindi un intervallo per nel quale le configurazioni di equilibrio incondizionate sono stabili. O L > 0 s θ A

10 2. (15 punti) Nel sistema di riferimento O(,, z) indicato in figura, calcolare la matrice d inerzia di un contorno esagonale regolare non omogeneo ABDEA di massa M e lato L. Il lato AB giace sull asse ed il punto apprtiene all asse. Il lato E ha massa doppia degli altri lati. Indicare con m 1 la massa di E e con m 2 la massa di ciascuno degli altri lati; esprimere gli elementi della matrice d inerzia dapprima in funzione di m 1 ed m 2, sostituendo solo alla fine le loro espressioni in funzione di M. E D O A B Non si possono usare le formule notevoli dei momenti d inerzia.

11 orso di Laurea in Ingegneria Meccanica Anno Accademico 2017/2018 Meccanica Razionale - Appello del 1/4/2019 Nome... N. Matricola... Ancona, 1 aprile Un disco di centro, raggio R e massa M si muove nel piano verticale O(, ) (con verticale ascendente), libero di ruotare attorno ad un suo punto del bordo O che è fisso. Sul diametro OA è praticata una scanalatura dove scorre senza attrito una pallina di massa m, collegata al punto O da una molla di costante > 0. Una forza costante = ĵ agisce inoltre sul punto A. Utilizzando le coordinate lagrangiane s (ascissa di lungo il diametro OA) e θ (angolo del diametro con la verticale) indicate in figura, determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità per valori generici dei parametri; determinare quindi un intervallo per nel quale le configurazioni di equilibrio incondizionate sono stabili. O θ s > 0 R A

12 2. (15 punti) Nel sistema di riferimento O(,, z) indicato in figura, calcolare la matrice d inerzia di un contorno esagonale regolare non omogeneo ABDEA di massa M e lato L. Il lato AB giace sull asse ed il punto apprtiene all asse. Il lato ED ha massa quintupla degli altri lati. Indicare con m 1 la massa di ED e con m 2 la massa di ciascuno degli altri lati; esprimere gli elementi della matrice d inerzia dapprima in funzione di m 1 ed m 2, sostituendo solo alla fine le loro espressioni in funzione di M. E D O A B Non si possono usare le formule notevoli dei momenti d inerzia.

13 orso di Laurea in Ingegneria Meccanica Anno Accademico 2017/2018 Meccanica Razionale - Appello del 1/4/2019 Nome... N. Matricola... Ancona, 1 aprile Una lamina quadrata di centro, lato L e massa M si muove nel piano verticale O(, ) (con verticale ascendente), libera di ruotare attorno al suo vertice O che è fisso. Sulla diagonale OA è praticata una scanalatura dove scorre senza attrito una pallina di massa m, collegata al punto O da una molla di costante > 0. Una forza costante = ĵ agisce inoltre sul punto A. Utilizzando le coordinate lagrangiane s (ascissa di lungo la diagonale) e θ (angolo della diagonale con la verticale) indicate in figura, determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità per valori generici dei parametri; determinare quindi un intervallo per nel quale le configurazioni di equilibrio incondizionate sono stabili. O L > 0 s θ A

14 2. (15 punti) Nel sistema di riferimento O(,, z) indicato in figura, calcolare la matrice d inerzia di un contorno esagonale regolare non omogeneo ABDEA di massa M e lato L. Il lato AB giace sull asse ed il punto apprtiene all asse. Il lato B ha massa sestupla degli altri lati. Indicare con m 1 la massa di B e con m 2 la massa di ciascuno degli altri lati; esprimere gli elementi della matrice d inerzia dapprima in funzione di m 1 ed m 2, sostituendo solo alla fine le loro espressioni in funzione di M. E D O A B Non si possono usare le formule notevoli dei momenti d inerzia.