EQUAZIONI DI LAGRANGE E STAZIONARIETÀ DEL POTENZIALE

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1 EQUAZIONI DI LAGRANGE E STAZIONARIETÀ DEL POTENZIALE Equazioni di Lagrange in forma non conservativa Riprendiamo l equazione simbolica della dinamica per un sistema olonomo a vincoli perfetti nella forma X N m i a i P i! δt X N F i P i! δt ; δt edefiniamo con Q k : F i P i, () q k le componenti generalizzate della sollecitazione attiva secondo la coordinata q k e con τ k : 5 (1) m i a i P i, (3) le componenti generalizzate degli opposti delle forze d inerzia m i a i. Allora l equazione 1diventa τ k δt Q k δt (τ k Q k ) δt 0. δt (4) Questo implica che τ k Q k. k 1,...,n. (5) Osservazione 1 Da una equazione scalare siamo passati a n equazioni (numero delle coordinate libere) grazie all arbitrarietà e indipendenza delle /δt. Sono n equazioni pure, poichè non contengono incognite di reazione. Valutiamo τ k τ k : m i a i P i m i d v i P i " d N #! X m i v i P i m i v i d P i. (6) q k q k Ricordando l espressione della velocità possibile v i P i q k + P i t, (7) osserviamo che v i P i, (8)

2 6 mentre d! P i invertendo l ordine di derivazione Sostituendo le espressioni 8 e 9 in 6, si ottiene " τ k d N # X dp! i v i. (9). (10) Ricordando l espressione dell energia cinetica per un sistema di N punti T 1 m i v i v i, (11) notiamo che T ; T (1) e l espressione 10 diventa τ k d T T. (13) Sostituendo nel sistema di equazioni 5, si ottiene τ k Q k T Q k k 1,...,n., (14) che rappresenta il sistema delle equazioni di Lagrange in forma non conservativa Equazioni di Lagrange in forma conservativa Se la sollecitazione attiva Q k è conservativa, allora esiste una funzione potenziale U (q k ),,...,n. tale che U Q k, k 1,...,n. (15) Allora le equazioni di Lagrange in forma non conservativa diventano T Q k T U k 1,...,n. (16) Poichè U (q k ) non dipende nè dalle q k,nèdaltempot, la precedente espressione diventa T U d (T + U) (T + U) 0 k 1,...,n. (17)

3 7 Se definiamo la funzione lagrangiana L T (q k, q k )+U (q k ), (18) il sistema di n equazioni si scrive d 0 k 1,...,n. (19) e rappresenta le equazioni di Lagrange in forma conservativa. Esempio 1 Si consideri il sistema di figura e calcoliamo le equazioni di Lagrange con la condizione iniziale descritta dall asta in quiete in posizione orizzontale. Poichè abbiamo già calcolato l energia totale meccanica per questo sistema, il calcolo della Lagrangiana è immediato. Infatti da è immediato passare a T U E (0) L T + U 1 mẋ + ml 6 θ 1 mẋl sin θ θ + mg l sin θ. (1) Calcoliamo prima le derivate parziali rispetto alle coordinate generalizzate x e ẋ ẋ mẋ 1 ml sin θ θ e poi rispetto alle coordinate generalizzate θ e θ x 0 () ml θ 3 θ 1 ml sin θẋ θ mg l cos θ. (3) Notiamo che, come nel caso dell energia totale, la componente della forza generalizzata lungo la coordinata x è nulla in : si dice che la coordinata x èciclica

4 8 e rispecchia la conservazione della quantità di moto rispetto a x. Le equazioni di Lagrange sono due, una per ogni grado di libertà, e si scrivono come µ d mẋ 1 ml sin θ θ 0 mẋ 1 ml sin θ θ costante. (4) e µ d ml 3 θ 1 ml sin θẋ mg l cos θ 0. (5) Usiamo la condizione iniziale ẋ (0) 0 e θ (0) 0, allora ẋ 1 l sin θ θ. (6) Sostituendo in 5, ricaviamo d ml 3 θ m l 4 sin θ θ mg l cos θ µ θ 4l 3l sin θ l 1 sin θ cos θ θ + g cos θ (7) Esempio Si consideri il sistema di figura formatodaundiscodimassam eraggior che rotola senza strisciare su un piano inclinato di massa M. Il piano inclinato è libero di muoversi rispetto ad un sistema di riferimento fisso senza attrito. Determinare il moto del disco sapendo che, per t 0il sistema si trova in quiete con il disco nella posizione più alta. Anche in questo caso il calcolo della Lagrangiana è immediato. Infatti da è immediato passare a T U E (8) L T + U 1 mẋ mṡ + mẋṡ cos α + 1 Mẋ + mgs sin α. (9) Calcoliamo prima le derivate parziali rispetto alle coordinate generalizzate x e ẋ ẋ (m + M) ẋ + mṡ cos α x 0 (30)

5 e poi rispetto alle coordinate generalizzate s e ṡ ṡ 3m ṡ + mẋ cos α s mg sin α. (31) Notiamo che, come nell esempio precedente, la componente della forza generalizzata lungolacoordinatax èciclica.leequazionidilagrangesono d ((m + M) ẋ + mṡ cos α) 0 (m + M) ẋ + mẋṡ cos α costante. (3) e d 3m ṡ + mẋ cos α mg sin α 0. (33) Usiamo la condizione iniziale ẋ (0) 0 e ṡ (0) 0, allora mṡ cos α ẋ m + M. (34) Sostituendo in 33, ricaviamo µ d 3m m cos α ṡ mg sin α m + M 3(m + M) m cos α s g sin α. (35) (m + M) Se poniamo 4(m + M) g sin α a costante, (36) 3(m + M) m cos α l equazione precedente diventa s 1. (37) a Stazionarietà del potenziale Supponiamo che la sollecitazione attiva di un sistema olonomo a n gradi di libertà sia conservativa e posizionale. Allora esiste la funzione potenziale U (q k ) eillavoro virtuale δ L du, (38) risulta esatto. In corrispondenza di una posizione di equilibrio e supponendo che i vincoli siano bilateri, δ L 0e dalla sua espressione esplicita δ U L Q k 0. (39) Dato che il sistema è olonomo, è arbitrario e la componente k-esima della forza generalizzata è legata al potenziale dalla relazione Q k U, k 1,...,n. (40) Se q k corrisponde ad una posizione di equilibrio, allora 0Q k U ( q k), k 1,...,n. (41) 9

6 10 Esempio 3 Si consideri il sistema in figura già analizzato per il P.L.V. formato da aste omogenee di lunghezza l epesop, incernierate in O eina. L asta AB reca al suo estremo un carrello connesso in O da una molla di costante elastica k. Calcolare le posizioni di equilibrio. Iniziamo a identificare le forze attive: il peso p delle aste e la forza elastica della molla. Il sistema ha un g.d.l. identificato dall angolo θ. Scegliamo come sistema di riferimento, il sistema centrato in O avente come direzione verticale la direzione della retta che passa per il segmento OB e verso discendente. Scriviamo il potenziale U (θ) U (θ) py G1 + py G 1 k ³ OB, (4) dove G 1 (x G1,y G1 ) l sin θ, l cos θ G (x G,y G ) l sin θ, 3 l cos θ B (x B,y B )(0, l cos θ) L espressione esplicita del potenziale diventa. (43) U (θ) p l cos θ + p3 l cos θ 1 k (l cos θ) pl cos θ kl cos θ. (44) Le posizioni di equilibrio sono date da ovvero U (θ) θ pl sin θ +4kl cos θ sin θ 0, (45) l ( p +kl cos θ)sinθ 0. (46) Risolvendol equazionisitrovanoleposizionidiequilibriocoincidenticonquelle trovate per il P.L.V. 1. Esempio 4 Il sistema in figura è formato da una lamina piana di lato l e massa M e da un asta incernierata di lunghezza l emassam. L asta è appoggiata in un punto del lato AD della lamina e nel punto D viene applicata una molla di costante k. Si determini il valore di k affinché l asta,

7 11 in posizione di equilibrio, formi un angolo di π/6 con l orizzontale. Scriviamo il potenziale U (θ) U (θ) py G1 py G 1 k ³ OB, (47) dove p Mg e G 1 (x G1,y G1 ) l cos θ, l sin θ G (x G,y G ) l + l cos θ, l D (x D,y D )(lcos θ, 0). (48) L espressione esplicita del potenziale diventa e le posizioni di equilibrio sono date da U (θ) p l sin θ p l 1 kl cos θ (49) U (θ) θ p l cos θ + kl cos θ sin θ 0. (50) Imponiamo l angolo di equilibrio θ π/6 Q θ pl kl 4 0 k p l (51)