Prova Scritta di di Meccanica Analitica. 4 Luglio ) Si consideri un punto materiale di massa m soggetto al potenziale.

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1 Prova Scritta di di Meccanica Analitica 4 Luglio 7 Problema ) Si consideri un punto materiale di massa m soggetto al potenziale V x) ax 4 determinare la dipendenza del periodo dall energia. ) Si scriva la soluzione particolare di un oscillatore iperbolico forzato con condizione iniziale x ẋ ẍ ω x + f ) Dall equazione dell energia abbiamo H mẋ + ax 4 calcoliamo il periodo delle orbite chiuse T E) m E HE dx ax4 /E m ae) / du u 4 u a/e) /4 x. Il periodo scala come T E /4 all aumentare dell energia. ) Ponendo p ẋ/ω otteniamo il sistema al primo ordine { ẋ ωp ṗ ωx + f/ω Utilizzando la formula generale per la soluzione particolare con x) p) abbiamo ) t x p f ω coshωt s) sinhωt s) sinhωt s) coshωt s) sinhωt s) coshωt s) t ) ) ds f/ω ) ) ds f ω coshωt sinhωt

2 Problema Consideriamo un punto materiale di massa m e carica elettrica Q vincolato ad una sfera di raggio R: a) scrivere la Lagrangiana del moto in presenza della forza peso e di un campo magnetico costante B ẑ diretto lungo la verticale; b) determinare gli integrali primi del moto; c) calcolare l Hamiltoniana del sistema; d) discutere l esistenza di orbite circolari e lo loro stabilitá. Introduciamo il potenziale generalizzato per il campo magnetico mediante il potenziale vettore A B y, x, ) In coordinate sferiche la Lagrangiana del punto materiale si scrive L mr θ + ϕ sin θ) + Q c A x mgr cos θ Calcoliamo in coordinate polari utilizzando il potenziale vettore B / y, x, ) La Lagrangiana finale diventa A x B e ϕ θ e θ + ϕ e ϕ ) B R L mr θ + ϕ sin θ) + QB R c ϕ sin θ ϕ sin θ mgr cos θ Gli integrali primi del moto sono { pϕ L ϕ mr ϕ sin θ + QB R c sin θ E mr θ + ϕ sin θ) + mgr cos θ L Hamiltoniana del sistema si trova sostituendo i momenti generalizzati nell energia H p θ mr + p mr sin ϕ QB R sin θ) + mgr cos θ θ c Identifichiamo un potenziale efficace a meno di costanti V θ) p ϕ mr sin θ + kr sin θ + mgr cos θ

3 dove ) QB k c m Si tratta di un potenziale doce é presente una forza elastica di costante k diretta verso l asse verticale oltre che alla forza peso. Posto u cos θ [, ] possiamo studiare l esistenza delle orbite circolari dall equazione ovvero dv du p ϕ u mr u ) kr u + mgr mkr 4 p ϕ u m R 3 g p ϕ u u ) L esistenza di un orbita circolare dipende dall intersezione della retta a membro sinistro con la funzione dispari a membro destro. Vi é chiaramente un orbita circolare per u < che risulta stabile; inoltre si puó dimostrare che se k ovvero B ) é abbastanza grande a partitá di p ϕ che non deve essere a sua volta piú grande di un erto valore) abbiamo altre due orbite circolari una stabile ed una instabile) per u >. Problema 3 Si consideri una lama omogenea quadrata di massa m e lato l vincolata a ruotare attorno ad un asse orizzontale diretto lungo una diagonale. Un punto materiale di massa m é vincolato a muoversi lungo l altra diagonale rimanendo nel piano della lamina e soggetto ad una forza elastica di costante k che lo attira al centro della lamina, oltre che alla forza peso: a) scrivere la Lagrangiana del sistema; b) deteminare le posizioni di equilibrio; c) scrivere la Lagrangiana delle piccole oscillazioni per la posizione di equilibrio stabile. La diagonale della lamina é un asse proncipale d inerzia, inoltre vale una simmetria di rotazione quindi il momento d inerzia di un qualunque asse passante per il centro di massa della lamina é lo stesso. Abbiamo I m 4l l l l l x dxdy ml 3 Detto θ l angolo di rotazione della lamina e ξ la coordinata del punto rispetto al centro lungo la diagonale, L energia cinetica del sistema é T m ) ξ + ξ θ + ml 6 θ 3

4 mentre l energia potenziale sel sistema si scrive V k ξ + mgξ cos θ da cui la Lagrangiana θ corrisponde alla lamina in posizione verticale). I punti di equilibrio sono θ e ξ mg k stabile e ξ, θ π/ instabile fisicamente é ovvio). La Lagrangiana delle piccole oscillazioni si scrive L P O m ξ + m ) ξ + l θ k 3 ξ ξ ) θ + mgξ Problema 4 Si consideri il sistema Hamiltoniano Hq, p) p hq) hq) a) Determinare la condizione su gq) e fq) affinché la trasformazione { Q gq) P fq)p sia canonica; b) determinare gq) affinché l Hamiltoniano iniziale nelle nuove variabili abbia la forma HQ, P ) P Q c) utilizzare il risultato precedente per integrare il sistema Hamiltoniano Hq, p) p cos q Imponendo la condizioni di conservazione delle aree determinante dello jacobiano) otteniamo dg fq) fq) dq g q) 4

5 e otteniamo la trasformazione { Q gq) P p g q) Se quindi applichiamo la trasformazione all Hamiltoniana iniziale abbiamo HQ, P ) P Q p gq)) g q)) p hq) da cui abbiamo la condizione g q) gq) hq) che implica lngq)) dq hq) Nel caso specifico hq) cos q e otteniamo a meno di una costante di integrazione lngq)) cos q dq + sin q ln sin q Quindi possiamo esplicitare la trasformazione { Q +sin q sin q +sin q cos q P p sin q) Le equazioni del moto per H P Q / sono { Q P Q)Q P P Q)P q [ π/, π/] dove I P Q é un integrale primo del moto. Le soluzioni si esprimono nella forma ) Qt) P t) coshit) ) ) sinhit) Q sinhit) coshit) Nelle variabili iniziali basta invertire la trasformazione e sostituire Qt) e P t). P 5