Modellistica dei Manipolatori Industriali 01BTT Esame del 23/11/2001 Soluzione

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1 Modellistica dei Manipolatori Industriali 1BTT Esame del 23/11/21 Soluzione 1 Sistemi di riferimento e cinematica di posizione In Figura 1 il manipolatore è stato ridisegnato per mettere in evidenza variabili q i positive. La Figura riporta le etichette degli assi dei riferimenti e le grandezze q i con il loro verso positivo. La cinematica diretta risulta facilmente calcolabile osservando il disegno: l angolo di assetto α si ricava considerando la seguente identità: da cui q 1 + q 2 = α + π 2 α = q 1 + q 2 π 2 x risulta somma delle proiezioni dei bracci sull orizzontale, a cui va sommata la distanza fissa di 1m tra l origine di R u e l asse del giunto 1 (solo nel caso in cui si sia scelto R u = R ). Pertanto: x = l 1 c 1 + l 2 c 12 + q 3 s y risulta somma delle proiezioni dei bracci sulla verticale. Pertanto: Riassumendo y = l 1 s 1 + l 2 s 12 q 3 c 12 x = l 1 c 1 + l 2 c 12 + q 3 s (1) y = l 1 s 1 + l 2 s 12 q 3 c 12 (2) α = q 1 + q 2 π 2 (3) 1.1 Calcolo di T 1 2 e T 2 3 Per prima cosa calcoliamo d 1 2 e R 1 2. Dal disegno in Figura 1 si vede facilmente che l 2 c 2 d 1 2 = l 1 s 2 e che c 2 s 2 1 c 2 s 2 R 1 2 = Rot(k, q 2 )Rot(i, π/2) = s 2 c 2 1 = s 2 c

2 Successivamente calcoliamo d 2 3 e R 2 3. e d 2 3 = R 2 3 = Rot(j, π/2)rot(i, π/2) = 1 1 = Si può giungere a risultati analoghi rappresentando i versori dei riferimenti R 3 e R 2 rispettivamente rispetto a R 2 e R 1. q Cinematica inversa di posizione Una semplice soluzione si trova per via geometrica, come illustrato dalla Figura 2. Infatti, conoscendo le coordinate x, y del punto P e l angolo di assetto α, segue che l origine di R 2 può trovarsi tra gli estremi del segmento QP ; tracciando il segmento parallelo BA alla distanza di 1m si determina l origine di R 1 come intersezione tra questo segmento ed il cerchio di raggio 1m centrato in O. Ovviamente sarebbe possibile anche una situazione speculare rispetto alla retta QP, non illustrata in figura. Analiticamente si può procedere così: dalla (1) calcoliamo dalla (2) calcoliamo quindi li eguagliamo, ottenendo q 3 = x c 1 c 12 1 s 12 (4) q 3 = s 1 + s 12 y c 12 s 1 + s 12 y c 12 = x c 1 c 12 1 s 12 s 1 s 12 + s 2 12 ys 12 = xc 12 c 1 c 12 c 2 12 c 12 da cui, raccogliendo e considerando che c s2 12 = 1 e s 1s 12 + c 1 c 12 = c 2, otteniamo c 2 = ys 12 + (x 1)c 12 1 poiché conosciamo q 1 + q 2 = α + π/2, nonché x e y, possiamo calcolarci q 2 come q 2 = ± arccos [ys 12 + (x 1)c 12 1] e quindi q 1 q 1 = α + π/2 q 2 La traslazione q 3 si ricava da (4). 2

3 2 Cinematica di velocità 2.1 Calcolo dello Jacobiano Lo Jacobiano J del manipolatore risulta essere il seguente l 1 s 1 l 2 s 12 + c 12 q 3 l 2 s 12 + c 12 q 3 s 12 J = l 1 c 1 + l 2 c 12 + s 12 q 3 l 2 c 12 + s 12 q 3 c Calcolo del determinante e condizioni di singolarità Sviluppando il determinante secondo l ultima riga risulta ( ) ( ) J 12 s 12 J 11 s 12 det(j) = det det = c 12 (J 12 J 11 ) s 12 (J 22 J 21 ) J 22 c 12 J 21 c 12 ovvero det(j) = c 12 (l 1 s 1 ) s 12 ( l 1 c 1 ) = l 1 c 1 (s 1 c 2 + c 1 s 2 ) l 1 s 1 (c 1 c 2 s 1 s 2 ) = l 1 s 2 (c s 2 1) = l 1 s 2 Essendo l 1, la configurazione singolare si ha quando s 2 =, ovvero per q 2 = oppure q 2 = π. 2.3 Calcolo delle coordinate relative alla configurazione A Osservando la configurazione A schematizzata in Figura 2, le coordinate giunto q A relative a tale configurazione sono facilmente ricavabili, come q A1 = q A2 = π/2 q A3 = 1 mentre le coordinate cartesiane p A risultano essere: p A1 = x A = 3 p A2 = ȳ A = 1 p A3 = α = 2.4 Calcolo della velocità istantanea della punta in configurazione A La velocità istantanea della punta, per q 1 = q 2 = 1 rad s 1, q 3 = 1 m s 1, si ottiene applicando la formula ṗ = J q, ovvero ẋ A ṗ A = J A q A = ẏ A = = 3 (5) α A

4 Allo stesso risultato si può giungere osservando che la velocità della punta è la somma di tre contributi di velocità lineare v 1 dovuto alla rotazione del giunto 1 v 2 dovuto alla rotazione del giunto 2 v 3 dovuto alla traslazione del giunto 3 In particolare, osservando la Figura 3: v 1 = ω 1 r 1 = 1 1 = 2 da cui v 2 = ω 2 r 2 = 1 1 = 1 1 v 3 = 1 v = v 1 + v 2 + v 3 = 3 Le prime due componenti di v sono uguali alle prime due componenti di (5). La terza componente di v è nulla in quanto il moto avviene sul piano, mentre la terza componente di (5) rappresenta modulo e segno della velocità angolare intorno a k u. 3 Statica Trattandosi di ricavare le coppie equilibranti ai giunti, la formula da utilizzare è τ = J T F P, ossia: τ = = 4 (6) ( T, F P = 3 4 5) RP. Identico risultato si otterrebbe calcolando i contributi f x = 3 (cambiati di segno) delle tre componenti di F P = f y = 4 sui tre giunti: N z = 5 4

5 giunto 1 τ 1 (f x ) = 3l 2 = 3 τ 1 (f y ) = 4(l 1 + q 3A ) = 8 (7) τ 1 (N z ) = 5 giunto 2 τ 2 (f x ) = 3l 2 = 3 τ 2 (f y ) = 4 q 3A = 4 (8) τ 2 (N z ) = 5 giunto 3 τ 3 (f x ) = 3 τ 3 (f y ) = (9) τ 3 (N z ) = quindi, sommando: τ 1 = τ 2 = 4 (1) τ 3 = 3 4 Elasticità Con la definizione data per q i = q i q ia e p i = p i p ia, occorre usare le τ i equivalenti, in quanto le forze/coppie elastiche generate si opporranno a queste (e quindi saranno equilibranti) generando uno spostamento positivo e concorde alla definizione data sopra. Perciò: q elastiche = K 1 q τ equivalenti = = e p elastiche = J A q = =

6 5 Dinamica 5.1 Equazione di Newton Consideriamo l equazione f 23 + f 43 + m(γ a c ) = 3 dove f 43 = F P = 4 (ricordiamo che la terza componente della forza non vale 5, che è il momento N z, ma f z = ), e calcoliamo il termine a c nella configurazione A. ( ) Poichè la rotazione a cui è soggetta la punta P avviene a velocità costante ω = 2 R u intorno all asse del giunto 2, l unica accelerazione a cui è sottoposta la punta risulta essere l accelerazione centripeta, diretta da P all origine di R 1, chiamata O 1. Possiamo calcolare il 1 modulo di a c semplicemente come a c = ω 2 r, dove r = 1 è il vettore da O 1 a P ; un semplice calcolo mostra che a c = 4 2. Ne segue che le componenti di a c saranno r x = 4 a c = r y = 4 r x = dove il segno meno dipende dal fatto che l accelerazione è centripeta. Alternativamente si può calcolare a c come prodotto esterno ω (ω r) = = 4 In conclusione: f 23 = f 43 + m(a c γ) = = Equazione di Eulero Consideriamo l equazione N 23 + N 43 + r c,2 f 23 + r c,3 f 43 Γ ω ω Γ ω = 6

7 dove N 43 = N P =, e calcoliamo i vari termini nella configurazione A. In primo luogo 5 ricaviamo r c,2 e r c,3 : 1 r c,2 = r c,3 = essendo l origine di R 3 coincidente con la massa puntiforme, che è anche il centro di massa. Il tensore d inerzia Γ vale: Γ x Γ = Γ y Γ z = Γ = Γ x Γ y ml 2 = essendo l = poiché il centro di massa coincide con la massa puntiforme. Eseguiamo ora i prodotti 37 r c,2 f 23 = 1 64 =, 1 64 quindi r c,3 f 43 =, Γ x Γ ω = Γ y =, 2 ω Γ ω = e infine Γ ω = Sommiamo ora le varie componenti per ottenere finalmente: N 23 = =

8 Figure 1: Schema del manipolatore planare con i sistemi di riferimento e le variabili q i. Figure 2: Costruzione geometrica della cinematica inversa di posizione. 8

9 Figure 3: velocità delle punta in configurazione A. N.B. le v i non sono in scala 9