Teoria dei Sistemi Dinamici

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1 Teoria dei Sistemi Dinamici 01GTG - 0GTG Soluzione dell Esame del 03/11/009 1 Esercizio 1 Sistema meccanico 1.1 Testo Si consideri il sistema meccanico planare schematizzato nella Fig. 1, descritto come segue. Un disco di massa M e di raggio R ruota senza attrito lungo un piano inclinato di 45 rispetto alla verticale. Il momento d inerzia del disco rispetto all asse di rotazione vale Γ z. Al centro C del disco è agganciata una cinghia collegata, attraverso una ruota dentata D priva di massa e di attrito, al punto E di una massa m, che trasla orizzontalmente lungo una rotaia, in presenza di un attrito viscoso di coefficiente β. La cinghia è inestensibile, sia in compressione sia in allungamento, tranne che per una elasticità concentrata, equivalente alla presenza di una molla elastica lineare di coefficiente k tra A e B. Si faccia l ipotesi che in condizioni iniziali di riposo la lunghezza della fune sia EA = l, il punto A coincida con D e la molla assuma una lunghezza costante AB = d. Inoltre sia BC = R. Per semplicità l angolo di rotazione del disco sia θ = 0 in condizioni iniziali. Il campo gravitazionale è presente ed ha la direzione indicata. 1. Se il moto del disco avviene senza strisciamento, qual è la relazione tra θ e la velocità lineare di C?. Indicare le coordinate generalizzate q i (t), i = 1,, Calcolare la coenergia cinetica totale, l energia potenziale totale e l energia di dissipazione totale. 4. Se in condizioni statiche (ovvero con velocità e accelerazioni nulle) l allungamento della molla vale 1 mm, g = G = 10 m s e la massa vale 50 kg, è possibile calcolare il coefficiente elastico k? 1. Soluzione Sono possibili diverse soluzioni, a seconda delle variabili q i considerate. Come variabile q 1 (t) posso considerare lo spostamento della massa m a partire da una generica origine O lungo l asse orizzontale di un sistema di riferimento inerziale canonico (i orizzontale, j verticale). Poichè il moto di m è vincolato alla rotaia orizzontale, la velocità avrà norma pari a q 1 (t) e quindi il contributo della massa m alla coenergia cinetica totale sarà C m = 1 m q 1 1

2 Come seconda variabile q (t) posso scegliere diverse grandezze: ad esempio la posizione del centro C del disco a partire dalla stessa origine O, oppure, meglio, l allungamento della molla AB. Ora, poiché la lunghezza EDA è costante, essa non contribuisce alla velocità del punto A che avrà la stessa norma della velocità della massa m (anche se una direzione non più orizzontale), ossia q 1. Infatti il punto D agisce da semplice rinvio, per cui la velocità totale del punto A sarà, nel riferimento inerziale cos 45 q A = q 1 sin 45 = q 1 0 c c 0 ; q A = q 1 dove ho indicato con c la costante e la sua norma sarà appunto q 1. La velocità totale del punto B sarà, sempre nel riferimento inerziale, la somma delle due velocità q 1 e q c c q B = q A + q c = ( q 1 + q ) c 0 0 Segue che la norma vale q B = ( q 1 + q ) Il disco ruota senza strisciare sul piano inclinato, per cui la terza coordinata q 3 (t) = θ(t) è legata alla precedente q B dal vincolo di velocità R θ = q B. L energia cinetica del disco sarà quindi dove possiamo sostituire a θ il valore ( q 1 + q ) C M = 1 M( q 1 + q ) + 1 Γ z θ R Nota: poichè il momento d inerzia di un disco di raggio R vale Γ z = 1 MR, avremo C M = 1 M( q 1 + q ) MR θ = 1 M( q 1 + q ) M( q 1 + q ) = 3 4 M( q 1 + q ) La coenergia cinetica totale sarà pertanto C = C m + C M L energia potenziale si ricava considerando l energia gravitazionale e l energia elastica accumulata nelle due molle. Energia potenziale gravitazionale Si sceglie come livello zero dell energia potenziale gravitazionale il piano orizzontale che passa per la rotaia. Ciò implica che sia P m = 0. La posizione del centro di massa della ruota è, nel riferimento R 0, pari a (q 1 + q + R) cos 45, per cui P M = MG(q 1 + q + R) L energia immagazzinata dalla molla, con la scelta della coordi- Energia potenziale elastica nata q, risulta semplicemente P e = 1 kq

3 Energia di dissipazione D = 1 β q 1 Nota Un altra possibile scelta della seconda coordinata generalizzata (chiamiamola q ) era di indicare con q la posizione totale della massa M partendo dall origine del riferimento inerziale. Ora la relazione tra q e q è semplicemente e θ = ( q ) R, per cui risulterebbe q = q 1 + q C m = 1 m q 1; CM = 1 M( q ) + 1 Γ ( q ) z R ; P M = MG(q + R) ; P e = 1 k(q q 1 + d) Il valore della costante elastica k, si ricava ricordando la legge della forza elastica F = kd, con F = MG da cui, sostituendo le grandezze numeriche fornite k = MG = d 10 3 = kn/m 3

4 Esercizio Sistema elettrico.1 Testo È data la rete elettrica rappresentata in Fig.. Scrivere le equazioni di Lagrange utilizzando le cinque correnti di maglia.. Soluzione Considerando l approccio in carica e le correnti di maglia q i indicate nella Fig., avremo: Coenergia cinetica elettrica C = 1 { L1 ( q 1 q 5 ) + L ( q q 3 ) + L 3 ( q 3 q 4 ) + L 4 ( q 4 q 5 ) } Energia potenziale elettrica Energia dissipativa elettrica D = 1 P = 1 { 1 (q 1 q ) + 1 q + 1 } q5 C 1 C C 3 { R1 q 1 + R q 4 + R 3 q 3 + R 4 ( q q 5 ) + R 5 ( q 3 q 5 ) } da cui si ricavano le seguenti equazioni di Lagrange: 1. L 1 ( q 1 q 5 ) + R 1 q C 1 (q 1 q ) = E L ( q q 3 ) + R 4 ( q q 5 ) 1 (q 1 q ) + 1 q = 0 C 1 C L ( q q 3 ) + L 3 ( q 3 q 4 ) + R 3 q 3 + R 5 ( q 3 q 5 ) = 0 L 3 ( q 3 q 4 ) L 4 ( q 5 q 4 ) + R q 4 = E L 1 ( q 1 q 5 ) + L 4 ( q 5 q 4 ) R 4 ( q q 5 ) R 5 ( q 3 q 5 ) + 1 q 5 = 0 C 3 4

5 3 Esercizio 3 Sistema elettromeccanico 3.1 Testo Sia dato il sistema elettro-meccanico planare schematizzato in Fig. 3. Esso è composto da una barra orizzontale, di massa totale M e momento d inerzia intorno all asse di rotazione pari a Γ z, avente due bracci ciascuno di lunghezza l, rotante intorno ad un asse uscente dal disegno nel punto centrale C. All estremità B è collegata una molla lineare (ossia la molla sente solo lo spostamento verticale del punto B) di coefficiente elastico k, mentre all estremità A è collegata una fune inestensibile, tranne che per una molla lineare localizzata in AD, di coefficiente elastico k 1, che sostiene una massa m libera di traslare solo verticalmente, con attrito viscoso β. La massa m è sottoposta al campo gravitazionale ( g = G). Si faccia l ipotesi che il moto di A e B sia essenzialmente verticale, ossia l angolo di inclinazione della barra ACB rispetto all orizzontale sia piccolo A riposo (ACB orizzontale), la lunghezza della molla k è nulla, mentre la molla k 1 ha un allungamento AD = d; la lunghezza DE può essere considerata nulla. La massa m rappresenta anche la parte mobile di un voice coil (visibile nel disegno) di induttanza L, alimentato da una tensione esterna E(t) con in serie una resistenza R e una capacità C costanti; si può utilizzare come coenergia cinetica della parte elettrica l espressione C e = 1 Li(t) + K e x(t)i(t) dove x(t) è, per semplicità, la generica posizione del punto D = E, mentre i(t) è la corrente nel circuito; l energia potenziale e dissipativa del circuito elettrico sono quelle date dall approccio in carica. Scrivere le equazioni di Lagrange del sistema 3. Soluzione Scegliamo le tre variabili generalizzate in questo modo (ma altri sono possibili): q 1 è la posizione verticale della massa m a partire dal piano di riferimento, q è l angolo di rotazione della barra rispetto all asse orizzontale e infine q 3 è la corrente nel circuito RCL. La coenergia cinetica meccanica vale C m = 1 m q Γ z q La coenergia cinetica elettrica vale, come abbiamo visto C e = 1 L q 3(t) + K e q 1 (t) q 3 (t) da cui C = 1 m q Γ z q + 1 L q 3(t) + K e q 1 (t) q 3 (t) L energia potenziale meccanica dovuta al campo gravitazionale vale P g = mgq 1 L energia potenziale meccanica di tipo elastico vale P me = 1 k 1(q 1 l sin q d) + 1 k (l sin q ) 5

6 Poiché l angolo q è piccolo, si usa l approssimazione sin q q, da cui si ha P me = 1 k 1(q 1 lq d) + 1 k l q L energia potenziale elettrica vale da cui si ricava l energia potenziale totale P e = 1 C q 3 L energia dissipativa totale vale Scriviamo ora le equazioni di Lagrange P = mgq k 1(q 1 lq d) + 1 k l q + 1 C q 3 D = 1 β q R q m q 1 + β q 1 + k 1 (q 1 lq d) = mg + K e q 3 Γ z q k 1 (q 1 lq d) + k l q = 0 L q 3 + K e q 1 + R q C q 3 = E 6

7 4 Figure Figura 1: Sistema meccanico (Esercizio 1). 7

8 Figura : Il sistema elettrico di cui si vogliono le equazioni di Lagrange (Esercizio ). Figura 3: Il sistema elettro-meccanico (Esercizio 3). 8