Analogie Elettromeccaniche

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1 Analogie Elettromeccaniche Basilio Bona Dipartimento di Automatica e Informatica Politecnico di Torino versione corrente: novembre 23

2 Basilio Bona - Tavola delle Analogie elettromeccaniche 2 Il contenuta di questa dispensa è stato controllato al meglio per evitare la presenza di errori tipografici. Tuttavia è possibile che ve ne siano ancora; chi ne trovasse o volesse dare suggerimenti all autore, è pregato di inviare una a: [email protected]

3 Basilio Bona - Tavola delle Analogie elettromeccaniche 3 È possibile riassumere in una tabella le analogie tra grandezze elettriche e grandezze meccaniche, che permettono di interpretare le quantità di un ambito con quelle dell altro. Così l ingegnere meccanico avrà più facilità a rappresentarsi le grandezze e le forze elettriche e viceversa per l ingegnere elettronico. Ricordiamo che la potenza, è il prodotto scalare di una variabile vettoriale detta sforzo s e di una variabile vettoriale φ detta flusso, da non confondere con il flusso del campo magnetico: P (t) = s(t) φ(t) e che la relazione tra energia/lavoro e potenza vale W (t) = t P (t)dt; P (t) = dw (t) dt Nelle formule che seguono e nella Tabella delle Analogie useremo un certo numero di simboli, elencati qui coordinata generalizzata velocità generalizzata sforzo flusso momento generalizzato Coenergia cinetica Coenergia potenziale Energia di dissipazione Forza generalizzata (non conservativa) Spostamento lineare Velocità lineare del centro di massa Accelerazione lineare del centro di massa Spostamento angolare Velocità angolare Accelerazione angolare Massa Tensore d inerzia Matrice dei coefficienti di dissipazione di Rayleigh Matrice dei coefficienti di elasticità Carica elettrica nei condensatori Corrente Flusso magnetico negli induttori Differenza di potenziale Induttanza Capacità Resistenza Generatore ideale di tensione Generatore ideale di corrente ξ(t) R n ξ(t) s(t) φ(t) q(t) µ(t) C C P P D x(t) v c (t) a c (t) θ(t) ω(t) α(t) m Γ = Γ T B K q(t) i(t) = q(t) λ(t) e(t) = λ(t) L C R E(t) I(t) Si sottolinea che la variabile di flusso equivale sempre alla velocità generalizzata φ(t) ξ(t).

4 Basilio Bona - Tavola delle Analogie elettromeccaniche 4 Equazione lagrangiana d dt ( L ξ i ) L = Fi nc ξ i i =,..., n Sistemi meccanici Funzione lagrangiana L(ξ, ξ) = C (ξ, ξ) P(ξ) dove v h v cb ω b m b Γ b/c Energia Cinetica C(h) = Coenergia Cinetica C (v) = h v Energia Cinetica di un corpo rigido b C = C = 2 velocità lineare totale momento della quantità di moto totale v(h) dh = h v C (v) h(v) dv = v h C(h) ( mb v T ) ( ) cbv cb + ω T 2 b Γ b/c ω b velocità lineare totale del centro di massa del corpo b rispetto a un riferimento inerziale velocità angolare totale del corpo b rispetto a un riferimento inerziale massa del corpo b momento d inerzia del corpo b rispetto al suo centro di massa c. Campo conservativo: la forza f obbedisce alla relazione f(r) dr = f(r) = e l energia potenziale vale dove r è il punto di applicazione di f. C r P(r) = f(r) = f(r) dr r 2. Campo gravitazionale: l energia potenziale, considerando P() =, vale dove g m s Elementi elastici concentrati P(r) = mg r P(ɛ) = Coenergia potenziale P (f) = Elementi elastici lineari: f = Kɛ ɛ f P(ɛ) = 2 ɛt Kɛ P (f) = 2 f T K f f(ɛ) dɛ = ɛ f P (f) ɛ(f) df = f ɛ P(ɛ)

5 Basilio Bona - Tavola delle Analogie elettromeccaniche 5 dove ɛ è l elongazione (lineare o angolare) dell elemento elastico rispetto alla posizione di riposo, f la forza/coppia applicata e K è la matrice delle costanti elastiche. Energia di dissipazione Energia dissipata D(ν) = Coenergia dissipata D (f) = ν f f(ν) dν = ν f D (ν) ν(f) df = f ν D(f) Elementi dissipativi lineari: f = Bν D(v) = 2 νt Bν D (f) = 2 f T B f dove ν è la differenza di velocità (lineare o angolare) tra gli elementi che producono la dissipazione. Forze generalizzate. Forze lineari: i = k f nc k r k ξ i 2. Momenti torcenti: i = k τ nc k θ k ξ i Funzioni cinematiche Il legame tra le grandezze cinematiche r, v, a, θ, ω, α, e le coordinate generalizzate ξ dipende dalle funzioni cinematiche, espresse genericamente come dove r = ψ l (ξ); v = J l (ξ) ξ; a = J l (ξ) ξ + J l (ξ, ξ) ξ; θ = ψ a (ξ); ω = J a (ξ) ξ; α = J a (ξ) ξ + J a (ξ, ξ) ξ; [J l ] ij = ψ l,i ξ j ; [J a ] ij = ψ a,i ξ j.

6 Basilio Bona - Tavola delle Analogie elettromeccaniche 6 2 Sistemi elettrici 2. Approccio in carica Le coordinate generalizzate sono le cariche ξ(t) = q(t) e le velocità generalizzate sono le correnti ξ(t) = i(t). Funzione lagrangiana L(q, q) = W m( q) W c (q) Coincide con la coenergia magnetica Wm( q) = Bipolo lineare Wm( q) = i i λ(i)di Li di = 2 it Li Coincide con la energia capacitiva W c (q) = Bipolo lineare W c (q) = q q e(q)dq C q dq = 2 qt C q Forze generalizzate δw nc = k k δq k = k E k (t)δq k 2.2 Approccio in flusso Le coordinate generalizzate sono i flussi concatenati ξ(t) = λ(t) e le velocità generalizzate sono le tensioni ξ(t) = e(t). Funzione lagrangiana L(λ, λ) = W c ( λ) W m (λ) Coincide con la coenergia capacitiva Wc ( λ) = Bipolo lineare Wc ( λ) = e e q(e)de Ce de = 2 et Ce Coincide con la energia magnetica W (λ) = Bipolo lineare W m (λ) = Forze generalizzate λ λ i(λ)dλ L λ dλ = 2 λt L λ δw nc = k k δq k = k I k (t)δq k

7 Basilio Bona - Tavola delle Analogie elettromeccaniche 7 ξ ξ s µ C C P P D F T x v f mv R θ ω τ Γ ω 2 µt Γ µ C q i e Li F λ e i Ce 2m µt c µ c 2 mvt c v c 2 ɛt l K l ɛ l 2 f T K l f 2 µt L µ 2 µt C µ 2 ωt Γ ω 2 it Li 2 et Ce 2 ɛt ak a ɛ a 2 τ T K a τ 2 qt C q 2 λt L λ 2 et Ce 2 it Li 2 νt B l ν f nc 2 ϖt B a ϖ τ nc 2 it Ri E 2 et R e I Tabella : Tabella delle Analogie elettro-meccaniche, nel caso di elementi lineari ideali e di moto non-relativistico (T = traslazione, R = rotazione, C = carica, F = flusso) dove elongazione lineare degli elementi elastici elongazione angolare degli elementi elastici differenza di velocità lineare tra elementi dissipativi differenza di velocità angolare tra elementi dissipativi ɛ l ɛ a ν ϖ Ricordiamo anche le relazioni seguenti (alcune valide solo per elementi lineari) φ = ξ µ = L ξ e = L q i = C λ λ = Li q = Ce f = ma τ = Γ α f = K l ɛ l τ = K a ɛ a La tabella si può scrivere in forma semplificata se si considerano elementi singoli ξ ξ s µ C C P P D F T x v mẍ mv R θ ω Γ θ Γ ω C q i L q Li F λ e C λ Ce 2m µ2 2 mv2 2 k lx 2 f 2 2k l 2 β lv 2 f 2 Γ ω2 2 Γ ω2 2 k aθ 2 τ 2 2k a 2 β θ a 2 τ 2 Li2 2 Li2 2C q2 2C q2 2 R q2 E 2 Ce2 2 Ce2 2L λ2 2L λ2 2R λ 2 I Tabella 2: Tabella delle Analogie elettro-meccaniche, nel caso di un singolo elemento lineare ideale e di moto non-relativistico (T = traslazione, R = rotazione, C = carica, F = flusso).