Modellistica e Simulazione

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1 Modellistica e Simulazione Lezione 4 aprile 2011 Università degli Studi del Sannio Facoltà di Ingegneria Luigi Iannelli

2 Relazioni di comune utilizzo nella modellistica fisica Principi di conservazione Moto traslatorio Moto rotatorio Circuiti elettrici Sistemi idraulici Interpretazione unificata

3 Principio di conservazione dell'energia L'energia totale contenuta in un sistema isolato non può essere né creata né distrutta Legge di conservazione della massa "Nulla si crea, nulla si distrugge, tutto si trasforma", Antoine-Laurent de Lavoisier. Legge di conservazione della quantità di moto Principi della dinamica di Newton. Legge di conservazione dell'energia meccanica. Legge di conservazione della carica elettrica Equazioni di Maxwell.

4 Moto traslatorio Relazioni tra le variabili Forza F (newton [F]=N=kg m s -2 ). Velocità v (metri al secondo, [v]=m s -1 ). t Posizione x(t) = v(s)ds (metri, m) Potenza P = F v (watt [P]=W=kg m 2 s -3 ) Energia E (joule [E]=J=kg m 2 s -2 ) Equazione di Newton (F=ma). Conservazione della quantità di moto. dp F = con p = mv dt 0

5 Componenti elementari Elementi di inerzia. Elementi elastici. Elementi di attrito. Elementi di trasformazione.

6 Inerzia F=ma F (t) =m dv(t) dt Energia cinetica E c = 1 2 mv2

7 Elemento elastico F=k(x1-x2-l0)=kx 1 2 F (t) =kx(t) =k Energia elastica t 0 E s = 1 2 kx2 = 1 2 k t x 2 v(s)ds 0 x 1 2 v(s)ds = 1 2k F 2

8 Elemento di attrito Attrito viscoso F=b(v 1 -v 2 )=bv F (t)= b v(t) Potenza dissipata Pd=Fv=b v 2 In generale v 2 v 1 F(t)=h(v(t)) h(v) =µ sgn(v) perv = 0 Attrito secco (o coulombiano) h(0) = F 0 Resistenza aerodinamica (air drag) h(v) =cv 2 sgn(v)

9 Elemento di trasformazione Leva meccanica F 1 F 2 v 2 b a v 1 P 1 = F 1 v 1 = P 2 = F 2 v 2 F 1 = v 2 F 2 = αf 2 v 1 v 1 = 1 α v 2 = a b v 2

10 Moto rotatorio Relazioni tra le variabili Coppia T (newton metro, [T]=N m). Velocità angolare ω (radianti al secondo, s -1 ). Posizione angolare θ = Potenza P=T ω ([P]=W) t ω(s)ds (radianti). Equazione della dinamica rotatoria T = J ω. Conservazione del momento angolare. dm T = con M = Jω dt 0

11 Inerzia rotativa T (t) =J dω(t) dt Energia cinetica E c = 1 2 Jω2

12 Elemento elastico rotatorio Molla torsionale T (t) =kθ(t) =k Energia elastica t 0 ω(s)ds E s = 1 2 kθ2 = 1 2 k t 0 2 ω(s)ds = 1 2k T 2

13 Elemento di attrito rotatorio Attrito viscoso T (t)= b ω(t) Potenza dissipata Pd=T ω =b ω 2

14 Elemento di trasformazione rotatorio P 1 = T 1 ω 1 = T 2 ω 2 = P 2 T 1 = ω 2 T 2 = αt 2 ω 1 ω 1 = 1 α ω 2 = r 2 ω 2 r 1

15 Circuiti elettrici analogici Relazioni tra le variabili Tensione V (volt [V]= J C -1 = kg m 2 s -3 A -1 ). Corrente I (ampere [I]=A). Carica elettrica Q(t) = Flusso magnetico Potenza P=V I [P]=W Equazioni costitutive. Equazioni di Kirchhoff. t Φ(t) = 0 t I(s)ds 0 (coulomb [A s]) V (s)ds (weber [Wb]=[Vs])

16 Componenti elettrici elementari Induttore. Capacitore. Resistore. Trasformatore.

17 Induttanza I V (t) =L di(t) dt Energia magnetica + - V E m = 1 2 LI2

18 Capacità V (t) = 1 C Q(t) = 1 C Energia elettrica E e = C Q2 = 1 2C + V - t 0 I(s)ds t 0 I I(s)ds 2 = 1 2 CV 2

19 Resistenza Resistore lineare I V (t)= R I(t) + - V Potenza dissipata Pd=VI=R I 2 Resistore non lineare V=h(I) Diodo (giunzione p-n). Diodo tunnel.

20 Trasformatore I 1 I 2 P 1 = V 1 I 1 = P 2 = V 2 I 2 V 1 = I 2 V 2 = αv 2 I 1 I 1 = 1 α I 2 = n 2 v 2 n 1

21 Sistemi idraulici Relazioni tra le variabili (fluidi incomprimibili) Pressione p (pascal [p]=pa=n m -2 ). Portata volumetrica (flusso) Q (metri cubi al secondo [Q]=m 3 s -1 ). t Volume V (t) = Q(s)ds (metri cubi [m 3 ]) 0 Potenza P = Fv =(p 1 p 2 )A Q (watt, W) A = p Q Energia E = pv

22 Induttanza idraulica p A p 1 2 Q l F tot = p 1 A p 2 A = ρa dv ρ p = dt A ρ induttanza idraulica A := L dq dt

23 Capacità idraulica A h t p = ρvg A = ρg Q(s)ds A A 0 capacità idraulica ρg := C p Q

24 Resistenza idraulica p p 1 2 Q p = R f Q (Legge di d'arcy per flussi laminari) In generale p = h(q) Potenza dissipata P d = pq

25 Trasformatore idraulico A 1 Q 1 Q p 2 2 p 1 A 2 p 1 Q 1 = p 2 Q 2 F Q 1 = F Q 2 Q 1 = A 1 Q 2 = 1 A 1 A 2 A 2 α Q 2 p 1 = Q 2 p 2 = αp 2 Q 1

26 Interpretazione flow-effort Tabellina unificatrice Meccanico traslatorio Meccanico rotatorio Elettrico Idraulico Meccanico traslatorio* Meccanico rotatorio* Effort e F T V Δp v ω Flow f v ω I Q F T Power P Fv Tω VI Δp Q Fv Tω E(s) =RF(s) E(s) = 1 sc F (s) E(s) =sl F (s) Smorzatore Molla Attrito viscoso Resistore Orifizio Smorzatore Molla torsionale Capacitore Serbatoio Inerter Inerzia Inerzia Induttore Condotta Molla Attrito viscoso Inerter rotatorio Molla torsionale

27 From M. Chen, C. Papageorgiou, F. Scheibe, F. Wang, and M. Smith, The missing mechanical circuit element, IEEE Circuits and Systems Magazine, vol. 9, no. 1, pp , 2009.

28 Riferimenti [1]! P. Fritzson, Principles of Object-Oriented Modeling and Simulation with Modelica 2.1, Wiley-IEEE Press, [2]! L. Ljung and T. Glad, Modeling of Dynamic Systems, Prentice-Hall, [3]! M. Chen, C. Papageorgiou, F. Scheibe, F. Wang, and M. Smith, The missing mechanical circuit element, IEEE Circuits and Systems Magazine, vol. 9, no. 1, pp , 2009.