Modellistica dinamica di sistemi fisici

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1 .. MODELLISTICA - Modellitica dinamica. Modellitica dinamica di itemi fiici Nella realtà fiica eitono vari ambiti energetici, per eempio: meccanico (tralazionale e rotazionale) elettrico-magnetico idraulico termico ( ) Pur eendo molto diveri fra loro, queti ambiti energetici hanno una truttura dinamica molto imile. Infatti, ogni ambito energetico è eenzialmente caratterizzato da: 2 elementi dinamici D e D 2 che accumulano energia; elemento tatico che diipa (o genera) energia; 2 variabili energia q (t) e q 2 (t) che caratterizzano completamente l energia accumulata nei due elementi dinamici; 2 variabili di potenza v (t) e (t) che permettono all energia di potari all interno del itema dinamico; Il prodotto p(t) =v (t) (t) ha il ignificato fiico di potenza itantanea che attravera la porta energetica caratterizzata dalle 2 variabili di potenza v (t) e (t). Gli elementi dinamici D e D 2 ono duali fra di loro: le loro equazioni dinamiche differicono olamente per una inverione dei pedici e 2 chelecaratterizzano.. MODELLISTICA

2 .. MODELLISTICA - Modellitica dinamica. 2 L elemento dinamico D è caratterizzato: ) dalla variabile interna q (t); 2) dalla variabile di ingreo (t); 3) dalla variabile di ucita v (t); 4) da una relazione cotitutiva Φ (v ) che lega la variabile interna q alla variabile di ucita v : (t) Φ (q ) q (t) q =Φ (v ) v =Φ (q ) v (t) 5) da un equazione differenziale che lega la variabile interna q alla variabile di ingreo : dq dt = dq = dt 6) da una funzione di energia E (q ) che è funzione della ola variabile interna q : E = t p(t) dt = t v dt = q Φ (q ) dq = E (q ) Per mettere in evidenza gli cambi di potenza con gli altri elementi fiici, peo verrà utilizzata una delle due eguenti rappreentazioni grafiche: a v 2 q Φ (q ) b v Φ (q ) q v v v a b In queto cao la potenza entrante è p e (t) =a v e la potenza ucente è p u (t) =b v.. MODELLISTICA

3 .. MODELLISTICA - Modellitica dinamica. 3 L elemento dinamico D 2 è caratterizzato: ) dalla variabile interna q 2 (t); 2) dalla variabile di ingreo v (t); 3) dalla variabile di ucita (t); 4) da una relazione cotitutiva Φ 2 ( ) che lega la variabile interna q 2 alla variabile di ucita : v (t) Φ 2 (q 2) q 2 (t) q 2 =Φ 2 ( ) =Φ 2 (q 2) (t) 5) da un equazione differenziale che lega la variabile interna q 2 alla variabile di ingreo v : dq 2 dt = v dq 2 = v dt 6) da una funzione di energia E 2 (q 2 ) che è funzione della ola variabile interna q 2 : E 2 = t p(t) dt = t v dt = q2 Φ 2 (q 2) dq 2 = E 2 (q 2 ) Per mettere in evidenza gli cambi di potenza con gli altri elementi fiici, peo verrà utilizzata una delle due eguenti rappreentazioni grafiche: v a v q 2 Φ 2 (q 2) v b Φ 2 (q 2) q 2 v a v v b In queto cao la potenza entrante è p e (t) =a v e la potenza ucente è p u (t) =b v.. MODELLISTICA

4 .. MODELLISTICA - Modellitica dinamica. 4 L elemento tatico è caratterizzato olamente da una relazione cotitutiva Φ che lega fra loro le variabili di potenza v e : v =Φ ( ) =Φ G (v ) Le funzioni Φ ( ) e Φ G ( ) ono una l invero dell altra: Φ G (v )=Φ (v ) Φ ( )=Φ G () ueto elemento può eere orientato in entrambi i modi: (t) (t) Φ ( ) Φ G (v ) v (t) v (t) Per mettere in evidenza gli cambi di potenza con gli altri elementi fiici, peo verrà utilizzata una delle due eguenti rappreentazioni grafiche: a b Φ ( ) Φ G (v ) v v v v a v b La potenza itantanea p(t) diipata (o generata) dall elemento tatico è data emplicemente dal prodotto delle due variabili di potenza: p(t) =v (t) (t) =Φ ( ) = v Φ (v ). MODELLISTICA

5 .. MODELLISTICA - Modellitica dinamica. 5 Ambito energetico: elettromagnetico D Simboli C Capacità el. Cotititutiva Cao Lineare Eq. Differenzile q carica =Φ C (V ) = CV v V tenione d dt = I D 2 L Induttanza q 2 φ fluo φ =Φ L (I) φ = LI I corrente dφ dt = V eitenza V =Φ (I) V = I Induttanza (φ = LI): Elementi dinamici lineari I L V V 2 d dt [LI]=V V 2 I V L I V 2 Capacità ( = CV): I I 2 C V I C I 2 d dt [CV]=I I 2 V. MODELLISTICA

6 .. MODELLISTICA - Modellitica dinamica. 6 Ambito energetico: meccanico tralazionale: D M Maa Simboli el. Cotititutiva Cao Lineare Eq. Differenzile q P quantità dimoto P =Φ M () P = M v velocità dp dt = F D 2 E Elaticità q 2 x potamento x =Φ E (F ) x = EF F forza dx dt = b Diipatore F =Φ b () F = b Ambito energetico: meccanico rotazionale: D J Inerzia Simboli el. Cotititutiva Cao Lineare Eq. Differenzile q P momento ang. P =Φ J (ω) P = Jω v ω velocità ang. dp dt = τ D 2 E Elaticità tor. q 2 θ potamento ang. θ =Φ E (τ) θ = Eτ τ coppia dθ dt = ω b Diipatore τ =Φ b (ω) τ = bω. MODELLISTICA

7 .. MODELLISTICA - Modellitica dinamica. 7 Ambito energetico: idraulico Simboli D C I Capacità idrau. el. Cotititutiva Cao Lineare Eq. Differenzile q V volume V =Φ C (P ) V = C I P v P preione dv dt = D 2 L I Induttanza idrau. q 2 φ I fluo idrau. φ I =Φ L () φ I = L I dφ I dt portata volumetrica = P eitenza idrau. P =Φ () P = I. MODELLISTICA

8 .. MODELLISTICA - Modellitica dinamica. 8 Sitema maa-morzatore. Eempi b x m F F b+m Infatti, dal modello dinamico i ricava: M d dt = F b da cui Ẋ() = M+ b F () F M Oppure applicando la formula di Maon i ha che: G() =Ẋ() F () = M + b M uindi i due eguenti chemi ono equivalenti: = b + M b b F F b+m M b. MODELLISTICA

9 .. MODELLISTICA - Modellitica dinamica. 9 Sitema molla-morzatore (parallelo): b 2 2 x 2 x K b + K Infatti, in queto cao, il modello dinamico è: = K(x x 2 )+b( 2 ) () = Sitema molla-morzatore (erie): ( ) K + b [Ẋ() Ẋ2()] b K 2 3 x 2 x 3 x b + K 2 Infatti, i due eguenti chemi ono equivalenti: 3 2 K b δ b b + K 2. MODELLISTICA

10 .. MODELLISTICA - Modellitica dinamica. Induttanza idraulica: Idraulica: elementi dinamici lineari L I P P 2 d dt [L I] =P P 2 Capacità idraulica: P L I P 2 C I P 2 d dt [C IP ]= 2 C I P 2 eitenza idraulica: I P P 2 P P 2 P P 2 = I I oppure = P P 2 I. MODELLISTICA