La sezione di una struttura alare puo essere considerata a connessione multipla (a) mentre il profilato a connessione semplice (b) o ad Omega (c)

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1 Ala a emigucio

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3 Torione Il problema della torione è di primaria importana nelle trutture aeronautiche. Bati penare all effetto dell angolo di incidena ulla ditribuione di portana. La eione di una truttura alare puo eere coniderata a conneione multipla (a) mentre il profilato a conneione emplice (b) o ad Omega (c)

4 Parete Sottile Se i conidera una una barra primatica indefinita econdo a e ottopota ad un momento torcente i ottengono degli fori dangeniali come quelli in figura. La ollecitaione parallela ai lati lunghi e intrecciata e viar fortemente lungo lungo lo peore (a) mentre. La ua variaione econdo I lati e molto più debole e comuqne i annulla in M e N La ollecitaione normale ai lati lunghi varia in maniera parabolica dovendo annullari ulle facce uperiore e inferiore e varia lentamente econdo I lati lunghi. Il momento torcente dovuto alla è uguale a quello della Purtroppo una eione di queto tipo ha una rigidea torionale molto modeta

5 Seione a parete ottile a conneione multipla (o chiua) In queto cao non eitono punti dove la parallela ai lati lunghi (linea media della eione) i annulla come avviene nelle eioni aperte. Dunque la non i inverte piu lungo lo peore e la ditribuione degli fori diventa più efficiente: quai cotante

6 La Trave Aeronautica (eioni chiue) Le trutture in campo aeropaiale vengono generalmente realiate in parete ottile cioè tali che : t << p << L ed irrigidite con centine, correnti, t L p Le centine e le ordinate hanno caratteritiche coì divere dal rivetimento e dai correnti da poterle coniderare: infinitamente rigide nel piano, per cui è poibile aumere che la forma della eione traverale non i modifica quando caricata; perfettamente fleibili fuori del piano, per cui la eione e non vincolata riulta libera di ditorceri (warping non impedito).

7 Con tali ipotei lo chema di calcolo di una trave in parete ottile i baa ulle formule emplici e pratiche. Tali formule devono però eere impiegate con accortea, verificando che le ipotei u cui i fondano iano ripettate. In queta analii di accertamento dell applicabilità della teoria, biogna tenere ben preente le eguenti peculiarità delle trutture in parete ottile: 1.Il principio di St Venant è applicabile con accortea: in particolare gli effetti di bordo ono molto più etei di quelli che i hanno in trutture piene; pertanto in proimità del vincolo occorre una analii più precia. 2.Gli fori di taglio non ono in genere tracurabili ripetto a quelli aiali, ma aumono valori elevati e ignificativi.

8 Torione 1. Seioni Aperte A A x B B 2. Seioni Chiue Uni-cellulari x M t 3. Seioni chiue Multi-cellulari. M t

9 1.Torione in Se. Aperte pt Gpt J = B = JG = dϕ M 3M 3M φ = = ϕ= dx B Gtp G L t p t t t 3 3 Poiché L/t 3 p >>1, le eioni ubicono forti rotaioni e quindi non adatte a reggere a momenti Prof. Renato torcenti. Barboni

10 2. Seioni Chiue Uni-cellulari x Lo tudio della torione di eioni anche cave ma di forte peore, alvo il cao di eione circolare, preenta difficoltà analoghe a quelle delle eioni piene. Se però lo peore è ottile i può ipotiare che lo foro di taglio τ ia cotante (lungo la eione e nello peore) e tangente alla linea media del profilo. Queto conente oluioni molto emplici e di facile impiego. Fluo di taglio q = τt τ x φ=φ 1 φ=

11 Torione nelle eioni chiue Momento (torcente) di q ull elemento d a ditana p(p) da P, riulta: B B (P) (P) (P) t = = A A M qp d 2 qda Riultante R di q ull elemento d B B d R = q d = q d = ql B B d R = q d = q d = ql A A d A Ad 2 2 R = q L + L = ql R β= tan = tan R 1 1 L L

12 1 Formula di Bredt Su tutto il contorno Momento (torcente) di q M t M ( P) t = 2 qda = 2Aq q = Riultante di q R = q d = R = q d = 2A Si noti come i poa calcolare il fluo di taglio attravero le ole condiioni di equilibrio del momento torcente (problema taticamente determinato). Nelle eioni piene queto non era poibile.

13 2 Formula di Bredt u v u dϕ x dx (P) γ=γ +γ x = + = + p =τ/g (P) (P) p u() u() p d u d d = τ ϕ = τ ϕ G dx G dx q dϕ (P) q dϕ u() u() = d p d = d 2 da Gt dx Gt dx Etendendo l integrale u tutto il contorno q dϕ dϕ 1 qd M d M = d 2A = = = Gt dx dx 2A Gt 4A Gt 4A t t l 2 2 (P) M t 2 4A = Bϕ B = = d Gt 4A l 2

14 Spotamento fuori del piano (Ingobbamento) q dϕ u() u() = d 2 da Gt dx Mt dϕ Mt q = ; = l 2 2A dx 4A (P) u() Mt 1 () d Mt = u da 2A l Gt 4A (P) u() = u + M t l 2A dl l da A (P)

15 Seione circolare + = (P) t A da d 2A M u u() l l l R A C R 2 A A 2 R d 2 R A ; R A R 2 Gt Gt d ; Gt R 2 Gt d (C) (C) 2 π = = = = π π = = = π = = l l l l u() u =

16 Eempio

17 Seione chiua Seione aperta

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19 Seioni Chiue Multi-celle M t Setti interni Si aumono le eguenti ipotei: M t i momenti torcenti ono dati da una ditribuione di fori di taglio uguale a quella che i ha u una generica eione. le eioni ono libere di ditorceri mantenendo inalterata la forma date le centine rigide nel loro piano e completamente fleibili fuori del loro piano. Equilibrio lungo x q q = q = q q = cotante AA BB B A AB q q q = q = q + q AA DD CC AB BD BC

20 Bi-cella Aumendo l origine dell acia in. muovendoi in direione antioraria, q 2 è cotante; giunti in 2 dove il etto verticale epara la cella 1 dalla 2, il fluo nel etto con il vero di figura riulta:. q 1,2 =q 1 q 2, Da cui i calcola q 1,2 note q 1,q 2 quindi il numero di incognite linearmente indipendente è due pari al numero delle celle. q 1 q 2 La ola equaione di equilibrio alla torione non è ufficiente a riolvere il problema (problema taticamente Prof. Renato indeterminato: Barboni biogna ricorrere alle condiioni di congruena degli potamenti angolari delle due celle.).

21 q 1 q 2 Torione Equilibrio = 1- equaione t [ A q A q ] M = Congruena=1- equaione ϕ 1 =ϕ 2 dϕ = dx 1 qd 2A Gt 1 1 q1 1 q2 1,2 q2 2 q1 1,2 2A l l = 1 2A l l 2 Sitema di due equaioni nelle due incognite q 1,q 2. Determinate q 1,q 2 i calcola la rotaione della eione.

22 3b. Seioni Chiue Multi-cellulari A 1 q 1 2 A 2 q 2 A n q n q n 1,n = q n 1 q n 1 Equilibrio = 1equaione Congruena=N-1 equaioni M = N 2 A q t n n n= 1 ϕ =ϕ =... ϕ =... ϕ 1 2 n N dϕn 1 = q q q dx 2A l l l n n n n 1 n 1,n n+ 1 n,n+ 1 Sitema di N equaioni nelle N incognite q 1,q 2,, q N. Determinate le q 1,q 2,, q N i calcola la rotaione della eione. Prof. Renato Barboni

23 Effetto dei etti ulla rigidea torionale 2 4A L n n B < 4 n A L 2 n n B h=,3a q 1 a B/B =1 B/B =1,6 B/B =1,16 h=,3a h=,3a h=,3a q 1 q 2 a 2a/3 q 1 q 2 a 3a/4 q 1 q 2 a

24 Effetto dei etti ulla rigidea torionale 2 4A L n n B < 4 n A L 2 n n B B/B =1,3 h=,3a h=,3a q 1 a a/3 q 1 q 2 a q 3 B/B =1,56 h=,3a 2a/4 q 1 q 2 q 3 a B/B =1,77 h=,3a 3a/5 q 1 q 2 q 3 a

25 Fleione (pura) σ Mˆ xx = + I Mˆ I t A=bt X G Piano di carico h h/ th bt h I = + 2* + bt = th bh t = (t ) b I = th 3 12 I = bt h 2 2

26 Taglio (+ fleione) a) Torione, dovuta al momento torcente M t di traporto dal reale punto di applicaione della fora T al centro di taglio della eione; le tenioni coneguenti ono gli fori τ M nel piano della eione. b) Fleione, dovuta al momento flettente proporionale all intenità della fora per la ditana di applicaione della tea dalla eione in eame; le tenioni coneguenti ono gli fori σ, normali al piano della eione. c) Taglio, dovuto alla fora T applicata nel centro di taglio della eione; le tenioni coneguenti ono gli fori τ T nel piano della eione.

27 Taglio (+ fleione): parete dritta Equilibrio in direione x qx σx = t x d qx () σx = t d x σ = x M I M x dq T = = d I x d I dq 1 t x t Per il principio di reciprocità, q x =q x : T Tt 2 2 q() = qx = q (td) = (4 h ) I 8I h/ 2 q x T Tt 2 2 = q (td) (4 h ) I = 8I h/ 2,6 /h,4,2 -,2 -,4 -,6,5,1,15 T I q th 2

28 Vero di q Verifica (equivalena o equilibrio) R T h/2 h/2 2 3 Tt 2 h T th = q()d = (2 )d = 4I 2 I 12 h/2 P = h /2 T La riultante ulla eione (faccia poitiva) del fluo di taglio è equivalente alla fora tagliante applicata ulla eione ed e uguale ed oppoto alla fora di taglio agente ulla eione avente faccia negativa.

29 Taglio (+ fleione): parete curva q σ = t x q() q xx Tˆ dq d Mˆ x σ = t x xx ˆ ˆ M = T ˆ ; = T x Tˆ (td) (td) = q + I I = Mˆ σ xx = + I q Mˆ I * ()

30 Verifica di equivalena Indicando con q e q le componenti del fluo econdo gli ai e i ha: B A B A B d q ()d = q() d T d A B d q ()d = q() d T d A

31 Taglio: eioni aperte T nel Centro di Taglio (C.T.) uppoto noto Ipotei necearia poiche le eioni aperta hanno cara rigidea torionale All etremo di una eione aperta il fluo di taglio = dunque e prendo l origine in = i ha la cotante q = ˆ q() q (td) (td) q () Tˆ T * = = + I I

32 Taglio e. chiue 1-cella: M. diretto q()=q +q*() 1)- taglio T η T ζ = q p d + 2Aq ζ H η * (P) H e calcolo q () = * 2)-il valore q deve eere tale da oddifare l equilibrio alla torione, ovvero * (H) 1 * ( H) qp d+ 2Aq Prof. Renato Barboni = q = qp d 2A ˆT I ˆT I cegliendo come polo il punto P i momenti eterni devono eere uguali a quelli interni: (td) (td) Soluione vera e T e applicata nel C.T della eione aperta che comunque e divero da H

33 Taglio e. chiue 1-cella: M. [C.T.] T applicato in H -per calcolo di q [CT] dovuto a T nel [C.T.] T nel [C.T.] + un momento torcente M t : come nel metodo diretto. 1) * T q () = (td) (td) I * [C.T] 2) qp d + 2Aq = ˆT I q [CT] * = q + q -per calcolo di q M dovuto a M t q M t = M t 2A q = q + (q + q ) = q + q * M t *

34 Taglio e. chiue Metodo diretto. a)-calcolo q* : ipotetico taglio in ogni cella dove origina l acia : b)-calcolo q,n : Multi-celle b1)-equilibrio dei momenti. Se il polo P è il punto di applicaione della T: b2)-congruena: (rot. relativa) A 1 Tˆ Tˆ q () = (td) (td) I N q 1 A 2 q 2 A n q n * n I Momento totale N * (P) n,n n q ()p d + 2 q A = n= 1 n n= 1 φ =φ =... φ =... =φ =φ 1 2 n N 1 N b1)+b2) N relaioni nelle N cotanti incognite q,n Metodo del [C.T.] (uppoto noto) T applicato in P T nel [C.T.] + un momento torcente M t : -per calcolo di q [CT] dovuto a T nel [C.T.] come opra a),b); -per calcolo di q M dovuto a M t : Prof. i rimanda Renato Barboni alla torione di multi-cella

35 Determinaione del C.T. In alcuni cai l individuaione del C.T. è alquanto emplice. -e la eione ha un ae di immetria, il C.T. giace u tale ae; -e gli ai di immetria ono due il C.T. è dato dalla loro intereione che coincide ovviamente con il baricentro. -per eioni di figura è l intereione delle pareti poiché ripetto ad ea è nullo il momento generato dal fluo di taglio. C.T. C.T. C.T.

36 Determinaione (C.T), (e aperte). Seione con ae di immetria Applico una fora ortogonale all ae di immetria e trovo il fluo. In generale queto ha una riulante = T e un momento torcente M Se vario il punto il momento varia M = M T= q()p d T () (G) (G) t t C.T. (in ambito elatico) non dipende dall intenità di T ma è una proprietà della eione. Prof. Renato Barboni f Se > eite una poiione dove f (G) q() p d T (C.T.) = M= (G) I T T q() = (td) Q I = I f T Q p d T = ( C.T. )

37 Eempio: ricerca del (C.T.) b Y 1 h G T G Z Y M = (Y1 + Y 2)h / 2 +η CTZ = η CT = = f(h,b) Y + Y h Z 2 T C.T. P η Prof. Renato CT Barboni

38 Determinaione (C.T), (e aperte). Seione ena ae di immetria T T = T ; T = q = Q () a) T 1 con le componenti di figura: ˆ ˆ 1 I M (P) q (P) T = M 1 1 (P) 1 = 1 1 q p d d T b) T 2 con le componenti di figura: T Tˆ T ; Tˆ q Q () = = 2 = I M (P) q (P) T = M 2 2 (P) 2 = 2 2 q p d d T Il (C.T.) è l intereione delle due linee

39 Determinaione [C.T.] 1-cella [e chiue]. Seione con ae di immetria Si applica una fora T ortogonale all ae di immetria: 1. i calcola q* ; 2. i calcola il fluo cotante q Φ tale che ia nulla la rotaione Φ. In queto modo il fluo q=q*+q Φ è quello corripondente alla T applicata nel [C.T.] la cui poiione è incognita. 3. i calcola la poiione del [C.T.] imponendo: f (P) T d[c.t.] q()p d = f 1 (P) d[c.t.] = q()p d T

40 Riepilogo Traione? SI

41 Fleione? SI Torione? NO

42 Taglio? SI e NO SI NO

43 Riepilogo Traione? SI

44 Fleione? SI Torione? SI

45 Taglio? SI

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49 Prof. Renato Barboni

50 Prof. Renato Barboni

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52 Effetto dei correnti + + = = = 1 j j j 1 j j j B (td) I Tˆ B (td) I Tˆ q q() j x j 1 j j j j j j ˆ ˆ P T T q q B B B x x I I + σ = = =

53 Idealiaione + + = = = 1 j j j 1 j j j B (td) I Tˆ B (td) I Tˆ q q() * 1 j j j 1 j j j q q B I Tˆ B I Tˆ q () q + = = = =

54 Idealiaione

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60 Equivalena pareti curve e dritte (e q=cot) (P) (P) (P) (P) 2qA 2qA 2A R d = 2qA quindi d = = = R ql L Un generico pannello curvo ACB può eere penato come un pannello dritto A*B* ul quale i trova il (C.T.) del tratto ACB. Ne conegue che l applicaione di una fora lungo la retta ditante d da P non induce rotaione della eione.

61 Seioni taticamente determinate Le formule ricavate nei vari cai di ollecitaione derivano dall avere empre oddifatto le equaioni di equilibrio delle fore e dei momenti. a) le fore di taglio ulle pareti di una eione devono oddifare le tre relaioni di equilibrio della tatica nel piano della eione: F = ; F = ; M = t che conentono di determinare flui incogniti cotanti qualora il numero di pareti è 3 (alvo che le riultanti dei flui delle tre pareti non riultino parallele o i incontrino in un punto); b) gli fori aiali ulle flange devono oddifare alle tre relaioni di equilibrio della tatica fuori del piano della eione: F = ; M = ; M = x che conentono di determinare gli fori incogniti qualora il numero di flange è 3

62 Seione con una parete e due flange Reite olo ad M, e T nel (C.T.) Tre incognite, un q ulla parete e due fore aiali ulle due aree concentrate: T F = ql + T q = L = + = F P x 1 P2 M P1 = = P2 M = PL 1 + M = L 2 2 d d R = q d = ; R = q d = ql d d (C.T.) 1 d 1 2qA 2qA 2A = = = R ql L () () ()

63 Seione con due pareti e due flange Reite olo ad M, M t e T. Oltre a P 1,P 2 analoghe al cao precedente, i hanno due incognite, q 1,q 2 ulle due pareti. Utiliando il concetto di pannello dritto : R1 = ql 1 ; R2 = ql 2 T d q1 = () F = T + R1 R2 = 2A () () M 1 t = Td + 2A q1 = d q = T L 2A 2 () L d 1 Ld 2A t + 1 = d = 2A t t 2A L t Lt () 1 [C.T.] [C.T.] 1 () () [C.T.]

64 Seione con due pareti e tre flange è in grado di opportare momenti flettenti agenti u qualiai piano ma non momenti torcenti. Quindi: T può avere direione qualiai; T deve eere applicato nel C.T. perché la eione aperta non è in grado di reitere a torione.