Stato limite di ampiezza delle fessure

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI MESSINA DIPARTIMENTO di INGEGNERIA CIVILE Stato limite di ampiezza delle feure A. Recupero

2 La formazione di feure Poizione del problema La feurazione nel Cemento Armato ormazione e natura delle feure Determinazione della ditanza tra le feure Calcolo ampiezza delle feure Lo tato limite di feurazione (D.M , D.M. 14/01/08, EC2) Stato limite di decompreione Stato limite di formazione delle leioni Stato limite di apertura delle leioni

3 La verifica allo SLU di elementi in cemento armato ci mette a riparo da eventi che preuppongono perdita della funzione portante della truttura. Ciò naturalmente non garantice affatto che condizioni meno gravoe come quelle che ono richiete in fae di eercizio (deformazioni ecceive, feurazione ecceiva etc..) iano automaticamente oddifatte. Si tenga ad eempio conto della emplificazione che i ha nel calcolo delle reitenze maime, la quale preuppone la truttura già ampiamente feurata. Tale ituazione è per nulla compatibile con le condizioni richiete in eercizio per le quali le feure devono eere invece accuratamente limitate. L importanza della limitazione delle feure è uno degli apetti centrali del comportamento in eercizio di trutture in cemento armato, in quanto feurazioni ecceive poono compromette in maniera irreveribile non olo l etetica degli elementi trutturali, ma a lungo termine, anche la ua funzione tatica. In tali condizioni la corroione delle armature potrebbe ridurre fortemente l area reitente delle tee diminuendo coì la reitenza dell intero elemento.

4 Tipi di feurazioni

5 Tipi di feurazioni

6 Il meccanimo della feurazione Suitono quattro fai della feurazione: 1. Aderenza chimica acciaio calcetruzzo; 2. Attrito barra - calcetruzzo con formazione di feure traverali; 3. Interazione meccanica acciaio calcetruzzo; 4. ormazione di feure longitudinali (plitting);

7 Meccanimo di formazione delle feure La teoria della fleione nel c.a. ai fini ecluivi della valutazione della reitenza è tata formulata ecludendo a priori qualiai contributo alla trazione da parte del calcetruzzo (II e III tadio) che tra l altro aume valori modeti. Nella realtà la reitenza a trazione del cl aume un ruolo fondamentale nella tramiione delle forze tra armatura tea a calcetruzzo eendo l unico mezzo che permette il paaggio delle tenioni tee (viluppo tenioni di aderenza). La formazione delle leioni da fleione dipende ovviamente da tale reitenza. Una loro valutazione quantitativa è operazione complea in quanto coinvolge fenomeni complei, difficili da rappreentare con modelli affidabili. Utilizzando il emplice chema di tirante in calcetruzzo armato i può però formulare una teoria in grado di determinare quantitativamente la ditanza tra le feure e la loro ampiezza.

8 ormazione delle feure Stati tenionali (Stadio I) Se i crivono le equazioni di equilibrio e di congruenza, adottando i legami cotitutivi elatici lineari per il calcetruzzo e per l acciaio dopo aver fiato il rapporto tra i moduli elatici n = E/Ec i può porre: ( ) = Aσ + Aσ = A + na σ c c c c e ricordando l epreione della percentuale geometrica delle armature: σ c n n = = ; σ = = ( A + na ) A ( 1+ nρ ) ( A + na ) A ( 1+ nρ ) c c c c A c A

9 ormazione delle feure Ditanza tra le feure Si conideri un tirante di calcetruzzo armato con ezione A c e armatura A ottopoto a Trazione. Tutte le ezioni riultano quindi ottopote a trazione uniforme. All aumentare della trazione nella ezioni più debole, e olo in quella, i upererà la reitenza a trazione con la coneguente formazione di una feura. Nel calcetruzzo la tenione i annulla in corripondenza della feura aumentando man mano che ci i allontana da ea. zona di aderenza τ b σ c A c σ A

10 ormazione delle feure Ditanza tra le feure Si conideri un tirante di calcetruzzo armato con ezione A c e armatura A ottopoto a Trazione. Tutte le ezioni riultano quindi ottopote a trazione uniforme. All aumentare della trazione nella ezioni più debole, e olo in quella, i upererà la reitenza a trazione con la coneguente formazione di una feura. Nel calcetruzzo la tenione i annulla in corripondenza della feura aumentando man mano che ci i allontana da ea. σ = = A A ρ c σ = 0 c σ c A c σ σ A

11 ormazione delle feure Ditanza tra le feure Ma quanto è l ampiezza della zona di aderenza? Per timare tale ampiezza bata crivere due equazioni di equilibrio: Per ogni barra di armatura i può crivere: σ τ b σ +dσ 2 π φ 4 dσ 4 dσ = π φ τb( x) dx = τb( x) dx φ dx L ipotei di Brice di cotanza delle tenioni di aderenza lungo la zona di aderenza permette un emplice calcolo dell integrale: min = 4 4 φ b( x) dx bmin min φ % φ = 4 % τ 0 b ( ) σ σ τ τ σ σ

12 ormazione delle feure Ditanza tra le feure L ipotei di Brice pur eendo emplice mantiene tutta la ua validità oprattutto in coniderazione del fatto che ogni ipotei più complicata non arricchirebbe il modello. Infatti non arebbe agevole il confronto perimentale. Scrivendo l equilibrio del concio di tirante i ottiene: ( ) σ A = A f + A σ σ σ = f ρ ct c ct σ f ct σ che otituita nella precedente: σ min σ ( ) fct min = φ σ σ = 0.25 φ = 0.25 K φ 4 % τ % τ ρ ρ b b

13 ormazione delle feure Ditanza tra le feure Quando la tenione crece di nuovo a livelli uperiori alla reitenza a trazione del calcetruzzo c è la formazione di una nuova leione ea i potrà formare olo fuori dalla zona di aderenza. 1 feura 2 feura Zona terminale Zona terminale

14 ormazione delle feure Ditanza tra le feure Quando la tenione crece di nuovo a livelli uperiori alla reitenza a trazione del calcetruzzo c è la formazione di una nuova leione ea i potrà formare olo fuori dalla zona di aderenza. 1 feura 2 feura 3 feura Zona terminale Zona terminale

15 ormazione delle feure Ditanza tra le feure Quando la tenione crece di nuovo a livelli uperiori alla reitenza a trazione del calcetruzzo c è la formazione di una nuova leione ea i potrà formare olo fuori dalla zona di aderenza. 1 feura 2 feura 3 feura 4 feura Zona terminale Zona terminale

16 ormazione delle feure Ditanza tra le feure Quando la tenione crece di nuovo a livelli uperiori alla reitenza a trazione del calcetruzzo c è la formazione di una nuova leione ea i potrà formare olo fuori dalla zona di aderenza. 1 feura 2 feura 3 feura 4 feura Zona terminale 5 feura Zona terminale

17 ormazione delle feure Ditanza tra le feure Quando la tenione crece di nuovo a livelli uperiori alla reitenza a trazione del calcetruzzo c è la formazione di una nuova leione ea i potrà formare olo fuori dalla zona di aderenza. 1 feura 2 feura 3 feura 4 feura Zona terminale 5 feura 6 feura Zona terminale

18 ormazione delle feure Ditanza tra le feure Quando la tenione crece di nuovo a livelli uperiori alla reitenza a trazione del calcetruzzo c è la formazione di una nuova leione ea i potrà formare olo fuori dalla zona di aderenza. 1 feura 2 feura 3 feura 4 feura Zona terminale 5 feura 7 feura 6 feura Zona terminale

19 ormazione delle feure Ditanza tra le feure Una volta che tutte le feure i aranno formate un ulteriore incremento di carico produce olo un allargamento delle leioni.

20 ormazione delle feure Ditanza tra le feure Una volta che tutte le feure i aranno formate un ulteriore incremento di carico produce olo un allargamento delle leioni.

21 ormazione delle feure Ditanza tra le feure Una volta che tutte le feure i aranno formate un ulteriore incremento di carico produce olo un allargamento delle leioni. rm La ditanza media tra le feure è icuramente: < 2 min rm min

22 Apertura tra le feure Una volta formata una leione la ua apertura w è evidentemente legata alla differente elongazione tra acciaio e calcetruzzo. Dunque appare logico determinare w come differenza tra allungamento dell acciaio e allungamento del calcetruzzo. L apertura media tra le feure èquindi data da: Prima w = ( + ) ( + ) = med rm rm c = c

23 Apertura tra le feure Una volta formata una leione la ua apertura w è evidentemente legata alla differente elongazione tra acciaio e calcetruzzo. Dunque appare logico determinare w come differenza tra allungamento dell acciaio e allungamento del calcetruzzo. L apertura media tra le feure èquindi data da: wmed = ( rm + ) ( rm + c ) = = c Prima Dopo rm + c rm +

24 Apertura tra le feure Poiché iamo in condizioni di ervizio l acciaio ed il calcetruzzo poono eere coniderati a comportamento elatico e quindi: rm rm 2 2 σ ( x) σ + σ = 2 ε ( x) dx = 2 dx = 2 E 2 E rm rm 2 2 c 0 0 rm σ ( x) σ c = 2 ε ( x) dx= 2 dx= 2 E 2 E 2 c c rm c c E ricordando che dalle precedenti i può crivere σ = σ f ρ ct

25 Apertura tra le feure Le precedenti i poono emplificare Che fornicono rm f ct σ f ct = 2σ = rm E ρ E σ ρ fct c = rm 2E c σ fct E f ct wmed = c = rm = E σ ρ 2σ Ec σ 1+ nρ σ 1+ nρ = rm fct = rm fct Ac E σ ρ E σ A

26 Apertura tra le feure Se i ricorda che: k ( 1 ρ ) N = f A + n N cr ct c = A σ L epreione intetica della apertura media della feura diventa: N k N cr w = = ε A E Nk med rm rm m Il termine tra parentei della precedente rappreenta l effetto irrigidente del calcetruzzo teo e prende il nome di tenion-tiffening. In particolare quello qui formulato è definito lineare.

27 Apertura tra le feure Il tenion tiffening cotante non è uffragato dalla perimentazione in maniera adeguata e queto perché il modello propoto non tiene conto del danneggiamento progreivo dell aderenza all aumentare del tiro nella barra, nella pratica i preferice il più compleo modello di t.. iperbolico che riece a cogliere in maniera adeguata il fenomeno del degrado. 2 σ N cr med = rm εm = rm 1 β1 β2 E Nk w

28 eurazione in fleione Analizzando il cao della trave i poono crivere analoghe equazioni a quelle critte nel cao del emplice tirante, infatti è ufficiente imporre l equilibrio al tratto compreo tra due figure contigue. M M rm 2 σ M cr med = rm εm = rm 1 β1 β2 E Mk w

29 Ing. A Recupero Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLE per ampiezza delle feure

30 Ing. A Recupero Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLE per ampiezza delle feure

31 Ing. A Recupero Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLE per ampiezza delle feure

32 Eempio Preliminarmente occorre calcolare il momento flettente di prima feurazione. b H A = 2Φ16 n = 15, n = 0.5 c = 3 cm d = 47 cm b = 30 cm H = 50 cm Calcetruzzo C20/25 Acciaio B450C A = 4Φ16 A = 4.02 cmq A = 8.04 cmq

33 Eempio b In fleione per calcolare l ae neutro occorre annullare il momento tatico omogeneizzando i diveri materiali: x c b 2 ( ) ( ) 2 2 xc n( H xc) + na xc c na d xc = 0 Dalla precedente è poibile calcolare l incognita x c : x c 2 ( + + )( ) 2 ( ) na A H bn 2 b c A d A nh b/2n 1 n = + + b( 1 n ) n A + A + Hbn / n ( + ) Noto x c è poibile timare il momento d inerzia della ezione omogeneizzata: b Iomg = xc + n( H xc ) + n A ( xc c) + A ( d xc ) 3

34 Eempio b In fleione per calcolare l ae neutro occorre annullare il momento tatico omogeneizzando i diveri materiali: x c b 2 ( ) ( ) 2 2 xc n( H xc) + na xc c na d xc = 0 Dalla precedente è poibile calcolare l incognita x c : x c 2 ( + + )( ) 2 ( ) na A H bn 2 b c A d A nh b/2n 1 n = + + b( 1 n ) n A + A + Hbn / n ( + ) Con la formula monomia i calcola il momento di prima feurazione: M cr σ I t omg = n H x ( ) c dove con la norma attuale σ = t f ctm 1.2

35 Calcolo del momento di prima feurazione H := 500 b := 300 c := 30 d := H c d = 470 igt := 2 n := 15 n1 :=.5 A1 := 402 A := 804 xc := n ( A1 + A ) + H b b ( 1 n1) n n1 b H 2 2 b c A1 + d A + ( 1 n1) 2 n n A1 + A + H b n n1 2 xc = b Iomg := xc 3 + n1 ( H xc) 3 + n A ( d xc) 2 + A1 ( xc c) 2 Iomg = igt Iomg Mcr := Mcr = n1 ( H xc)

36 Calcolo della deformazione media delle armature tee β1:= 1 β2:= 1 Mk := E := n ( A1 + A) 2 b ( c A1 + d A) xc := xc = 146 b n ( A1 + A) 2 b Ipar := 3 xc3 + n A ( d xc) 2 + A1 ( xc c) 2 Ipar = σ n Mk σ := ( d xc) σ = 205 ε := Ipar E εm := ε 1 β1 β2 Mcr Mk 2 ε = εm =

37 Calcolo della paziatura media e delle ampiezze delle leioni φ := 16 := 50 φ ( H xc) heff := min 2.5 c +, heff = 95 ρ 2 3 A := ρ = b heff φ rm1 := rm1 = ρ φ rm2 := 2 c rm2 = ρ wk := 1.7 rm1 εm wk = 0.16