LO STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DELLA BASILICATA Coro di FONDAMENTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI LO STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI Docente: Collaboratori: Pro. Ing. Angelo MASI Ing. Giueppe SANTARSIERO Ing. Vincenzo MANFREDI

2 S.L.U.: SFORZO NORMALE E FLESSIONE IPOTESI DI CALCOLO conervazione delle ezioni piane; peretta aderenza acciaio-calcetruzzo; reitenza a trazione del calcetruzzo nulla; rottura del cl è determinata dal raggiungimento della ua capacità deormativa ultima a compreione; tenioni del cl e dell armatura ono valutate attravero i diagrammi tenioni-deormazione (σ-)

3 IL COMPORTAMENTO MECCANICO DEL CLS I riultati di una prova di compreione ono generalmente retituiti otto orma di diagramma tenioni-deormazioni (σ-). σ = P/A (P carico; A area del provino) = ΔL/L (ΔL accorciamento e L lunghezza originaria del provino) L ΔL

4 DIAGRAMMI DI CALCOLO TENSIONI DEFORMAZIONI DEL CLS σ σ 0.20% 0.35% (a) 0.07% 0.35% (c) σ a) parabola-rettangolo; b) triangolo-rettangolo; c) rettangolo (tre block) 0.175% 0.35% (b)

5 L ACCIAIO DA C.A. Sottoponendo una barre di acciaio a prova di trazione i ottengono diveri tipi di diagrammi (σ-). T T L La norma italiana NTC08 prevede due tipi di acciaio per c.a. indicati con le igle B450A e B450C con i eguenti valori nominali delle proprietà meccaniche: y,nom = 450 MPa t,nom = 540 MPa uk = 7.5%

6 DIAGRAMMI DI CALCOLO TENSIONI DEFORMAZIONE DELL ACCIAIO σ K σ arctg E (a) arctg E ud uk ud = 0.9 uk uk = (Agt)k 7.5% K = yk/ (1.35 > K 1.15) (valori per acciaio B450C, NTC-08) a) bi-lineare con incrudimento; b) elatico-perettamente platico indeinito (b)

7 RESISTENZE DI CALCOLO Le reitenze di calcolo i valutano mediante l epreione: d = γ k m dove k è la reitenza caratteritica, γm il coeiciente parziale del materiale. La normativa NTC-08 precrive per elementi in c.a.: γ m calcetruzzo γ C 1.5 acciaio per cl γ S 1.15

8 PARAMETRI DI RESISTENZA DEL CALCESTRUZZO Reitenza di calcolo a compreione R 0 ck = ck. 83 = α cc γ c ck è la reitenza caratteritica cilindrica α cc = 0.85 è il coeiciente per carichi di lunga durata Altri parametri meccanici 2 / 3 Reitenza media a trazione: = 0.3 ctm ck Modulo elatico: E 0.3 cm = [cm /10] dove: = 8 [in N/mm 2 ] cm ck + Modulo di Poion: ν = 0.2 [per cl eurato i può porre ν = 0]

9 PARAMETRI DI RESISTENZA DELL ACCIAIO Reitenza a trazione/compreione yk = γ yk è la reitenza caratteritica di nervamento σ arctg E Altri parametri meccanici Modulo elatico: E = N/mm 2 (b) Deormazione al limite elatico: = E Ad e. per un acciaio B450C i ha: yk 450 = = = N/mm γ = = = E 0.186%

10 S.L.U.: SFORZO NORMALE E FLESSIONE Equazioni di congruenza Equazioni cotitutive c h 0.35% = = < σ = E oppure < σ = E A Diagramma delle deormazioni 0.35% Diagramma delle tenioni c Ae neutro H h NEd σ MEd c A b σ

11 S.L.U.: SFORZO NORMALE E FLESSIONE Riultante di compreione c A C Riultante di compreione ) Riultante di trazione ) = b ψ F = F A = A σ σ Ae neutro Diagramma delle tenioni dove: Schema delle riultanti C F teo) σ ( y) dy ψ = 0 H h NEd σ MEd c A b σ F teo)

12 c S.L.U.: SFORZO NORMALE E FLESSIONE EQUAZIONI DI EQUILIBRIO N Ed = b ψ A A σ + A σ Equilibrio alla tralazione lungo l ae della trave M Ed = b ψ Ae neutro dove: ( ) ( H 2 λ + A σ H 2 c ) + A σ ( H 2 c) λ = 1 C F teo) 0 σ(y)( y)dy 0 σ(y)dy Equilibrio alla rotazione ripetto all ae paante per il baricentro geometrico G λ H h G NEd σ MEd c A b σ F teo)

13 S.L.U.: SFORZO NORMALE E FLESSIONE σ σ Regioni di rottura (individuate dalla deormata della ezione) 0.20% 0.35% Cl: σ- tipo (a) arctg E Acciaio: σ- tipo (b) A 0 DIAGRAMMA DELLE DEFORMAZIONI X % 0.2% POLO di ROTAZIONE c 1 X=0 2 H d 3 c 5 A b 4

14 REGIONE DI ROTTURA 0 Poizione ae neutro - < < 0, trazione emplice o compota Equazioni di equilibrio N M Rd rd = A + A H H = A c A c 2 2 A NOTA: L acciaio teo e compreo è empre nervato c F teo) H h G c A b F teo)

15 REGIONE DI ROTTURA 1 Poizione ae neutro: 0 =< < c, leione emplice o compota Equazioni di congruenza Equazioni cotitutive 0.35% = c = h < σ = E c A 0.35% C F teo) H h G c A b F teo)

16 Equazioni di equilibrio N M Rd rd = b 0.81 = + b 0.81 REGIONE DI ROTTURA 1 Poizione ae neutro: 0 =< < c, leione emplice o compota + A σ + A ( H ) A σ ( H 2 c ) + A ( H 2 c) c A 0.35% C F teo) H h G c A b F teo)

17 REGIONE DI ROTTURA 2 Poizione ae neutro c =< < lim, leione emplice o compota Equazioni di congruenza.35% c 0 = = h Equazioni cotitutive < σ = E H h c G A 0.35% lim C F compreo) c A b F teo)

18 N Equazioni di equilibrio M Rd rd = b 0.81 = b 0.81 REGIONE DI ROTTURA 2 Poizione ae neutro c =< < lim, leione emplice o compota A σ + A ( H ) + A σ ( H 2 c ) + A ( H 2 c) H h c G A 0.35% lim C F compreo) c A b F teo)

19 REGIONE DI ROTTURA 2 Xlim è la poizione aunta dall ae neutro caratterizzata dal valore della deormazione dell acciaio teo pari a quello di nervamento. Per acciai B450C lim vale ( = 0.186%): lim 0.35% = h lim lim = 0.35% h 0.35% h H h c G A 0.35% lim C F compreo) c A b F teo)

20 REGIONE DI ROTTURA 3 Poizione ae neutro lim =< < h, leione emplice o compota Equazioni di congruenza Equazioni cotitutive.35% = = c h 0 < σ = E < σ = E c A 0.35% F compreo) H h G C c A b σ F teo)

21 N M Equazioni di equilibrio Rd rd = b 0.81 = b 0.81 REGIONE DI ROTTURA 3 Poizione ae neutro lim =< < h, leione emplice o compota A σ + A σ ( H ) + A σ ( H 2 c ) + A σ ( H 2 c) c A 0.35% F compreo) H h G C c A b σ F teo)

22 REGIONE DI ROTTURA 4 Poizione ae neutro h =< < H, leione emplice o compota Equazioni di congruenza Equazioni cotitutive.35% = = c h 0 < σ = E c A 0.35% F compreo) H h G C c A b F compreo)

23 Poizione ae neutro h =< < H, leione emplice o compota Equazioni di equilibrio N M Rd rd = b 0.81 = b 0.81 REGIONE DI ROTTURA 4 A A σ ( H ) + A ( H 2 c ) A σ ( H 2 c) c A 0.35% F compreo) 0.41 H h G C c A b F compreo)

24 REGIONE DI ROTTURA 5 Poizione ae neutro H =< <, compreione emplice o compota Equazioni di congruenza Equazioni cotitutive.20% 3/ 7H = = c h 0 < σ = E A c c 3/7 H 0.2% F compreo) λ H H h G C c A b F compreo)

25 Poizione ae neutro H =< <, compreione emplice o compota Equazioni di equilibrio N = b ψ A A σ M Rd rd = b ψ H REGIONE DI ROTTURA 5 ( λ H H / 2) + A ( H 2 c ) A σ ( H 2 c) A c c 3/7 H 0.2% F compreo) λ H H h G C c A b F compreo)

26 REGIONE DI ROTTURA 5 Tabella dei parametri ψ e λ per la regione 5 al variare del rapporto ξ = /h

27 S.L.U.: SFORZO NORMALE E FLESSIONE La veriica di reitenza (SLU) i ritiene oddiatta e riulta: dove: M Rd = M Rd (N Ed ) M Ed - M Rd è il valore di calcolo del momento reitente corripondente a N Ed - N Ed è il valore di calcolo della componente aiale (orzo normale) dell azione; - M Ed è il valore di calcolo della componente lettente dell azione. Al ine di determinare il momento reitente Mrd è neceario valutare la poizione dell ae neutro ()

28 S.L.U.: SFORZO NORMALE E FLESSIONE La procedura per la valutazione della poizione dell ae neutro i può intetizzare in 5 pai: 1) i ipotizza la regione di rottura e una poizione di tentativo dell ae neutro; 2) i valuta la tenione dell acciaio teo/compreo (nervato o in ae elatica) e il coeiciente ψ 3) i impone l equilibrio alla tralazione e i determina la poizione dell ae neutro 4) i itera le ai (2)-(3) con il valore di determinato in (3) ino a ridurre lo carto relativo tra due iterazioni 5) nota la poizione dell ae neutro (e di λ) i calcola il valore del momento reitente imponendo l equilibrio alla rotazione NOTA: per le regioni 1 4, il valore di è univocamente determinato dalla (3) ipotizzando la ola condizione ulla tenione dell acciaio teo/compreo (ψ è cotante)

29 S.L.U.: SFORZO NORMALE E FLESSIONE Dalle NTC 2008: Analii della ezione Nel cao di pilatri oggetti a compreione aiale, i deve comunque aumere una componente lettente dello orzo M Ed = e N Ed con eccentricità e pari almeno a 0,05h 20mm (con h altezza della ezione). Dalla Circolare alle NTC 2008 C Analii della ezione Con rierimento alla veriica di reitenza dei pilatri in c.a. oggetti a ola compreione aiale, la precrizione circa l eccentricità minima dell azione aiale da tenere in conto può eere implicitamente oddiatta valutando NRd con la ormula: N Rd = 0,8 A c + A,tot con A c area del calcetruzzo e A,tot area totale d armatura.

30 VERIFICHE AGLI STATI LIMITE ULTIMI H=500mm Eempio: ezione emplicemente inlea ipotei 1: regione di rottura 2 ipotei 2: acciaio compreo nervato h > σ = A =4.02cmq c Dati: N=0 ck=20n/mmq,yk=450n/mmq diagramma σ- acciaio (b) 0.35% lim C F compreo) 0.41 c A=10.05cmq b=300mm dy F teo)

31 VERIFICHE AGLI STATI LIMITE ULTIMI Eempio: ezione emplicemente inlea equilibrio alla tralazione b ψ A A + = poizione dell ae neutro = ( A A ψ b ) 0 ( ) 391 = = 86mm veriica delle ipotei: 86mm = < 329mm veriicato lim = Calcolo Momento reitente Eettuando l equilibrio ripetto al baricentro geometrico G della ezione i ottiene: M Rd = b ψ ( H 2 λ) + A ( H 2 c ) + A Aumendo ψ = 0.81 e λ = 0.41 i calcola: MRd =171. 6kNm ( H 2 c) = cu c (1 ) = > = E veriicato

32 VERIFICHE AGLI STATI LIMITE ULTIMI: DOMINI M-N Eempio di dominio M-N M [kgm] N [kg]

33 Domini M N allo Stato Limite Ultimo La rontiera del dominio di reitenza M-N è cotituita dal luogo dei punti del piano N-M corripondenti alle coppie di coordinate M (momento lettente) ed N (orzo normale) che determinano la crii della ezione Si cotruice il dominio di reitenza M-N della ezione utilizzando le equazioni di congruenza, di equilibrio alla tralazione e di equilibrio alla rotazione. Si conidera la coppia M Sd ed N Sd (momento lettente e orzo normale) che ollecita la ezione. Si riporta ul diagramma il punto di coordinate (N Sd, M Sd ) Si preentano due poibilità: (N Sd, M Sd ) punto INTERNO al dominio SEZIONE VERIFICATA (N Sd, M Sd ) punto ESTERNO al dominio SEZIONE NON VERIFICATA

34 Domini M N allo Stato Limite Ultimo (N Sd, M Sd ) punto ESTERNO al dominio SEZIONE NON VERIFICATA (N Sd, M Sd ) punto INTERNO al dominio SEZIONE VERIFICATA

35 Cotruzione del dominio M N allo Stato Limite Ultimo M N Regione di rottura 0 a.n. - < 0 Lo orzo normale di trazione e del momento reitente nel dominio M-N è un punto il cui valore i ricava dalle due equazioni di equilibrio NOTA: Mrd = 0 per ezioni con armatura immetrica N M Rd rd = + A + A H H = A c A c 2 2

36 Cotruzione del dominio M N allo Stato Limite Ultimo N Regione di rottura 1 a.n. 0 < c Equazioni di congruenza 0.35% = = c h Equazioni cotitutive < σ = E Equazioni di B equilibrio N M Rd H d rd = b 0.81 = b A cu σ S C + A S ( ) ( H A σ H 2 c ) A ( H 2 c)

37 Cotruzione del dominio M N allo Stato Limite Ultimo N Regione di rottura 2 a.n. c < lim Equazioni di congruenza 0.35% = = c h Equazioni cotitutive < σ = E Equazioni di B equilibrio N M Rd H rdd = b 0.81 = b 0.81 A cu σ S C + A S ( ) ( H A σ H 2 c ) + A ( H 2 c)

38 Cotruzione del dominio M N allo Stato Limite Ultimo M Equazioni di B equilibrio N M Rd H d rd = b 0.81 = b 0.81 A cu σ + S A N C σ Regione di rottura 3 Equazioni di congruenza 0.35% = = c h ( ) ( H A σ H 2 c ) + A σ ( H 2 c) a.n. lim < h Equazioni cotitutive < < σ σ = = E E

39 Cotruzione del dominio M N allo Stato Limite Ultimo M N Regione di rottura 4 a.n. h < H Equazioni di congruenza 0.35% = = c h Equazioni cotitutive < σ = E Equazioni di B equilibrio N M Rd H d rd = b 0.81 = b 0.81 H 2%o A S A σ C ( ) ( H ) S A H 2 c A ( H 2 c) =+ σ

40 Cotruzione del dominio M N allo Stato Limite Ultimo M N Regione di rottura 5 a.n. H < Equazioni di congruenza 0.20% = = 3 7 H c h < σ = E Equazioni di B equilibrio N M Rd H rdd = b ψ = b ψ H =+ 2%o A S S A C σ ( ) ( λ H H 2 + A H 2 c ) A σ ( H 2 c)

41 Utilizzo dei domini M N per progetto-veriica Le dimenioni della ezione ono note. Si tabilice a priori il rapporto tra A ed A ; Si cotruicono i domini M-N per divere quantità di armatura. Si riporta ul diagramma il punto di coordinate (N Sd, M Sd ) Si determina la quantità di armatura necearia M A = A = 2 φ 18 cm 2 A = A = 2 φ 16 cm 2 A = A = 2 φ 14 cm 2 A = A = 2 φ 12 cm 2 A = A = 2 φ 10 cm N

42 Illutrazione del programma VCA SLU per il Calcolo dei domini di rottura (Geli)