Rinforzo a flessione Esempi numerici

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1 Rinorzo a lessione Esempi numerici 1

2 Rinorzo a lessione Il rinorzo a lessione è necessario per elementi strutturali soggetti a momento lettente di calcolo maggiore della corrispondente resistenza Il rinorzo a lessione mediante materiali compositi èeseguitomedianteapplicazionediunoo più lamine ovvero uno o più strati di tessuto al lembo teso dell elemento da rinorzare 2

3 Rinorzo a lessione: Calcolo del Momento Resistente La rottura a lessione si ha per: Raggiungimento della massima deormazione plastica nel calcestruzzo compresso, ε cu raggiungimento di una deormazione massima nel rinorzo in FRP, ε d, calcolata come: ε u εd = min ηa, ε,max γ η a : attore di conversione ambientale (per varie condizioni di esposizione e vari sistemi in FRP) ε u : deormazione ultima del rinorzo γ : coeicienti parziali per materiali e prodotti ε,max : deormazione massima per delaminazione 3

4 Rinorzo a lessione: Deormazione massima nel rinorzo η a : attore di conversione ambientale (per varie condizioni di esposizione e vari sistemi in FRP) Condizione di esposizione Esposizione interna Esposizione esterna (ponti colonne parcheggi) Ambiente aggressivo (centrali chimiche e centrali di trattamento delle acque) Tipo di ibra/resina Carbonio/Epossidica Vetro/Epossidica Aramidica/Epossidica Carbonio/Epossidica Vetro/Epossidica Aramidica/Epossidica Carbonio/Epossidica Vetro/Epossidica Aramidica/Epossidica η a

5 Rinorzo a lessione: Deormazione massima nel rinorzo γ : coeicienti parziali per materiali e prodotti MATERIALE/PRODOTTO Lamine e tessuti FRP APPLICAZIONE TIPO A 1.20 APPLICAZIONE TIPO B 1.50 Applicazione tipo A: sistemi di rinorzo preabbricati in condizioni di controllo di qualità ordinario, applicazione di tessuti a mano con elevato controllo di qualità Applicazione tipo B: applicazione di tessuti a mano in condizione di qualità ordinario, applicazione di qualsiasi sistema di rinorzo in condizioni di diicoltà ambientale o operativa 5

6 Rinorzo a lessione: Deormazione massima nel rinorzo ε,max : deormazione massima per delaminazione intermedia (Modalità 2) ε = k,max cr E dd - k cr : coeiciente pari a 3 - E : Modulo Elastico FRP - dd : tensione di progetto nel rinorzo dd = γ d 1 2E Γ γ t c Fk 6

7 Rinorzo a lessione: Tensione di progetto nel rinorzo dd : tensione di progetto nel rinorzo dd = γ d 1 2E Γ γ t c Fk Γ Fd : Valore di progetto energia Γ = 0.03 k Fk speciica di rattura b ck ctm [orze in N, lunghezze in mm] ck : Valore caratteristico resistenza a compressione calcestruzzo ctm : Valore medio resistenza a trazione del calcestruzzo γc: coeiciente parziale del calcestruzzo (ornito da Normativa vigente) 7

8 Rinorzo a lessione: Tensione di progetto nel rinorzo Γ = 0.03 k Fk b ck ctm k b : Fattore di tipo geometrico b : larghezza della trave b : larghezza rinorzo b 2 b b kb = per. b b [lunghezze in mm] se b /b<0.33 nella ormula si usa b /b =

9 Rinorzo a lessione: Calcolo del Momento Resistente As2 Α εc0 ε co d 2 x = =ξ ξ d 1 εcu ε εs2 ε σs2 σ s2 σc σ c h d As1 Α 2 M d 1 b b A A t εd ε s εy,d >ε yd ε d ε0ε o σs1 yd σ σ Zona 1: Rottura per raggiungimento deormazione elastica limite di progetto nelle ibre Zona 2: Rottura per schiacciamento del calcestruzzo con acciaio teso snervato 9

10 Zona 1: FRP: ε = ε Rinorzo a lessione: Calcolo del Momento Resistente d Cls lembo compresso: ε ( ) x = ε + ε c d o ( ) cu h x ε Acciaio compresso: d x ε = ( ε + ε ) s1 d o (h x) Acciaio teso: x d2 ε = ( ε + ε ) s2 d o ( h x ) h d d d 2 1 As2 Α As1 Α b b A A t εd x = =ξ ξ d ε s εy,d >ε yd ε d 2 1 εc0 ε co ε0ε o εcu ε E superluo veriicare l entità della deormazione dell acciaio teso: εs2 ε I valori usuali della deormazione limite delle ibre ε d, e del calcestruzzo, ε cu sono tali da escludere in genere l attingimento della deormazione limite dell acciaio 10

11 Rinorzo a lessione: Calcolo del Momento Resistente Zona 2: FRP: ε cu ε = ( h x ) ε ε 0 d x Cls lembo compresso: ε = ε c cu Acciaio compresso: d x ε = ε s1 cu x Acciaio teso: ε s2 = ε cu x d x 2 d h d d 2 1 As2 Α εc0 ε co b t x = =ξ ξ d 1 2 As1 Α b ε s εy,d >ε yd εd ε d A A ε0ε o Non viene raggiunta la deormazione limite nelle ibre εcu ε εs2 ε 11

12 Rinorzo a lessione: Calcolo del Momento Resistente In entrambe le zone il momento resistente Mu e x si calcolano: Eq. equilibrio rotazione intorno all asse baricentrico armatura tesa M = ψ b x (d λ x) + A σ (d d ) + A σ d u cd s2 s2 2 1 Eq. equilibrio alla traslazione lungo l asse della trave 0 = ψ b x + σ A A A σ cd s2 s2 s1 yd As2 Α εc0 ε co d 2 x = =ξ ξ d 1 εcu ε εs2 ε σs2 σ s2 σc σ c h d As1 Α 2 M d 1 b b A A t εd ε s εy,d >ε yd ε d ε0ε o σs1 yd σ σ 12

13 Rinorzo a lessione: Calcolo del Momento Resistente I coeicienti adimensionali ψ e λ rappresentano, rispettivamente, l intensità del risultante degli sorzi di compressione e la distanza di quest ultimo dall estremo lembo compresso, rapportati nell ordine a b x cd ed a x. Nelle zone 1 e 2 l entità della deormazione esibita dalle barre d acciaio in trazione è sempre superiore a quella di progetto, ε yd Le tensioni di lavoro dell acciaio sono sempre pari a yd Per evitare che allo stato limite ultimo l acciaio teso sia in campo elastico, il coeiciente adimensionale ξ=x/d non deve eccedere il valore limite ξ lim ξ lim = εcu ε + ε cu yd 13

14 Rinorzo a lessione: Calcolo delle Sollecitazioni 8,00 Carichi Permanenti Travetto 0.4 kn/m Soletta 0.5 kn/m Pignatte 0.35 kn/m Massetto 0.38 kn/m Intonaco 0.15 kn/m Impermeabilizzazione 0.15 kn/m TOT 1.9 kn/m 5,00 5,00 Sovraccarichi Accidentali Copertura non praticabile 0.25 kn/m MASSETTO IMPERMEABILIZZAZIONE INTONACO 1.4*Carichi Permanenti 2.70 knm 1.5*Sovraccarichi Accidentali 0.37kN/m 14

15 Rinorzo a Flessione: Condizioni di carico M sd = 7.4 knm 15

16 Dati: Sezione non rinorzata Calcestruzzo: R ck = 20 Mpa cd = 11.0 Mpa Geometria: b = 500 mm h = 200 mm d = 30 mm Rinorzo a Flessione Acciaio: yk = 440 Mpa E s = 210 Gpa yd = 374 Mpa ε yd = A s1 = 1Φ10 =79 mm A s2 = 2Φ10 =157 mm 2 Eq. equilibrio alla traslazione lungo l asse della trave 0 = ψ b x + σ A σ A cd s1 s1 s2 s2 Eq. equilibrio rotazione intorno all asse baricentrico armatura tesa M b x (d x) A (x d ) A (d d ). knm = ψ λ + σ + σ = 97 u cd s1 s1 1 s2 s x = 24. 6mm 16

17 Rinorzo a lessione: Calcolo delle Sollecitazioni 8,00 Carichi Permanenti Travetto 0.4 kn/m Soletta 0.5 kn/m Pignatte 0.35 kn/m Massetto 0.38 kn/m Intonaco 0.15 kn/m Pavimento 0.30 kn/m Impermeabilizzazione 0.15 kn/m TOT 2.2 kn/m 5,00 5,00 Sovraccarichi Accidentali Copertura non praticabile 1.0 kn/m MASSETTO PAVIMENTO INTONACO 1.4*Carichi Permanenti 3.1 kn/m 1.5*Sovraccarichi Accidentali 1.5kN/m M sd = 11.1 knm 17

18 Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo

19 Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo di k b b = 100 mm b = 50 mm b / b = 0.5 k b = b 2 b = 1.15 > 1 OK b Calcolo di Γ Fd ck = 0.83 R ck = Mpa ctm = lessione = 0.27 x (R ck )^(2/3) = 2.0 Mpa γ c = 1.6 Γ = 0.03 k = 0.2 Fk b ck ctm 19

20 Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo di dd k c = 3 γ Rd = lessione = 1.00 E = Mpa t = spessore totale rinorzo = 1 x 1.4 = 1.4 mm Γ Fd = 0.20 dd Fk = = γ d 1 γ c 2E Γ t 434MPa 20

21 Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo di ε d η a = 0.95 ε u = γ = 1.2 (Applic. Tipo A) ε u ηa = γ k cr = 3 dd = 434 Mpa E = Mpa dd ε = k = ,max cr E ε u εd = min ηa, ε,max = γ 21

22 Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo del Momento Ultimo Regione di rottura: 1 Rottura per raggiungimento deormazione elastica limite di progetto nelle ibre x = proondità asse neutro = 29.7 mm ξ = x/h = ψ = λ = σ s2 = 374 Mpa σ = 434 Mpa Mu = 14.9 kn m 22

23 Rinorzo a Flessione: Travetto Solaio Sezione originale: Sezione rinorzata: Mu = 9.70 kn m Mu = kn m L utilizzo del rinorzo ha apportato un incremento in termini di capacità di resistenza a lessione pari al 53% della capacità originaria 23

24 Rinorzo a Flessione (2): Calcolo del Momento Ultimo

25 Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo di k b b = 100 mm b = 50 mm b / b = 0.5 k b = b 2 b = 1.15 > 1 OK b Calcolo di Γ Fd ck = 0.83 R ck = Mpa ctm = lessione = 0.27 x (R ck )^(2/3) = 2.0 Mpa γ c = 1.6 Γ = 0.03 k = 0.2 Fk b ck ctm 25

26 Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo di dd k c = 3 γ Rd = lessione = 1.00 E = Mpa t = spessore totale rinorzo = 1 x = mm Γ Fd = 0.20 dd Fk = = γ d 1 γ c 2E Γ t 1467MPa 26

27 Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo di ε d η a = 0.95 ε u = γ = Applic. Tipo A= 1.2 ε u ηa = γ k cr = 3 dd = 1467 Mpa E = Mpa dd ε = k = ,max cr E ε u εd = min ηa, ε,max = γ 27

28 Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo del Momento Ultimo Regione di rottura: 1 Rottura per raggiungimento deormazione elastica limite di progetto nelle ibre x = proondità asse neutro = mm ξ = x/h = ψ = λ = σ s2 = 374 Mpa σ = 1467 Mpa Mu = 11.7 kn m 28

29 Rinorzo a Flessione (2): Travetto Solaio Sezione originale: Sezione rinorzata: Mu = 9.70 kn m Mu = kn m L utilizzo del rinorzo ha apportato un incremento in termini di capacità di resistenza a lessione pari al 21% della capacità originaria 29

30 Rinorzo a Flessione: Trave Calcestruzzo: R ck = 20 Mpa cd = 11.0 Mpa Geometria: b = 300 mm h = 500 mm d = 30 mm Acciaio: yk = 440 Mpa E s = 210 Gpa yd = 374 Mpa ε yd = Eq. equilibrio alla traslazione lungo l asse della trave 0 = ψ b x + σ A A s1 = 2Φ16 =402 mm 2 A s2 = 4Φ16 =804 mm 2 M sd = knm cd s2 s2 Eq. equilibrio rotazione intorno all asse baricentrico armatura tesa M = ψ b x ( d λ x) + A σ ( d d ) = kNm u cd s2 s b = mm 300 2Ø16 4Ø16 30

31 Rinorzo a Flessione: Esempi Numerici Trave M sd = knm 300 2Ø Ø16 2 strati 31

32 Rinorzo a Flessione: Trave Calcolo di k b b = 300 mm b = 300 mm b / b = 1.0 k b = b 2 b = 0.76 < 1 [] 1 b Calcolo di Γ Fd ck = 0.83 R ck = Mpa ctm = lessione = 0.27 x (R ck )^(2/3) = 2.00 Mpa γ c = 1.6 Γ = 0.03 k = 0.17 Fk b ck ctm 32

33 Rinorzo a Flessione: Trave Calcolo di dd k c = 3 γ Rd = lessione = 1.00 E = Mpa t = spessore totale rinorzo = 2 x = mm Γ Fd = 0.17 dd Fk = = γ d 1 γ c 2E Γ t 893MPa 33

34 Rinorzo a Flessione: Trave Calcolo di ε d η a = 0.95 ε u = γ = 1.2 ( Applic. Tipo A) ε u ηa = γ k cr = 3 dd = 893 Mpa E = Mpa dd ε = k = ,max cr E ε u εd = min ηa, ε,max = γ 34

35 Rinorzo a Flessione: Trave Calcolo del Momento Ultimo Regione di rottura: 1 Rottura per raggiungimento deormazione elastica limite di progetto nelle ibre x = proondità asse neutro = 181 mm ξ = x/h = ψ = λ = σ s2 = 374 Mpa σ = 893 Mpa Mu = kn m 35

36 Rinorzo a Flessione: Trave Sezione originale: Sezione rinorzata: Mu = kn m Mu = kn m L utilizzo del rinorzo ha apportato un incremento in termini di capacità di resistenza a lessione pari al 50% della capacità originaria 36

37 Rinorzo a Taglio Esempi numerici 37

38 Rinorzo a Taglio Calcolo resistenza a taglio sezione in c.a.: V = min { V ;V +V rd Rd,max cd wd} =127kN Resistenza biella compressa di calcestruzzo: V = b d Rd,max 0,30 cd w V Rd,max = 373 kn Somma contributo calcestruzzo più contributo armatura a taglio V = 0,60 b d δ 0,90d Vwd = Asw ywd + s Vcd cd ctd w = 74kN Vwd ( sinα cosα ) = 53kN 38

39 Rinorzo a Taglio: Trave tipo U-Jacket

40 Rinorzo a Taglio Calcolo resistenza a taglio sezione in c.a.: { } V = min V + V + V, V Rd Rd,ct Rd,s Rd, Rd,max V Rd,ct V Rd,s V Rd, V Rd,max contributo del calcestruzzo contributo dell armatura trasversale di acciaio, da valutarsi in accordo con i Codici e la Letteratura Tecnica più recente contributo del rinorzo di FRP resistenza della biella compressa di calcestruzzo, da valutarsi in accordo con i Codici e la Letteratura Tecnica più recente. 40

41 Rinorzo a Taglio: Rinorzo Continuo tipo U-Jacket 1 w V = Rd, 0,9 d ed 2 t (cot θ + cot β ) γ p Rd γ Rd coeiciente parziale per modello di resistenza pari a 1,20 (CNR Punto Tabella 3.3) d altezza utile della sezione h w larghezza della membratura resistente a taglio t spessore del rinorzo di FRP β angolo di inclinazione delle ibre rispetto all asse dell elemento θ angolo di inclinazione delle essure da taglio rispetto all asse dell elemento (in mancanza di determinazione più accurata, si può assumere θ= 45 ) w larghezza delle strisce passo delle strisce p I valori di w e di p devono essere misurati ortogonalmente alla direzione delle ibre e, nel caso di strisce poste in adiacenza o di ogli, il rapporto è pari ad 1,0. 41

42 Rinorzo a Taglio: Rinorzo Continuo tipo U-Jacket ed 1 = dd sin β e 1 3 min 0,9 ; l { dh} w [tensione di progetto del rinorzo] dd 1 2 E Γ = γ γ t,d c Fk Γ = 0.03 k Fk b ck ctm sin( θ + β ) nel caso di rinorzi continui, b = b= min{0,9 d; h } w sinθ essendo h w l altezza dell anima della trave. l e = E t 2 ctm [lunghezze in mm] Punto : Nel caso di disposizione ad U ed in avvolgimento, gli spigoli della sezione dell elemento da rinorzare a contatto con il materiale composito devono essere arrotondati, in modo da evitare il tranciamento del rinorzo. Il raggio di curvatura,dell arrotondamento deve essere non minore di 20 mm. 42

43 Rinorzo a Taglio Calcolo di k b b = b = min(423;300)=300 k b = b 2 b =0.76<1 [ 1] b Calcolo di Γ Fd ck = 0.83 R ck = Mpa ctm = lessione = 0.27 x (R ck )^(2/3) = 2.00 Mpa γ c = 1.6 Γ = 0.03 k = 0.17 Fk b ck ctm 43

44 Rinorzo a Taglio Calcolo di dd k c = 3 γ Rd = Taglio = 1.20 γd = (Applic. Tipo A) = 1.20 E = Mpa t = spessore totale rinorzo = 1 x = mm Γ Fk = 0.17 dd Fk = = γ d 1 γ c 2E Γ t 421MPa 44

45 Rinorzo a Taglio l e E 2 t = = ctm 185mm 1 2 E Γ Fk dd = = γ t,d γc 1 l sin β e = ed dd = MPa 3 min{ 0,9 dh ; w} 421MPa 1 w V = Rd, 0,9 d ed 2 t (cot θ + cot β ) = 78 kn γ p Rd { } V = min V + V + V, V Rd Rd,ct Rd,s Rd, Rd,max V = 74 Rd,ct kn V = kn V = kn V = 373kN Rd,max Rds 53 Rd, 78 { } V = min 373;205 = 205kN Rd 45

46 Rinorzo a Taglio Sezione originale: Sezione rinorzata: Vrd = 127 kn m Vrd= 205 kn m L utilizzo del rinorzo ha apportato un incremento in termini di capacità di resistenza a taglio pari al 62% della capacità originaria Tale valore è superiore a quello consentito dalla norma che prevede un valore di incremento massimo di resistenza pari al 60% di quello della sezione non rinorzata. 46