Esercizi di Controlli Automatici - 9 A.A. 2009/2010

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1 Eercizi di Controlli Automatici - 9 A.A. 2009/200 Eercizio. Dato il eguente chema, in cui gli amplificatori operazionali ono uppoti ideali, i calcoli la funzione di traferimento G() tra v in (t) e v out (t). Si conideri, poi, la eguente conneione in retroazione dove T () = 2. Si determinimo i valori del rapporto R 2 +2 R e del prodotto RC, apendo che il itema ad anello chiuo è BIBO tabile, riponde alla rampa lineare unitaria δ 2 (t) = tδ (t) con un errore a regime pari a e (2) rp = 0. e la funzione di traferimento ad anello aperto T ()G() ha pulazione di attraveramento pari a ω A = 0 rad/. Eercizio 2. Si conideri lo chema di figura e i auma che l operazionale ia quai ideale, nel eno che le correnti di ingreo iano nulle e le correnti di ucita completamente arbitrarie. Per quanto riguarda la relazione tra tenione differenziale

2 di ingreo e tenione d ucita, invece, i ipotizzi che V out () = G()[V + () V ()]. Si upponga, inoltre, che le reitenze iano uguali, i condenatori uguali e valga RC =. i) Nell ipotei di operazionale ideale, ovvero G() = +, i determini la funzione di traferimento del itema di ingreo u(t) = v in (t) ed ucita y(t) = v out (t). ii) Nell ipotei in cui G() = K, i eprima il legame ingreo-ucita tramite un + opportuno chema a blocchi e e ne calcoli la funzione di traferimento. iii) Nelle tee ipotei del punto precedente, i tudi (con il metodo di Routh) la tabilità BIBO del itema e i verifichi che per K > 0 i ha tabilità BIBO, mentre per K < 0 (che corriponde ad uno cambio tra i moretti + e ) i ha intabilità, non appena K. Eercizio 3. Si conideri lo chema di figura, in cui i aume che l operazionale ia ideale, le reitenze iano entrambe uguali a R, i condenatori entrambi uguali a C, il prodotto RC valga, u(t) ia la tenione dingreo v in (t) e y(t) la tenione ducita v out (t). 2

3 È richieto di: i) calcolare la funzione di traferimento W () del itema; ii) calcolare la ripota al gradino w (t) del itema; iii) determinare la pulazione ω r > 0 in corripondenza alla quale la ripota in frequenza W (jω), ω 0, del itema compleivo aume valore maimo e ucceivamente determinare W (jω r ) e arg(w (jω r ). 3

4 Soluzioni Eercizio. Il primo operazionale ha come funzione di traferimento G () = R 2 R, mentre il econdo G 2 () = +RC, per cui la loro conneione in erie ha RC funzione di traferimento G() = G ()G 2 () = R 2 +RC R. Scrivendo in forma di RC Bode T (), i perviene a T ()G() = R 2 R RC + RC ( ) + 2 che ha un polo nell originedi molteplicità unitaria e guadagno di Bode K B = R 2 R RC. Pertanto il itema retroazionato è di tipo e riponde alla rampa lineare unitaria con errore di regime permanente (cotante e non nullo) e (2) rp = K B = R RC R 2 = 0.. da cui R 2 = 0R RC. Sotituendo l epreione di R 2 in G()T (), i ottiene G()T () = 0 + RC ( ). + 2 Poiché la pulazione di attraveramento del olo termine 0 è proprio pari a 0 rad/, ne conegue che per attribuire a T ()G() quella pulazione di attraveramento deve aver luogo una cancellazione zero/polo, cioé deve valere RC = 0.5 e quindi G()T () = 0. Un modo alternativo per giungere a queta oluzione è quello di imporre G(0j)T (0j) =, il che conduce facilmente allo teo riultato. La tabilità BIBO del itema in catena chiua è evidente. In definitiva, quindi, i trova RC = 0.5 e R 2 R = 5. Eercizio 2. Operando come al olito ullo chema in configurazione invertente (con U() = V in () e Y () = V out ()), i ottiene facilmente la relazione + U() + + Y () = V () ( + ) i) Nel cao di operazionale ideale, V () = 0 da cui egue che la funzione di traferimento da u(t) a y(t) è data da W () = ( + ). 2 4

5 ii) Nell ipotei in cui G() = K, i giunge alla relazione + V () = ( + )2 K U() + Y (), Y () = ( + ) V () che conduce facilmente allo chema di figura la cui funzione di traferimento è W () = K ( )( + ) + K( + ) 2. iii) Per tudiare la tabilità del precedente itema è neceario e ufficiente verificare per quali valori di K il polinomio p() = (4 + K) + (4 + 2K) + ( + K) riulti Hurwitziano. Ricorrendo alla tabella di Routh K K + K (K+3)(2K+5) 0 4+K 0 K + 0 riulta evidente che per K > la prima colonna è tutta poitiva, mentre per K il egno (o l eere nullo) dell ultimo elemento di tale prima colonna denota intabilità. Alternativamente, una volta oervato che p() fattorizza nel prodotto di (+) per un polinomio di econdo grado, è immediata la verifica che tale polinomio di econdo grado è di Hurwitz e e olo e K >. Eercizio 3. i) Le funzioni di traferimento, ripettivamente, del primo blocco, del econdo blocco e compleiva ono: W () = + RC = +, W 2() = RC + RC = + 5

6 W () = W ()W 2 () = ii) La ripota al gradino del itema è ( + ) 2 W () = W () = ( + ) 2 da cui egue w (t) = te t δ (t). iii) Per quanto concerne la ripota in frequenza, il modulo di W (jω) vale W (jω) = jiω ( + jω) 2 = ω + ω 2 e i vede facilmente (bata derivare ripetto ad ω ed imporre che tale derivata ia nulla) che eo aume valore maimo per ω = = ω r, dove vale W (j) = j (+j) = 2, mentre lo faamento è nullo. 2 6