Lezione 11. Progetto del controllore

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1 Lezione Progetto del controllore

2 Specifiche di progetto Conideriamo nuovamente un itema di controllo in retroazione: d y y () G() + + n Fig : Sitema di controllo Supporremo aegnata la funzione di traferimento G() e ci porremo l obiettivo della intei (o progetto) della funzione di traferimento () del controllore ulla bae di un certo numero di pecifiche Il metodo che eguiremo arà baato ul criterio di Bode e come tale prevederà il ripetto da parte della funzione di traferimento d anello L() = ()G() delle ipotei necearie per l applicabilità del criterio Ciò comporta in particolare che il metodo non arà applicabile e G() ha poli a parte reale poitiva Infatti tali poli che non poono eere cancellati da corripondenti zeri nella funzione di traferimento () i preentano anche in L() violando una condizione del criterio Le pecifiche con le quali tipicamente i impota il progetto ono le eguenti: Aintotica tabilità In bae al criterio di Bode queta pecifica implica: ϕ m > 0 2 Grado di tabilità e robutezza La tabilità deve eere garantita con un certo margine ripetto ad ineattezze nella modellitica del itema otto controllo Inoltre i vuole che il itema di controllo ollecitato da ingrei canonici (calino impulo) eibica ripote ben morzate Entrambe quete condizioni ono approimativamente oddifatte e il margine di fae dell anello è uperiore di un valore limite di volta in volta pecificato: ϕ > ϕ m m 3 Velocità di ripota Il itema di controllo deve reagire prontamente a variazioni nel egnale di riferimento o ui diturbi Sappiamo che e il margine di fae è ufficientemente elevato i tranitori del itema in anello chiuo ono governati da una cotante di tempo pari all invero della Per una trattazione analoga a quella qui preentata ma di maggiore repiro i può conultare il Capitolo 2 del teto: Eercizi di Controlli Automatici GO Guardabai e P occo Pitagora Editrice P occo - Dipene di Automatica Lez -

3 pulazione critica ω c Imporre un valore maimo alla durata dei tranitori equivale quindi ad imporre un valore minimo alla pulazione critica: ω ω c c 4 Preciione tatica A eguito dell impoizione di aegnati egnali canonici agli ingrei l errore tra riferimento e variabile controllata deve eere a tranitorio eaurito nullo o inferiore in modulo ad una aegnata oglia: e e 5 Specifiche addizionali Talvolta poono eere date delle ulteriori pecifiche come l uo di un controllore dalla truttura aegnata (cioè con un dato numero di poli e zeri) limitazioni all azione di controllo attenuazione di pecifici diturbi (tipicamente inuoidali) P occo - Dipene di Automatica Lez - 2

4 Impotazione del progetto Il progetto viene di norma uddivio in due fai: Progetto tatico E la fae in cui ci i preoccupa di oddifare la pecifica relativa alle pretazioni tatiche (errore a tranitorio eaurito) Si affronta con l ipotei preliminare di eere in grado di rendere il itema in anello chiuo aintoticamente tabile nella ucceiva fae di progetto dinamico Si fattorizza la funzione di traferimento del regolatore come egue: = ( ) 2 con: µ i + Ti = g 2 = + τ k k Dal momento che 2 (0) = le pretazioni tatiche ono unicamente determinate dalle celte effettuate ui parametri di () Per non complicare la ucceiva fae di progetto i ceglie: - il valore minimo del tipo g che conente di oddifare la pecifica tatica; - fiato g il valore minimo del guadagno µ che conente di oddifare la pecifica Può uccedere a valle della celta del tipo del regolatore che il valore del guadagno riulti indeterminato: in queto cao è poibile aegnare il guadagno in fae di progetto dinamico 2 Progetto dinamico Si determina 2 () (poli e zeri del controllore) in modo tale da oddifare le pecifiche dinamiche u margine di fae e velocità di ripota Si procede per mezzo di una erie ragionata di tentativi di intei P occo - Dipene di Automatica Lez - 3

5 Si conideri il itema di controllo di figura: Eempio introduttivo d H() y + e + + y () G() dove: Fig 2 : Sitema di controllo per l eempio 50 5 G = H = ( + 0 )( + )( + 0) + 00 Si vuole progettare il regolatore () in modo tale che: e 0025 per y (t) = 0 ca(t) d(t) = ± ca(t); ω c rad / ; ϕ m 60 Progetto tatico Fattorizzata () come: = ( ) 2 2( 0) = i deve progettare g =µ in modo da oddifare la pecifica ull errore a tranitorio eaurito Ipotizzando il itema in anello chiuo aintoticamente tabile e facendo uo in virtù della linearità del itema del principio di ovrappoizione degli effetti calcoliamo l errore dovuto al egnale di riferimento: o o e [ E ] L Y o = = + = 0 lim lim lim = µ g g 0 0 g = 0 = lim g = + 50µ µ 0 g Il riultato è coerente con le tabelle della preciione tatica della Lezione 0 pur di tenere conto che il guadagno d anello vale 50µ e che lo calino ha ampiezza 0 Paando all errore dovuto al diturbo i ha: P occo - Dipene di Automatica Lez - 4

6 H e [ E ] L D d = d = + = 5 lim lim lim + ± = µ g g 5 5 m g = 0 = m lim g = + 50µ µ 0 g Anche in queto cao il riultato è coerente con le tabelle tenendo conto che il diturbo va riportato in ucita (e quindi agli effetti tatici va moltiplicato per il guadagno di H()) Appare evidente che per entrambi i egnali di ingreo (riferimento e diturbo) la pecifica ull errore può eere garantita con regolatore di tipo nullo (g = 0) Adottando queto valore ed aumendo il guadagno µ poitivo i ha: o o e = e + e d e + e d = = µ + 50µ + 50µ La pecifica tatica arà quindi enz altro oddifatta e: µ µ 25 ipetto al valore limite calcolato dalla precedente dieguaglianza conviene prediporre un opportuno margine di icurezza inteo a cautelari vero le inevitabili incertezze ui parametri del proceo e ul valore dei diturbi Un valore opportuno potrebbe allora eere µ = 20 Il progetto tatico è allora concluo con la celta della funzione di traferimento: = 20 Progetto dinamico La funzione di traferimento d anello del itema può eere critta come: L = G = L 2 2 con: 000 L = G = ( + 0 )( + )( + 0) Il primo tentativo da eeguire per il progetto di 2 () conite nel porre banalmente 2 () = La funzione di traferimento d anello coincide allora con L () ed il relativo diagramma di Bode del modulo aintotico è tracciato di eguito: P occo - Dipene di Automatica Lez - 5

7 db ω (rad/) Fig 3 : Diagramma di Bode aintotico di L Mentre la pulazione critica è abbondantemente uperiore al valore limite impoto dalla pecifica il margine di fae riulta come facilmente calcolabile negativo per cui il itema in anello chiuo riulterebbe addirittura intabile Per il progetto di 2 () i può ricorrere all oervazione fatta nella Lezione 8 a propoito del criterio di Bode riguardo ai itemi a fae minima Si ricorda che per un itema a fae minima il fatto che l attraveramento dell ae a 0 db da parte del diagramma aintotico del modulo della ripota in frequenza di L avvenga con pendenza ( 20 db/decade) garantice di norma un margine di fae poitivo tanto più proimo ai 90 quanto più ampio è il tratto di pendenza Conviene allora procedere determinando preliminarmente un opportuno andamento per il diagramma del modulo di L e a poteriori rialire all epreione della funzione di traferimento del regolatore Il metodo di progetto di natura grafica conite nell individuare ull ae a 0 db un valore di pulazione uperiore al limite inferiore richieto per la pulazione critica e per queto punto tracciare un tratto di retta a pendenza detinato ad eere un tratto del diagramma di L In baa frequenza i può operare come egue: il diagramma di L deve avere la tea pendenza di quello di L altrimenti i modificherebbe il tipo del regolatore in ede di progetto dinamico; e il progetto tatico i è concluo con un vincolo ul valore del guadagno µ il valore di L deve eere maggiore o uguale (di fatto è comodo ceglierlo uguale) a quello di L In alta frequenza invece: il diagramma di L deve avere pendenza maggiore o uguale in modulo (di fatto è comodo ceglierla uguale) a quella di L altrimenti i perverrebbe al progetto di un regolatore non realizzabile (con più zeri che poli); il valore di L deve eere minore o uguale a quello di L per garantire la moderazione del controllo P occo - Dipene di Automatica Lez - 6

8 L applicazione del metodo all eempio porta cegliendo come pulazione critica il valore 2 rad/ al grafico di L di figura modulo [db] L L ω c -60 Il margine di fae riulta: ω(rad/) Fig 4 : Diagramma di Bode aintotico di L ϕ m = 80 arctan arctan 2 0 = = 68 Le pecifiche dinamiche ono quindi oddifatte e riulta: L = = Ne conegue: 2 Infine: 000 ( )( + 0 ) L = = L = = 2 20 ( )( + 0 ) 2 2 ( + )( + 0) ( + 500)( + 0 ) 2 ( + 0 )( + )( + 0) ( + )( + 0) = 000 ( + 500)( + 0 ) Si oervi che in alta frequenza il diagramma di L non i congiunge con il diagramma di L Sarebbe tato lecito congiungere i due diagrammi ma in queto cao i arebbe ottenuto come è facile verificare un controllore di ordine 3 (con 3 poli) più problematico da realizzare P occo - Dipene di Automatica Lez - 7

9 Per il itema di controllo di figura: Eempio di progetto per itemi di tipo y + e y () G() Fig 5 : Sitema di controllo per l eempio dove: 0 G = ( + ) i vuole progettare il regolatore () in modo tale che: e = 0 per y (t) = ca(t); ω c 2 rad / ; ϕ m 40 Progetto tatico Procedendo come nell eempio precedente i ha: g e [ E ] L Y + o = = g g + = lim lim lim = lim + = µ g + 0µ In queto cao anche con regolatore di tipo nullo (g = 0) i ottiene errore tatico nullo Il tipo della funzione di traferimento d anello è infatti la omma del tipo del itema otto controllo e del tipo del controllore: gl = gg + g Poiché nel preente cao g G = è ufficiente imporre g = 0 per avere un anello di tipo Il progetto tatico quindi non impone neun vincolo al regolatore e potremo porre formalmente: = Progetto dinamico Poiché: L = G = G 2 2 P occo - Dipene di Automatica Lez - 8

10 conviene tracciare il diagramma del modulo di G per controllare e le pecifiche ono già oddifatte con 2 = : db Si ha ω c = 3 ma: ω (rad/) Fig 6 : Diagramma di Bode aintotico di G ϕ m = arctan ( 3) = = 9 che non oddifa la pecifica La oluzione grafica del progetto dinamico è riportata in Fig 7: i oervi che in baa frequenza i è evitato di raccordare i diagrammi del modulo di L e G in quanto il progetto tatico non impone alcun vincolo ul guadagno del regolatore Si ottiene ω c = 2 e: ϕ m = arctan 2 5 = = 68 Tutte le pecifiche ono oddifatte e riulta: 2 2 L = = da cui: L 2 ( + ) + = 2 = = = 02 G P occo - Dipene di Automatica Lez - 9

11 40 30 db G L ω (rad/) Fig 7 : Diagrammi di Bode aintotici di G e L P occo - Dipene di Automatica Lez - 0

12 Eempio di progetto per itemi con zeri a parte reale poitiva Per il itema di controllo di figura: y + e y () G() Fig 8 : Sitema di controllo per l eempio dove: G = i vuole progettare il regolatore () in modo tale che: e = 0 per y (t) = ca(t); ω c 0 rad / ; ϕ m 40 Il progetto tatico impone la preenza di un integratore nel controllore mentre non ne vincola in alcun modo il guadagno Poiamo allora porre: = Scritta la funzione di traferimento d anello come: L = 2 ( L ) con: 0 2 L = G = + 0 tracciamo il diagramma di Bode del modulo di L : P occo - Dipene di Automatica Lez -

13 db 0-20 iulta ω c = 2 e: ω (rad/) Fig 9 : Diagramma di Bode aintotico di L ϕ m = arctan 2 0 arctan = = 73 Il itema in anello chiuo arebbe quindi intabile Si oervi che il contributo di fae dello zero alla pulazione 05 rad/ è negativo eendo lo zero a parte reale poitiva Il itema non è quindi a fae minima ed il fatto che il diagramma del modulo tagli l ae a 0 db con pendenza non implica margine di fae poitivo D altra parte lo zero non può eere cancellato da un corripondente polo nel regolatore pena il manifetari di una intabilità interna L unico provvedimento utile in queto cao è fare in modo che la pulazione critica riulti enibilmente inferiore alla pulazione dello zero in modo che il contributo negativo alla fae critica ia meno rilevante Si conideri ad eempio la oluzione riportata in figura: P occo - Dipene di Automatica Lez - 2

14 60 40 db 20 0 L L -20 iulta ω c = 02 e: ω (rad/) Fig 0 : Diagrammi di Bode aintotici di L e L ϕ m = arctan arctan = = 66 Anche in queto eempio come nel precedente i diagrammi non ono tati raccordati in baa frequenza non eendoci un vincolo di guadagno dato dal progetto tatico iulta quindi: L = = da cui: L = = = 0 L = ( ) 2 = + 02 P occo - Dipene di Automatica Lez - 3

15 Eempio di progetto per itemi con ritardo Per il itema di controllo di figura: d y + e + + y () G() dove: Fig : Sitema di controllo per l eempio e G = ( + 0)( + ) i vuole progettare il regolatore () in modo tale che: e 05 per d(t) = ±ca(t); ω c 03 rad / ; ϕ m 40 Progetto tatico Suppoto il itema di controllo aintoticamente tabile il ritardo non gioca alcun ruolo nel determinare le pretazioni tatiche Dalle tabelle della preciione tatica otteniamo che per funzione di traferimento d anello di tipo 0 riulta: e = + µ L Pertanto celto un regolatore di tipo 0 i dovrà imporre: 05 µ µ Poiamo cautelarci contro eventuali incertezze ponendo µ = 0 e quindi concludere che: = 0 P occo - Dipene di Automatica Lez - 4

16 Progetto dinamico Scritta la funzione di traferimento d anello come: L = 2 ( L ) con: e L = G = 0 ( + 0 )( + ) tracciamo il diagramma di Bode del modulo di L : db iulta ω c e: ω (rad/) Fig 2 : Diagramma di Bode aintotico di L 80 ϕm 80 arctan 0 arctan ωcτ = = 6 π A caua della preenza del ritardo il itema riulterebbe intabile Per il progetto i può coniderare la oluzione di Fig 3: P occo - Dipene di Automatica Lez - 5

17 L L db iulta ω c 03 e: ω (rad/) Fig 3 : Diagrammi di Bode aintotici di L e L 80 ϕm 80 arctan arctan 03 3 ωcτ = = 73 π Tutte le pecifiche ono oddifatte e riulta: e e L = 0 = da cui: L ( + 0)( + ) 2 = = L ( + 33)( ) = ( ) = 2 0 ( + 0)( + ) ( + 33)( ) P occo - Dipene di Automatica Lez - 6

18 Eempio di progetto per itemi con diturbo inuoidale Per il itema di controllo di figura: d y + e + + y () G() dove: Fig 4 : Sitema di controllo per l eempio 0 G = + 0 i vuole progettare il regolatore () in modo tale che: e = 0 per y (t) = ca(t); un diturbo dt = in( ω t) con ω 003 ia attenuato a regime ull ucita y di un fattore almeno pari a 0; ω c 0 rad / ; ϕ m 50 Progetto tatico Eendo il itema otto controllo di tipo la pecifica ull errore a tranitorio eaurito è automaticamente oddifatta Poniamo formalmente = Per quanto riguarda invece la pecifica ull attenuazione del diturbo valida anch ea a tranitorio eaurito utilizzeremo il teorema della ripota in frequenza nell ipotei di poter rendere il itema in anello chiuo aintoticamente tabile La funzione di traferimento dal diturbo d all ucita y riulta: Y D = + L = S Pertanto quando dt = in( ω t) a tranitorio eaurito i ha: = ( ω) ω + ( ω) yt S j in t S j La pecifica ull attenuazione del diturbo i traduce quindi nella eguente condizione: S( jω) < ω D altra parte appiamo che: P occo - Dipene di Automatica Lez - 7

19 ( ω) S j ( ω) L j eendo ω << ωc ω L jω >> Pertanto dovremo emplicemente imporre: L( jω) > 0 ω 0 03 Progetto dinamico 003 oia Eendo () = riulta L() = 2 () G() La Fig 6 riporta i diagrammi di Bode del modulo di G e di L ottenuta econdo il olito criterio di progetto G L db ω (rad/) Fig 5 : Diagrammi di Bode aintotici di G e L Si oervi che il vincolo ull attenuazione del diturbo inuoidale i traduce graficamente nell individuazione di una zona proibita oia di un area nel piano del diagramma del modulo in cui il diagramma di L non può entrare iulta ω c = 03 e: ϕ m arctan = = 84 Tutte le pecifiche ono oddifatte e riulta: 03 L = da cui: L 03 ( + 0) + = 2 = = = G P occo - Dipene di Automatica Lez - 8

20 Compenazioni Negli eempi precedenti non i è mai uppoto di poter miurare il diturbo La reiezione degli effetti del diturbo ulla variabile controllata era affidata ecluivamente all anello di controllo il quale agice ulla bae del manifetari di un errore tra egnale di riferimento e variabile controllata Se tuttavia il diturbo è effettivamente miurabile è poibile fruttare l informazione data dalla miura e agire direttamente ulla variabile di controllo anticipando l effetto del diturbo ull ucita enza attendere che queto i manifeti in errore Si parla di compenazione diretta del diturbo quando: il diturbo è miurabile i eercita un azione di controllo dipendente dalla ua miura Conideriamo dunque un itema da controllare u cui agice un diturbo: d H() u G() + + y Fig 6 : Sitema otto controllo Uno chema di compenazione potrebbe allora eere il eguente: C() d H() u G() + + y Fig 7 : Compenazione del diturbo La funzione di traferimento C() decrive il comportamento dinamico del compenatore e comprende anche l effetto dinamico del traduttore del diturbo qualora eo non riulti tracurabile Per il progetto di C() i può imporre che la funzione di traferimento da d a y ia nulla: Y = H + CG =0 D P occo - Dipene di Automatica Lez - 9

21 da cui: H C = G Speo il riultato di queta operazione è una funzione di traferimento non realizzabile o intabile In tal cao ci i limita a rendere le due funzioni di traferimento uguali olo approimativamente In particolare ono di interee le eguenti approimazioni: Si approima il olo guadagno: C = µ C = H( 0) G( 0 ) in queto modo i annulla a regime l effetto di un diturbo cotante Si approima la ripota in frequenza olo ad una determinata pulazione ω : ( ω) Cj ( ω) ( ω) H j = Gj in queto modo progettando C() aintoticamente tabile i annulla a regime l effetto di un diturbo inuoidale alla pulazione ω Di norma uno chema di compenazione viene aociato ad uno chema di retroazione per rendere la reiezione del diturbo più robuta ripetto ad incertezze di modello e per oddifare le altre pecifiche Si perviene allora allo chema di controllo di figura: C() d H() y + e () u G() + + y Fig 8 : Controllo in retroazione con compenazione del diturbo P occo - Dipene di Automatica Lez - 20

22 Eercizi Eercizio Con riferimento al eguente itema di controllo: y o e () d G() y in cui: () G = ( ) i progetti il regolatore () in modo tale che: o e 0 2 per y () t = 0ca() t d() t = ± ca() t ω c rad/ φ m 40 Eercizio 2 Con riferimento al eguente itema di controllo: y o e () G() d y in cui: G () e = + i progetti il regolatore () in modo tale che: e 0 per d() t ca() t = = ω c 05 rad/ φ m 45 P occo - Dipene di Automatica Lez - 2

23 Traccia delle oluzioni Eercizio Sia () = () 2 () con () = µ g Progetto tatico E ufficiente un regolatore di tipo g = 0 Dalle tabelle i ottiene (upponendo il itema in anello chiuo aintoticanente tabile) errore dovuto a y o 0 : e y o = + µ errore dovuto a d: e = d + µ (i oervi che agli effetti tatici il diturbo d i può riportare inalterato in ucita) Coniderando il cao più favorevole i avrà: e = e o + ed = 02 µ 54 y + µ Scegliamo µ = 00 oia () = 00 Progetto dinamico Poto: () G() L = = 0 4 ( + ) e ne traccia il diagramma di Bode del modulo Senza ulteriori provvedimenti i otterrebbe margine di fae negativo Si progetta quindi L() in modo da tagliare a ω c = e da raccordari in baa e alta frequenza con la L Si ottiene un margine di fae pari a: φ m = = 80 3 = 49 > 40 Si oervi che il contributo dello zero nel emipiano detro è modeto in quanto lo zero teo i trova ad alta frequenza Si ricava l epreione della L(): 0 0 L () = 00 = ( + 00)( ) da cui: () () L () = () 2() = 00 = 00 L 4 ( + ) ( + 00)( ) P occo - Dipene di Automatica Lez

24 50 L L 0 db w (rad/) Eercizio 2 Sia () = () 2 () con () = µ g Progetto tatico La pecifica ull errore a tranitorio eaurito impone la preenza di un integratore nell anello e quindi l adozione di un regolatore di tipo : g = Il guadagno del regolatore è arbitrario Sceglieremo quindi: () = Progetto dinamico Poto: () () G() L e = = + e ne traccia il diagramma di Bode del modulo Senza ulteriori provvedimenti i otterrebbe a caua del ritardo preente nel proceo un itema intabile in anello chiuo: φc = = 92 π Si progetta quindi L() in modo da tagliare con pendenza a ω c = 05 e i raccorda il diagramma in alta frequenza con quello di L Si oervi che non è neceario raccordare i diagrammi in baa frequenza in quanto il progetto tatico non impone vincoli ul guadagno del regolatore Si ottiene un margine di fae pari a: 80 φm = = 48 > 45 π Si ricava l epreione della L(): P occo - Dipene di Automatica Lez - 23

25 L () 05 + e 05 + = = e da cui: L 05 + = ( ) 2 = = L L L 0-0 db w (rad/) P occo - Dipene di Automatica Lez - 24