Esercizi svolti di geometria delle aree Alibrandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. ESERCIZIO n.7

Transcript

1 ESERCZO n.7 Data la ezione cava riportata in Figura, determinare: a) gli ai principali centrali di inerzia; b) l ellie principale centrale di inerzia; c) il nocciolo centrale di inerzia. cm cm A#7

2 . Determinazione del baricentro della ezione a ezione in eame preenta un ae di immetria inclinato di 5 ripetto all ae, dunque il baricentro viene a trovari u tale ae. Per individuare le coordinate del baricentro epree nel itema di riferimento, indicato in Figura, i può coniderare la ezione ottenibile come differenza di due quadrati, di cui uno di lati cm, il econdo di lato 36cm. Si procede quindi all individuazione del baricentro e al calcolo dell area per ciacuno dei quadrati: Quadrato A 6 cm cm cm cm cm cm cm cm cm Quadrato A 3 96 cm cm 3 cm area compleiva della ezione è ovviamente pari alla differenza: A A A cm A#7

3 Si calcolano quindi i momenti tatici della ezione ripetto agli ai e e ciò fruttando la proprietà additiva del momento tatico: Momento tatico S ripetto all ae : S S S A A cm Momento tatico S ripetto all ae : S S S A A cm a poizione del baricentro della ezione nel riferimento, coniderato i determina applicando le formule di eguito riportate ed eplicitate numericamente per il cao in eame, riulta: 3 3 S 78 cm S 78 cm 5.7 cm, 5.7. cm A 3 cm A 3 cm 3 3 cm cm 5.7cm 5.7cm Si noti che le coordinate del baricentro, nel riferimento,, hanno lo teo valore; queta circotanza era prevedibile ed è legata al fatto che l ae di immetria della ezione è inclinato di 5 nel riferimento,, dunque tutti i uoi punti ono caratterizzati dall avere le tee coordinate e. A#7 3

4 . Determinazione degli ai principali centrali di inerzia Si ricorda che e una ezione poiede un ae di immetria eo riulta eere principale centrale di inerzia, come pure l ae ad eo ortogonale e paante per il baricentro. Pertanto, con riferimento alla figura in eame, gli ai principali centrali di inerzia i identificano con l ae di immetria obliquo indicato con e l ae baricentrico ad eo ortogonale indicato con. Ripetto a tali ai il momento centrifugo riulta eere nullo, cioè. cm cm 5.7cm 5.7cm 5 A#7

5 3. Determinazione dell ellie centrale di inerzia ellie centrale di inerzia, riferita agli ai principali centrali di inerzia e, ha equazione: nella quale e inerzia della ezione eprei da: ono i emiai dell ellie che coincidono, com è noto, con i raggi giratori di,. A A Nelle relazioni precedenti: A è l area totale della ezione in eame; e ono i momenti principali centrali di inerzia della ezione eprimibili in funzione dei momenti del econdo ordine,, ripetto al itema di riferimento baricentrico,. 3. Calcolo del momento di inerzia della ezione ripetto all ae l calcolo dei momenti del econdo ordine ripetto al riferimento è effettuato avvalendoi della proprietà additiva per i momenti del econdo ordine, fruttando la compoizione in due quadrati operata in precedenza e applicando, ove neceario, il teorema del traporto. l momento di inerzia della ezione ripetto all ae è dato dalla differenza dei momenti di inerzia ripetto all ae dei ingoli quadrati e, cioè:, A#7 5

6 Per la valutazione di e i applica il teorema del traporto; nel eguito indica il momento di inerzia del quadrato ripetto ad un ae parallelo all ae e paante per il baricentro, analogamente indica il momento di inerzia del quadrato ripetto ad un ae parallelo all ae e paante per il baricentro. A cm A cm Si ha in definitiva: cm cm cm cm cm cm cm 5.7cm 5.7cm A#7 6

7 3. Calcolo del momento di inerzia della ezione ripetto all ae l momento di inerzia della ezione ripetto all ae è dato dalla differenza dei momenti di inerzia ripetto all ae dei ingoli quadrati e, cioè: Per la valutazione di e i applica il teorema del traporto; nel eguito indica il momento di inerzia del quadrato ripetto ad un ae parallelo all ae e paante per il baricentro, analogamente indica il momento di inerzia del quadrato ripetto ad un ae parallelo all ae e paante per il baricentro. A cm A cm Si ha in definitiva: cm cm cm cm cm cm cm 5.7cm 5.7cm A#7 7

8 3.3 Calcolo del momento di inerzia centrifugo ripetto agli ai e l momento di inerzia centrifugo della ezione ripetto agli ai e è dato dalla differenza dei momenti di inerzia centrifughi ripetto agli ai e dei ingoli quadrati e Per la valutazione di e i applica il teorema del traporto; nel eguito indica il momento di inerzia centrifugo del quadrato ripetto agli ai e paanti per il baricentro e paralleli agli ai e, analogamente indica il momento di inerzia del quadrato ripetto agli ai e paanti per il baricentro centrifughi eendo riulta e, e,. e paralleli agli ai e. momenti ono riportati nelle formule che eguono olo per completezza, infatti ai principali centrali di inerzia, ripettivamente, per i quadrati e, A cm A cm cm cm cm cm 5.7cm 5.7cm cm cm Si ha in definitiva: cm A#7 8

9 3. Ellie centrale di inerzia Noti, relazione: e, i momenti principali centrali di inerzia e poono calcolari attravero la cm cm Noti e, i poono in definitiva calcolare i raggi giratori di inerzia, i ha: cm,. cm. A 3 A 3 Queti ultimi definicono l equazione dell ellie centrale di inerzia nel riferimento principale, permettendone coì la ua individuazione (effettuabile per punti ad eempio) coì come indicato in Figura. cm cm A#7 9

10 individuazione dell ellie, noti i emiai e, può conduri anche fruttando una emplice cotruzione grafica di eguito illutrata e riportata chematicamente nella Figura eguente. Cotruzione grafica di un ellie noti che iano i uoi emiai. Tracciare i emiai dell ellie e le circonferenze di centro aventi per raggi i emiai tei;. Tracciata per la generica emiretta r, condurre dalla ua interezione A con la circonferenza interna la retta r i parallela al emiae maggiore, e dall interezione B con la circonferenza eterna la retta r e parallela al emiae minore; 3. l punto E interezione di r i e r e è punto dell ellie;. Ripetere la cotruzione per un numero di punti ufficiente alla cotruzione dell ellie. E B A r r i r e A#7

11 . Determinazione del nocciolo centrale di inerzia l nocciolo centrale di inerzia di una figura piana è il luogo dei centri relativi delle rette del piano che non tagliano la figura o, nella polarità d inerzia di centro il baricentro della figura (polarità eitente tra le rette del piano e i immetrici ripetto a dei loro centri relativi), il nocciolo centrale di inerzia è il luogo degli antipoli delle rette del piano che non tagliano la figura. l nocciolo è qui di eguito individuato attravero la cotruzione del uo contorno e ciò, in particolare, attravero la determinazione della poizione dei vertici dello teo, determinati come antipoli delle rette tangenti alla frontiera (o contorno) della figura rea convea. l contorno del nocciolo centrale di inerzia della ezione in eame è quindi una figura a vertici ciacuno dei quali rappreenta l antipolo di una delle tangenti al contorno della ezione rea convea.. Metodo analitico e coordinate dei vertici R ( i,,3, ) del nocciolo centrale di inerzia poono eere calcolate i nel riferimento ortogonale prima coniderato previa determinazione, nello teo, riferimento, delle equazioni delle rette r i ( i,,3, ) tangenti al contorno della figura rea convea. Nota infatti l equazione di una retta nel riferimento, nella forma a b, dove e ono da intenderi valutate nel riferimento e il pedice è omeo per,, comodità, il uo antipolo, nello teo riferimento, ha coordinate P, ; a b A a b A P P fornite da: nelle quali compaiono, oltre ai coefficienti a e b dell equazione della retta coniderata, l area A della ezione e i momenti del econdo ordine della tea ezione ripetto al riferimento valutati in precedenza. n particolare: per rette di equazione b, cioè parallele all ae, ponendo per emplicità q b, dalle precedenti riulta: P P, P ; P qa qa per rette di equazione a, quindi parallele all ae, ponendo * q a i ha invece: A#7

12 P ; * P * q A q A Con riferimento alla Figura, le rette tangenti al contorno della ezione rea convea hanno, nel riferimento, le eguenti equazioni:, retta r (parallela all ae ):.6; retta r (parallela all ae ): 5.7 ; retta r 3 (parallela all ae ): 5.7 ; retta r (parallela all ae ):.6. Riepilogando, nel riferimento,, le rette tangenti alla figura rea convea hanno equazioni: r :.6 r : 5.7 r3 : 5.7 r :.6 r r cm cm r 5.7cm 5.7cm r 3 A#7

13 Applicando le formule prima richiamate, i poono quindi calcolare le coordinate dei vertici R, R, R 3 e R, antipoli ripettivamente delle rette r, r, r 3 e r. Si calcola: coordinate punto R (antipolo della retta r di equazione.6, parallela all ae ): R.9 cm; 9. ; R cm qa.63 qa.63 coordinate punto R (antipolo della retta r di equazione 5.7, parallela all ae ): R 3.9 cm;.3 ; * R cm * q A q A coordinate punto R 3 (antipolo della retta r 3 di equazione 5.7, parallela all ae ): R qa R.3 cm; 3.9 cm; 3 3 qa coordinate punto R (antipolo della retta r di equazione.6, parallela all ae ): R 9. cm;.9 ; * R cm * q A.63 q A.63 Unendo i punti R i coì individuati i ottiene il contorno, e quindi il nocciolo centrale di inerzia della ezione in eame, come illutrato in Figura. Si ricorda che i lati del nocciolo ono le antipolari dei vertici della ezione. Si oerva inoltre che, data la immetria della ezione ripetto all ae principale, ai fini della individuazione del contorno del nocciolo, è ufficiente determinare le coordinate di due oli vertici, ad eempio R ed R eendo r R R 3 cm cm R r r R 3 ed R i punti immetrici di R ed R ripetto all ae. R r 3 A#7 3

14 . Metodo grafico n alternativa alla procedura analitica prima epota, di eguito i propone un metodo grafico per l individuazione dei vertici del nocciolo centrale d inerzia. l metodo è riportato in intei, per pai operativi equenziali e relativamente alla determinazione di un olo vertice del nocciolo della ezione in eame, eendo la cotruzione grafica facilmente ripetibile per i retanti vertici. a cotruzione è quella che conente, data una figura piana della quale i ia determinata l ellie centrale d inerzia, di individuare l antipolo R di una qualiai retta r del piano. Ea i baa u una relazione notevole della polarità d inerzia di centro, nota come relazione di coniugio, eprea da: r R R ' nella quale: r è la retta parallela ad r e paante per il baricentro della figura; è il raggio giratore d inerzia ripetto a r, definito dal emidiametro dell ellie appartenente r alla direzione * r coniugata ad r ; R è l antipolo della retta r ; R è il coniugato di R ; R e R ' individuano i egmenti ripetto ai quali relazione di coniugio. r è medio proporzionale, come tabilito dalla Si rimanda ai libri di teto conigliati per i fondamenti teorici ui quali i baa la cotruzione propota. A#7

15 Con riferimento alla Figura, i pai operativi della cotruzione propota ono: # Nota l ellie centrale di inerzia e fiata la tangente r, della quale i vuole individuare l antipolo R, i tracciano le tangenti all ellie parallele a r, individuando coì i punti di tangenza A e B. # a retta paante per i punti di tangenza A e B è la direzione * r coniugata ad r, la ua interezione con r è il punto R, coniugato di R ; il raggio giratore r coincide con il emidiametro B (o A ); #3 Si ruota B di 9 ì da diporlo ull ortogonale per alla direzione coniugata * r, ia B ' il egmento coì ottenuto; # Si unice R con B e i conduce per B l ortogonale a R ' B ' ino ad interecare la direzione coniugata inerzia della ezione. * r in R, antipolo della retta r coniderata e vertice del nocciolo centrale di * r A R tg r B r r B R tg r r Ripetendo la cotruzione per le altre 3 tangenti alla figura rea convea i individua in modo completo il nocciolo centrale di inerzia della ezione. A#7 5