Esperienza n 6: Pendolo di Kater

Transcript

1 Eperienza n 6: Pendolo di Kater Sperimentatori: Marco Erculiani (N maricola 4549 v.o.) Ivan Noro (N matricola v.o.) Materiale a dipoizione: I materiali utilizzati per queta eperienza ono: Un pendolo fiico, cotituito da un ata rigida cui è applicata una cala graduata con errore di enibilità di 0.1 cm. Alle due etremità della ata ono fiati due coltelli perpendicolari all ata tea e u cui il pendolo poggia durante le ocillazioni. Inoltre vi ono due cilindri metallici, uno fio u una etremità,e l altro libero di muoveri lungo la cala graduata opra citata. Quet ultima ha un foro al centro, che permette di determinare l eatta poizione della maa tramite la cala graduata. Definiamo configurazione dritta la poizione in corripondenza della quale l ae di openione i trova più vicino al baricentro, rovecia la configurazione oppota. Definiamo coniugate invece le configurazioni corripondenti alla poizione dritta e rovecia, a parità di condizioni. In figura 1 e motrato uno chema del pendolo

2 figura 1: chema del pendolo Un cronometro digitale con enibilità arretata al milleimo di econdo (0.001 ), azionato manualmente. Un righello di enibilità 0.1 cm che erve per determinare l ampiezza delle ocillazioni. Scopo dell eperienza: Lo copo dell eperienza è quello di determinare il valore dell accelerazione di gravità mediante l utilizzo del pendolo reveribile di Kater. Cenni teorici: Per calcolare l accelerazione di gravità, dobbiamo tenere preente un fatto molto importante, e cioe che il periodo di ocillazione che il pendolo compie attono ai due coltelli, e agli etremi oppoti del pendolo, deve eere lo teo. Richiamando il teorema di Steiner, oia il

3 teorema che deigna il momento d inerzia di un corpo che ruota attorno ad un ae non paante per il uo centro di maa, poiamo crivere la formula 1 dove a g è il raggio giratore del itema, oia la ditanza tra l'ae paante per il centro di maa e quello parallelo attorno cui ruota il itema e a e il raggio del itema : 1 T a ( ) + a g = πf k ga formula 1:teorema di Steiner dove a g è il raggio giratore del itema, oia la ditanza tra l'ae paante per il centro di maa e quello parallelo attorno cui ruota il itema e a e il raggio del itema. Per determinare i punti di openione in cui è verificato l iocronimo, ineriamo un nuovo ae di openione parallelo a quello iniziale, e imponiamo che (formula ): a g + a ag + a = a a ' ' formula :condizione per ricavare le relazioni dei punti iocroni, dove Le oluzioni dell equazione ono due, e piu preciamente: a = a ' e ag a ' =, a Tuttavia, olo la econda ha ignificato fiico. a ' è il raggio giratore del nuovo ae. A queto punto, otituendo la formula nella formula 1 otteniamo la formula 3, che dipende oltanto dall accelerazione di gravita g e dalla lunghezza del pendolo compoto: T πf 1 = a + a = ' ( k ) g g l

4 formula 3:equazione del pendolo compoto, dove a g è il raggio giratore del itema, oia la ditanza tra l'ae paante per il centro di maa e quello parallelo attorno cui ruota il itema, a e il raggio del itema e i chiama lunghezza ridotta del pendolo compoto. A queto punto poiamo ricavare il valore dell accelerazione di gravità, che riultera eere (formula 4): ( k ) l πf g = T. formula 4:formula per il calcolo dell accelerazione di gravita, dove a g è il raggio giratore del itema, oia la ditanza tra l'ae paante per il centro di maa e quello parallelo attorno cui ruota il itema, a e il raggio del itema e i chiama lunghezza ridotta del pendolo compoto. Il pendolo che noi utilizzeremo per queto eperimento è un corpo rigido che ocilla attorno ad un ae fio (ae di openione), otto l'azione della forza peo, e che i trova ad una ditanza a dal baricentro del pendolo teo. Da coniderazioni ul uo momento d'inerzia, ul momento della forza peo agente u di eo e ulla immetricità del uo moto, i ricavano, omettendo i paaggi per non appeantire troppo il teto, le formule 5 e 6: T = T F ; ( ) 0 k ( n 1) ( ) n k n π = T 1 A n= formule 5 e 6: relazioni ricavate da coniderazioni ul uo momento d'inerzia, ul momento della forza peo agente ul pendolo e ulla immetricità del uo moto. Confrontando le epreioni precedenti i ha che (formule 7 e 8) π T n 1 n F k = 1+ k. A ( ) n= n formule 7 e 8:equazioni ottenute dal confronto fra la 5 e la 6 0 = ; ( ) ( )

5 Analizza do la 8, i nota che la funzione ( k ) k > 1. Quindi il reto n-eimo (ε ) del rapporto tra la erie geometrica e F ( k ) nell approimare con la ua ridotta n-eima. Si avra pertanto (formula 9): F è minorante della erie geometrica di argomento k, che converge per k < 1, e diverge per,e proprio il limite maimo all errore che i commette Svolgimento: n = k ε ε k = ; + 1 k ε + k n Poiché cerchiamo il limite delle piccole ocillazioni, miuriamo per prima coa la ditanza h tra l ae di openione, e l interezione col banco di lavoro del pendolo teo. Avendo noi celto ε = 10 3, attravero la relazione tra b, h e θ 0 : Note dalle formule 10 e 11 le relazioni tra l angolo di ocillazione θ 0, la ditanza h tra l ae di openione e l interezione col banco di lavoro del pendolo e il braccio b, miurando h e fiando un valore di ε = 10 3 poiamo calcolare le altre variabili: arcin ε + ε ε θ =, b = h tanθ 0 formule 10 e 11: relazioni tra l angolo di ocillazione θ 0, la ditanza h tra l ae di openione e l interezione col banco di lavoro del pendolo e il braccio b I valori cercati ono i eguenti: h= ( 706± 0.5) ( ) b= ± θ = rad mm mm Fatte tali miure non reta che dare il via all eperimento. Si dipone la maa mobile preente ul pendolo a 10 cm dall ae di openione e i rileva il tempo impiegato per compiere 10 ocillazioni, tando attenti a far partire il cronometro all inizio della econda ocillazione, in modo da minimizzare gli errori.

6 La procedura viene reiterata potando di volta in volta la maa mobile di 10 cm fino ad arrivare a fondo cala. Tale procedura va fatta ia per la configurazione dritta (la poizione in corripondenza della quale l ae di openione i trova più vicino al baricentro) che per quella rovecia (la configurazione oppota) I dati ottenuti ono riportati nella eguente tabella 1, in cui ono elencate le ditanze della maa mobile, e i tempi, ripettivamente per la configurazione dritta e per quella rovecia: tempi () Ditanze (cm) diritto rovecio 10 cm,41 0,600 0 cm 0,919 0, cm 19,78 19, cm 19,16 19, cm 19,148 19, cm 19,445 19, cm 19,654 19, cm 0,070 0,40 90 cm 0,744 0,367 tabella 1: la tabella racchiude le ditanze della maa mobile, e i tempi, ripettivamente per la configurazione dritta e per quella rovecia Riportando i punti in un grafico (grafico 1) i ottengono due curve, una per la configurazione dritta (curva blu) e l altra per quella rovecia (curva roa), le quali i incontrano in almeno un punto. Conideriamo ogni punto con un proprio rettangolo di errore di emibae = 0. cm e emialtezza 3σ log = 3( 0.015) = 0. bio ico 045

7 grafico ditanza/tempo,500 tempo di ocillazione (),000 1,500 1,000 0,500 0,000 19,500 19, ditanza del peo (cm) grafico 1:rappreentazione grafica delle ocillazioni in funzione della ditanza del peo ul pendolo. Si poono vedere la curva per la configurazione dritta (in blu) e quella per la configurazione rovecia (in roa) Tale rappreentazione e tata eeguita con un foglio di carta millimetrata ed ha fornito il punto di interezione, che e P (7cm, 19,9 ).

8 Dunque ora rileviamo altre ette determinazioni di tempo, relative a 50 ocillazioni, facendo in modo che tre di quete cadano a detra e tre a initra del punto P di incontro. In tabella ono contenute le ditanze e i tempi che il cronometro ha fornito: tempi () ditanze (cm) diritto rovecio 4 100, , ,00 99, ,54 99, ,048 99, ,693 99, ,331 99, ,917 99,001 tabella : ditanze e tempi ottenuti con 50 ocillazioni in un intorno del punto P Riportiamo anche queti altri dati in grafico (grafico ), (ricordando che la linea blu i riferice alla configurazione dritta e quella roa alla configurazione rovecia) e coniderando ogni punto con un proprio rettangolo di errore di emibae = 0. cm e emialtezza 3σ log = = 0. ( ) bio ico 045

9 grafico ditanza/tempo in un intorno di P 101, , ,000 tempo di ocillazione 99,500 99,000 98,500 98,000 97, ditanza del peo

10 Grafico :grafico ottenuto mettendo nel piano carteiano le ditanze (in cm) e i tempi (in ) ottenuti con 50 ocillazioni in un intorno del punto P(ricordando che la linea blu i riferice alla configurazione dritta e quella roa alla configurazione rovecia). L'ultima miura da effettuare e' quella della ditanza dei coltelli di openione. A tal fine e' ufficiente un metro a natro, poiche' l'errore aociabile ( l = 1. mm) e' ufficiente piccolo ai fini della determinazione di g. Nella eercitazione in quetione i e' ottenuto L = ( ) m Soluzione del problema della miura Dall'interezione dei rettangoli di errore precedentemente trovati poiamo ora determinare il quadrilatero d errore del punto di interezione, dai cui vertici i ricava il periodo maimo e minimo relativi ad una ocillazione: Nel grafico 3 i vedono le interezioni dei rettangoli d errore con le relative formule per le rette che li congiungono (i ricorda che i tempi di ocillazione ono in econdi e le ditanze in mm:

11 y = -0, x + 110, y = -0, x + 110, y = -0, x + 104, y = -0, x + 104, grafico ditanza/tempo in un intorno di P 101, , ,000 tempo di ocillazione 99,500 99,000 98,500 98,000 97, ditanza del peo T max = = T = min =

12 dalle eguenti relazioni ricaviamo il periodo e la relativa indeterminazione: T + T max min T 0 = = T T max min T 0 = = Ora poiamo calcolare l accelerazione di gravita,attravero la formula 4: πf g = T ( k ) π l = T 0 l = cm L indeterminazione u g è data dalla teoria della propagazione degli errori, quindi arà: g g 4π 8π l g = l + T = l + T l T T T 3 Il valore coì ottenuto per g, è: g ± = cm. 6.6 concluioni L applicazione delle formule trattate ai dati raccolti ci ha portati al riultato g = ± cm che, pur eendo in oddifacente accordo con il valore teorico, offre di una indeterminazione troppo elevata. Queto è da attribuire, con buona probabilità, agli errori commei dagli perimentatori nella rilevazione dei tempi.