ESERCIZIO 1 L/2 C.R. D

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1 SRIZIO Il itema di corpi rigidi in figura è oggetto ad uno potamento impreo (cedimento), in direzione verticale e vero il bao, in corripondenza del vincolo in. Si vuole determinare la nuova configurazione del itema del itema dovuta al cedimento. egnata la forza P in, i vuole inoltre determinare il lavoro della forza. Il itema è compoto da tre travi concorrenti nel nodo. Si ricorda che la trave, caratterizzata dall avere una dimenione preponderante ripetto alle altre due (olido monodimenionale), può eere definita come un olido generato da una figura piana che i muove nello pazio conervandoi ortogonale alla curva decritta dal uo baricentro, denominata linea d ae. In particolare le travi con curva d ae contenuta in un piano ono dette travi piane. Il itema di travi in figura, cotituito da un unico corpo (n c, g.d.l.3n c 3), è vincolato al uolo mediante tre carrelli in, e. Il numero di condizioni di vincolo emplice, n v, è pari quindi ai gradi di libertà del itema. Gli ai dei carrelli non concorrono in uno teo punto, cioè i vincoli ono ben dipoti, per cui il itema è cinematicamente determinato. egnato il cedimento il corpo diventa labile, con un grado di labilità pari ad uno. P / ome noto, oltre che per via analitica, la configurazione variata ripetto a quella iniziale può eere determinata anche per via grafica, fruttando alcune proprietà dei centri di rotazione di ciacun elemento. Si è già vito come un qualiai potamento infiniteimo di un corpo rigido poa eere ricondotto ad una rotazione intorno ad un punto definito come centro aoluto di rotazione del corpo teo. Individuiamo innanzitutto la poizione del centro di rotazione del notro itema di travi..r.

2 Prolungando la retta, che corriponde all ae del carrello in, e la retta, che corriponde all ae del carrello in, nella loro interezione i individua il centro di rotazione del corpo che coincide con il punto. Una volta trovato il centro di rotazione del corpo i può determinare, aegnato il cedimento, la rotazione del corpo, gli potamenti dei punti del itema e quindi diegnare la configurazione variata. Inoltre conocendo le componenti di potamento di un generico punto e il centro aoluto i poono ricavare le componenti di potamento di qualiai altro punto del itema. Proiettati il centro aoluto e i punti,,,, ulle rette orizzontali e verticali parallele agli ai di riferimento x e y, i poono cotruire i diagrammi delle componenti orizzontali e verticali degli potamenti. y.r..r. x (3/).R. / poibile quindi determinare l angolo di rotazione (il vero, poitivo perché antiorario, è indicato in figura): Una volta noto l angolo di rotazione, mediante emplici coniderazioni ulla imilitudine dei triangoli i poono determinare gli potamenti di tutti i punti in funzione di. È ovviamente poibile calcolare le componenti dello potamento di un generico punto P i di coordinate (x i, y i ) anche mediante le note epreioni: ix - y i iy x i alle uddette epreioni i evince che i diagrammi delle componenti di potamento orizzontali e verticali devono variare linearmente con l ordinata y e che gli potamenti orizzontali devono variare linearmente con l acia x. oniderando come polo di riferimento il centro di rotazione, i ha: x - y - (-) y x (-) - x - y - (-) y x () x - y - () y x -

3 3 3 x - y - () y x e componenti di potamento di ono ovviamente nulle, eendo il centro aoluto di rotazione del corpo. Si noti che gli potamenti orizzontali dei punti e ono uguali in quanto hanno la tea ordinata, analogamente tutti i punti con uguale acia ubicono lo teo potamento verticale. Si può a queto punto diegnare la configurazione variata che, nella figura eguente, è indicata dalla linea tratteggiata. angolo, di 9 nella configurazione iniziale, deve rimanere retto nella configurazione variata in quanto la rotazione del corpo è rigida, coì come l angolo deve rimanere di 45..R. (3/) Riolviamo ora l eercizio analiticamente, ricordando l epreione che permette di determinare la componente di potamento di un generico punto econdo una data direzione: Ox Ox ir [ α r β r ( α r yi + β r xi )] Oy [ α r β r dir ] Oy ϑ ϑ onideriamo come polo di riferimento (il conueto itema di riferimento carteiano arà centrato nel polo). Si aumono come poitive le rotazioni antiorarie. egniamo, in corripondenza dei vincoli le componenti di potamento r, y, y con i veri indicati in figura (tali veri ono tati prei concordi con gli ai di riferimento x e y). Tali potamenti dei vincoli aranno tutti uguali a zero, ad eccezione di y che arà invece pari a. y x y r y / 3

4 4 Per cui, lo potamento r arà dato da (α e β ono i coeni dell angolo formato dalla direzione di potamento di con gli ai x e y ripettivamente del itema di riferimento xy centrato nel polo ): ( ) [ ] + β α β α y x y x r r r r r x y Procedendo allo teo modo per le altre due componenti di potamento, i può quindi cotruire il itema di equazioni q: y y r y x Riolvendo il itema di equazioni ( - q), i ricavano le componenti dello potamento generalizzato: x y Una volta noto lo potamento generalizzato i può procedere al calcolo degli potamenti degli altri punti del corpo. d eempio, le componenti di potamento dei punti, ed ono: [ ] x [ ] y [ ] x [ ] y [ ] x 3 3 y che coincidono con quanto trovato con il procedimento grafico. Il centro di rotazione arà dato da: y R x x R y e quindi avrà le eguenti coordinate: y R x R Per cui coinciderà con il polo di riferimento. alcoliamo ora il lavoro compiuto dalla forza P. P P 3

5 Scegliamo ora come un nuovo polo di riferimento il punto. r x y y y Riolvendo il itema di equazioni ( - q), i ricavano le componenti dello potamento generalizzato: x y ome i può notare la rotazione è rimata invariata. Il centro di rotazione avrà le eguenti coordinate: y R x Per cui coinciderà con il punto. x R y onideriamo ora il cao il cedimento ia impoto nel carrello nella direzione dello potamento impedito dal vincolo. y P r y / Il centro di rotazione i troverà all interezione degli ai dei due carrelli in e in. Poiché i due ai ono paralleli, il centro di rotazione i troverà all infinito. Il corpo trala in direzione orizzontale di. Riolviamo ora l eercizio analiticamente, come vito in precedenza. onideriamo come polo di riferimento empre il punto. Si aumono come poitive le rotazioni antiorarie. egniamo, in corripondenza dei vincoli le componenti di potamento r, y, y con i veri indicati in figura (tali veri ono tati prei concordi con gli ai di riferimento x e y). Tali potamenti dei vincoli aranno tutti uguali a zero, ad eccezione di r che arà invece pari a. r y y x y 5

6 Riolvendo il itema di equazioni ( - q), i ricavano le componenti dello potamento generalizzato : x y Una volta noto lo potamento generalizzato i può procedere al calcolo degli potamenti degli altri punti del corpo. d eempio, le componenti di potamento dei punti, ed ono: x [ ] y [ ] x [ ] [ ] [ ] x y Il centro di rotazione avrà le eguenti coordinate: y 3 y R x x x R y y Il lavoro compiuto dalla forza P arà pari a zero, eendo lo potamento del punto di applicazione in direzione verticale. onideriamo ora il cao il cedimento ia impoto nel carrello nella direzione dello potamento impedito dal vincolo. P y r / y Riolviamo prima l eercizio analiticamente. oniderando come polo di riferimento empre il punto. Si aumono come poitive le rotazioni antiorarie. egniamo, in corripondenza dei vincoli le componenti di potamento r, y, y con i veri indicati in figura (tali veri ono tati prei concordi con gli ai di riferimento x e y). Tali potamenti dei vincoli aranno tutti uguali a zero, ad eccezione di y che arà invece pari a -. 6

7 r x y y y Riolvendo il itema di equazioni ( - q), i ricavano le componenti dello potamento generalizzato : x y Una volta noto lo potamento generalizzato i può procedere al calcolo degli potamenti degli altri punti del corpo. d eempio, le componenti di potamento dei punti,, ed ono: x [ ] [ ] y x [ ] [ ] y x [ ] [ ] y x [ ] 3 y Il centro di rotazione avrà le eguenti coordinate: y R x y ( ) x R Riolviamo ora l eercizio per via grafica. Individuiamo innanzitutto la poizione del centro di rotazione del notro itema di travi. Prolungando la retta, che corriponde all ae del carrello in, e la retta verticale paante per, che corriponde all ae del carrello in, nella loro interezione i individua il centro di rotazione del corpo. Una volta trovato il centro di rotazione del corpo i può determinare, aegnato il cedimento -, la rotazione del corpo, gli potamenti dei punti del itema e quindi diegnare la configurazione variata. Inoltre conocendo le componenti di potamento di un generico punto e il centro aoluto i poono ricavare le componenti di potamento di qualiai altro punto del itema. Proiettati il centro aoluto e i punti,,,, ulle rette orizzontali e verticali parallele agli ai di riferimento x e y, i poono cotruire i diagrammi delle componenti orizzontali e verticali degli potamenti. poibile quindi determinare l angolo di rotazione : Una volta noto l angolo di rotazione, mediante emplici coniderazioni ulla imilitudine dei triangoli i poono determinare gli potamenti di tutti i punti in funzione di. 7

8 .R. / a configurazione variata è indicata in figura

9 SRIZIO on riferimento alla Fig., aegnato lo potamento : a) determinare la poizione dei centri itantanei di rotazione; b) determinare i diagrammi delle componenti orizzontali e verticali degli potamenti; c) calcolare la rotazione di ciacun corpo; d) determinare gli potamenti dei punti,,,,, F e) diegnare la nuova configurazione del itema. F / / / Fig. Il itema (un arco a tre cerniere) è cotituito da due corpi. Ha quindi ei gradi di libertà. I corpi ono vincolati da due cerniere eterne e una cerniera interna che fornicono compleivamente ei condizioni di vincolo emplice, quattro ugli potamenti aoluti e due ugli potamenti relativi. Inoltre le due cerniere eterne e la cerniera interna non ono allineate, per cui i vincoli ono ben dipoti. Il itema è cinematicamente determinato. eterminiamo ora la poizione dei centri di rotazione. caua del cedimento il punto, appartenente al corpo (corpo ), potrà potari in direzione verticale. Il uo centro di rotazione,, i troverà quindi in direzione perpendicolare a tale direzione. Il centro di rotazione,, del corpo F (corpo ) è la cerniera fia F. Il centro di rotazione relativa,, tra i due corpi coincide con il punto. ome noto i centri aoluti di rotazione e il centro relativo dovranno eere allineati, per cui i troverà all interezione della retta orizzontale paante per e della retta paante per e. oinciderà quindi anch eo con il punto F. Si avrà quindi: x y x y x y / x y x y / 9

10 F / / /4 / SRIZIO 3 Per la truttura rappreentata in Fig., aegnato il cedimento vincolare, i richiede di: calcolare gli potamenti; calcolare il lavoro compiuto dalla forza P. F P Fig. Soluzione: Il itema (un arco a tre cerniere) è cotituito da due corpi. Ha quindi ei gradi di libertà. I corpi ono vincolati da due cerniere eterne e una cerniera interna che fornicono compleivamente ei condizioni di vincolo emplice, quattro ugli potamenti aoluti e due ugli potamenti relativi. Inoltre le due cerniere eterne e la cerniera interna non ono allineate, per cui i vincoli ono ben

11 dipoti. Il itema è cinematicamente determinato. eterminiamo ora la poizione dei centri di rotazione. caua del cedimento il punto, appartenente al corpo (corpo ), potrà potari in direzione orizzontale. Il uo centro di rotazione,, i troverà quindi in direzione perpendicolare a tale direzione. Il centro di rotazione,, del corpo (corpo ) è la cerniera fia. Il centro di rotazione relativa,, tra i due corpi coincide con il punto. ome noto i centri aoluti di rotazione e il centro relativo dovranno eere allineati, per cui i troverà all interezione della retta verticale paante per e della retta paante per e. Si avrà quindi: x, y x, y / x, y Fx /, Fy / x, y / x, y / /4 /4 /8 P Fx 8 / 4 p / F P p / /4 SRIZIO 4 on riferimento alla Fig., aegnato lo potamento : determinare la poizione dei centri itantanei di rotazione, i diagrammi delle componenti orizzontali e verticali degli potamenti, la rotazione di ciacun corpo, gli potamenti dei punti,,,,, F, e diegnare la nuova configurazione del itema. p F Fig.

12 Soluzione: Il itema è cotituito da due corpi. Ha quindi ei gradi di libertà. I corpi ono vincolati da due carrelli, una cerniera eterna e una cerniera interna che fornicono compleivamente ei condizioni di vincolo emplice, quattro ugli potamenti aoluti e due ugli potamenti relativi. Inoltre la cerniera eterna, la cerniera equivalente che i trova all interezione degli ai dei due carreli e la cerniera interna non ono allineate, per cui i vincoli ono ben dipoti. Il itema è cinematicamente determinato. eterminiamo ora la poizione dei centri di rotazione. caua del cedimento il punto, appartenente al corpo (corpo ), potrà potari in direzione orizzontale. Il punto non ci può fornire neuna informazione ulla poizione del centro di rotazione in quanto ha caua del cedimento è diventato un etremo libero. Il centro di rotazione,, i troverà quindi ulla cerniera fia in. Il centro di rotazione relativa,, tra i due corpi coincide con il punto. Il centro di rotazione,, del corpo F (corpo ) i troverà all interezione della retta verticale paante per F (ae del carrello) e della retta paante per e. F Valori aoluti potamenti x y 5 x y x y x y

13 SRIZIO 5 on riferimento alla Fig., aegnato lo potamento : determinare la poizione dei centri itantanei di rotazione, i diagrammi delle componenti orizzontali e verticali degli potamenti, la rotazione di ciacun corpo, gli potamenti dei punti,,,,, F, G e diegnare la nuova configurazione del itema. F G Fig. Soluzione: x / y -/ x / y Gx Gy Fx Fy x / y 3/ x / y x y G / G (3/) / 3

14 SRIZIO 6 on riferimento alla Fig., aegnato lo potamento : determinare la poizione dei centri itantanei di rotazione, i diagrammi delle componenti orizzontali e verticali degli potamenti, la rotazione di ciacun corpo, gli potamenti dei punti,,,,, F e diegnare la nuova configurazione del itema. F Soluzione: Fig. F ϑ ϑ 4

15 SRIZIO 7 on riferimento alla Fig., aegnata la rotazione antioraria : determinare la poizione dei centri itantanei di rotazione; determinare i diagrammi delle componenti orizzontali e verticali degli potamenti; calcolare la rotazione di ciacun corpo; determinare gli potamenti dei punti,,,, Soluzione 5