Cinematica ed equilibrio del corpo rigido

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1 omportamento meccanico dei materiali inematica piana omportamento meccanico dei materiali inematica ed equilibrio del corpo rigido inematica piana Equilibrio esterno aratteristiche di sollecitazione Politecnico di Torino 1

2 omportamento meccanico dei materiali inematica piana inematica ed equilibrio del corpo rigido inematica piana Rotazione rigida finita Rotazione rigida infinitesima Vincoli inematica delle strutture piane Politecnico di Torino 2

3 omportamento meccanico dei materiali inematica piana inematica piana Rotazione finita nel piano (1/8) π π La figura piana π si muove in π. Il moto è rigido: cioè nessun segmento cambia la sua lunghezza Politecnico di Torino 3

4 omportamento meccanico dei materiali inematica piana Rotazione finita nel piano (2/8) π π Il segmento si sposta in. Il segmento è lo spostamento di, lo spostamento di. 7 Rotazione finita nel piano (3/8) b a π π H H Per H e H, punti medi dei segmenti e, conduco le perpendicolari, cioè traccio i due assi a e b. Gli assi s intersecano in Politecnico di Torino 4

5 omportamento meccanico dei materiali inematica piana Rotazione finita nel piano (4/8) b a Per definizione π π di asse si ha l uguaglianza delle lunghezze: = H H = e infine era: =. Quindi, avendo tre lati uguali, sono uguali i triangoli: = ' '. 9 Rotazione finita nel piano (5/8) Siccome è in comune, il moto del segmento (spostamento rigido finito) può essere pensato come una rotazione attorno a un punto fisso, che assume il significato di centro medio della rotazione. Questo non significa che sia centro medio di rotazione di altri segmenti, o di tutti occorre quindi indagare ulteriormente Politecnico di Torino 5

6 omportamento meccanico dei materiali inematica piana Rotazione finita nel piano (6/8) a π π ϕ H ϕ Se ora prendiamo un segmento per e formante con un angolo ϕ 11 Rotazione finita nel piano (7/8) a ngoli: Â=Â Â= Â π π Â=Â ϕ ϕ H ma siccome era anche: = ; = sono uguali i triangoli: = perché hanno uguali due lati e l angolo compreso Politecnico di Torino 6

7 omportamento meccanico dei materiali inematica piana Rotazione finita nel piano (8/8) d a ma allora: = π π H H Quindi il punto è sull asse di. Ma era anche sull asse di, perciò è centro di rotazione del segmento. Procedendo così si può prendere qualsiasi segmento. 13 Rotazione finita nel piano: conclusione 1 Si conclude: tutti i segmenti del corpo rigido ruotano attorno al medesimo centro di rotazione (rigida, finita). In altri termini: lo spostamento roto-traslatorio finito di un corpo rigido (nel piano) è sempre definibile come una rotazione rigida attorno a un punto Politecnico di Torino 7

8 omportamento meccanico dei materiali inematica piana Rotazione finita nel piano: conclusione 2 a π π H d H La conseguenza di =, cioè il fatto che siano uguali gli angoli sotto cui da si vedono i segmenti e è: Ĉ=Ĉ+ Ĉ= Ĉ + Ĉ Ĉ= Ĉ cioè sono uguali gli angoli sotto cui da si vedono gli spostamenti e. 15 inematica piana 2006 Politecnico di Torino 8

9 omportamento meccanico dei materiali inematica piana tto di moto (1/5) Se si fa tendere ad, ovvero se si prendono spostamenti infinitesimi: =d ; =d si definisce l atto di moto nell intorno della posizione iniziale -. d d H 17 tto di moto (2/5) ome dimostrato in precedenza per le rotazioni finite, l angolo δϑ è lo stesso per gli spostamenti di tutti i punti, quindi per e, o, in generale, per qualsiasi punto P, che subisce uno spostamento PP. dϑ d dϑ d H Politecnico di Torino 9

10 omportamento meccanico dei materiali inematica piana tto di moto (3/5) Inoltre il valore degli spostamenti si calcola: dϑ dϑ d = 2 sin 2 = dϑ 2 = dϑ 2 e quindi per un qualsiasi punto P: d dp = P dϑ d H 19 tto di moto (4/5) E inoltre per: d, d 0 ovvero per: d ϑ 0 ˆ ', ˆ ' 90 e raggiunge la sua posizione per l atto di moto nell istante considerato. dϑ d d Politecnico di Torino 10

11 omportamento meccanico dei materiali inematica piana tto di moto (5/5) l limite: non è possibile P=,, altro rappresentare lo spostamento, ma si può rappresentare la velocità dp P dϑ = dt dt in una scala diversa da quella utilizzata per i segmenti. La velocità visualizza lo spostamento infinitesimo dp = P dϑ 21 alcolo della cinematica (1/11) La rotazione infinitesima dell angolo dϑ attorno a sposta un punto P di un segmento dp : dp = i d123 ϑ P dϑ i = operatore che ruota P, inteso come segmento orientato da a P, di 90 nello stesso senso in cui è positiva la rotazione dϑ. dp P Politecnico di Torino 11

12 omportamento meccanico dei materiali inematica piana alcolo della cinematica (2/11) Perciò: ogni atto di moto infinitesimo di un corpo può essere pensato come una rotazione infinitesima di valore angolare dϑ attorno a un centro di rotazione istantanea. Questo centro di rotazione istantanea, in generale, cambia nel tempo, tranne nei casi in cui esso sia un punto fisso (ad esempio, quando il corpo è vincolato tramite una cerniera o un perno). 23 alcolo della cinematica (3/11) Se il punto è all infinito, come capita quando gli spostamenti agli estremi di un segmento qualsiasi del corpo sono uguali in valore, direzione e verso, il moto è una traslazione rigida: H ( ) H ( ) Politecnico di Torino 12

13 omportamento meccanico dei materiali inematica piana alcolo della cinematica (4/11) E importante sapere che il centro di istantanea rotazione esiste sempre, e quindi che ogni atto di moto è una rotazione rigida infinitesima attorno a un centro di rotazione. Può essere però conveniente esprimere il moto senza fare esplicito il riferimento al punto, che potrebbe non essere stato determinato; si può, ad esempio, esprimere il moto di a partire dal moto del punto ; vediamo come. 25 alcolo della cinematica (5/11) all esistenza di : d= i d ϑ d= i d ϑ ( + ) = i d ϑ + i d ϑ Quindi: d d = d + i d ϑ ioè, il moto di può essere pensato come la somma dello spostamento di più il moto rotatorio di relativamente ad Politecnico di Torino 13

14 omportamento meccanico dei materiali inematica piana alcolo della cinematica (6/11) ossia come una traslazione rigida di valore più una rotazione attorno ad. d d dϑ d = d + i d ϑ d i d ϑ con la medesima rotazione, unica per tutto il corpo 27 alcolo della cinematica (7/11) I moti d e d non possono essere dati in modo indipendente. Moltiplicando scalarmente secondo la direzione Z dell asse : Z = Poiché i d ϑ è ortogonale ad : d Z = d Z + (i d ϑ ) Z d Z = Politecnico di Torino 14

15 omportamento meccanico dei materiali inematica piana alcolo della cinematica (8/11) Quindi d e d devono avere la medesima proiezione secondo. Questa è una conseguenza del d fatto che d deve avere la stessa lunghezza di. dϑ d Z 29 alcolo della cinematica (9/11) ato un d, sono compatibili solo i d che soddisfano a questa condizione, che espressa graficamente: d = = d compatibili Politecnico di Torino 15

16 omportamento meccanico dei materiali inematica piana alcolo della cinematica (10/11) Tutto quanto dimostrato esattamente per rotazioni rigide infinitesime verrà considerato valido, nell ambito di una approssimazione, per rotazioni rigide finite ma molto piccole, cioè tali da produrre spostamenti molto piccoli rispetto ai segmenti che vengono ruotati. 31 alcolo della cinematica (11/11) Indicativamente, possiamo assumere che siano numericamente piccole le rotazioni da 0 a 8. ϑ = cosϑ 2 ϑ Sviluppando in serie, cos ϑ 1 2 e se: ϑ < 8 cos ϑ = 0,99K la lunghezza differisce da di meno dell 1% Politecnico di Torino 16

17 omportamento meccanico dei materiali inematica piana inematica piana Tipi di vincoli (1/4) Noi studiamo i soli vincoli puntuali: sono impedimenti a spostamenti o rotazioni in un dato punto. Si possono realizzare in modi diversi, ma vengono classificati per tipi a seconda di quali sono i gradi di libertà cinematici (ossia le componenti di spostamento o rotazione) che essi vincolano Politecnico di Torino 17

18 omportamento meccanico dei materiali inematica piana Simbolo v Tipi di vincoli (2/4) escrizione ppoggio in : Impedisce solo la traslazione nella direzione v v() = 0 v h erniera in : Impedisce gli spostamenti secondo le due direzioni v, h ; v() = 0 ; h() = 0 Impedisce cioè ogni traslazione nel piano. 35 Tipi di vincoli (3/4) Simbolo escrizione v h α oppure } h() Incastro in : Impedisce spostamenti e rotazione: v() = 0 ; h() = 0 ; α () = 0 Pattino in : Impedisce lo spostamento secondo h e la rotazione α; = 0 ; α () = 0 (rappresentazione equivalente come bipendolo ) Politecnico di Torino 18

19 omportamento meccanico dei materiali inematica piana Tipi di vincoli (4/4) Questi erano i vincoli esterni, cioè capaci di annullare gradi di libertà rispetto ad un riferimento fisso, esterno alla struttura. i possono essere anche vincoli interni, tra diversi elementi della struttura. cerniera (interna) appoggio (esterno) cerniera (esterna) 37 Vincoli e strutture (1/2) seconda di quanti e quali sono i vincoli, si ottengono strutture rigide di caratteristiche diverse. corpo 1 corpo 2 corpo Politecnico di Torino 19

20 omportamento meccanico dei materiali inematica piana Vincoli e strutture (2/2) Premettiamo che i segmenti che rappresentiamo non sono necessariamente simboli per barre o travi, ma vanno intesi più in generale come segmenti che uniscono punti di vincolo (interni o esterni) di corpi aventi forma qualsiasi. corpo 1 corpo 2 corpo 3 39 inematica piana 2006 Politecnico di Torino 20

21 omportamento meccanico dei materiali inematica piana eterminazione cinematica Se i vincoli sono tali che tutti i movimenti sono determinati una volta che sia stato assegnato il valore di uno di essi, allora si ha una struttura cinematicamente determinata o meccanismo. corpo 1 corpo 2 corpo 3 41 Esempio (1/7) Un esempio semplice: (NOT: si assegnano spostamenti infinitesimi e rotazioni infinitesime) dv dϑ dv dh ssegniamo ora lo spostamento, verticale in : dv Politecnico di Torino 21

22 omportamento meccanico dei materiali inematica piana Esempio (2/7) d = d + i dϑ = dv + i dϑ dv + dϑ in proiezione verticale dv dϑ dv dh d = dv + i dϑ dv + dϑ in proiezione verticale 43 Esempio (3/7) d = d + i dϑ dv + dϑ in proiezione verticale dϑ dv dϑ dv dh ondizioni di vincolo: dv d = 0 dϑ = Politecnico di Torino 22

23 omportamento meccanico dei materiali inematica piana Esempio (4/7) Segue, in proiezione verticale: dv = dv dv v = dv 1 = dv P dv dϑ dv dv P = dv dv P = dv P 1 = dv P 45 Esempio (5/7) dv dv dv P = dv Z P Z P Z Z dϑ P dv dv Tratto : lo spostamento di è dato, quello di è nullo, perciò: Politecnico di Torino 23

24 omportamento meccanico dei materiali inematica piana Esempio (6/7) dv dϑ Tratto : lo spostamento di è noto, perciò: dv = dv + dϑ = 0 dv dϑ = dv dv dϑ dv dh P d = 0 47 Esempio (7/7) dv dϑ dv Il diagramma degli spostamenti, solo verticali: dv dv d = Politecnico di Torino 24

25 omportamento meccanico dei materiali inematica piana Esempio (1/3) = = = dv E F dv dv Soluzioni possibili per d compatibili con la rigidezza di dv 49 Esempio (2/3) dv E F dv dv F In questo caso, solo la soluzione verticale è compatibile con la cinematica di (,E,F). dv E 50 F 2006 Politecnico di Torino 25

26 = = omportamento meccanico dei materiali inematica piana Esempio (3/3) dv E F Il diagramma degli spostamenti: E 51 F Esempio (1/3) Se i vincoli non sono sufficienti, parti della struttura si possono muovere in più modi, non univocamente determinati da un solo grado di libertà. La struttura è allora cinematicamente indeterminata. E F Politecnico di Torino 26

27 = = omportamento meccanico dei materiali inematica piana Esempio (2/3) Il moto in può avere una direzione qualsiasi, perché il punto E può avere uno spostamento orizzontale, e perché inoltre ci può essere una rotazione di (,E,F) attorno a E. E F 53 La cinematica di (,E,F) è indeterminata. Esempio (3/3) E F E F Politecnico di Torino 27

28 omportamento meccanico dei materiali inematica piana Quando invece i vincoli sono tali da rendere impossibile il moto, la struttura è cinematicamente sovradeterminata. Esempio (1/2) I vincoli sono in grado impedire il moto sotto l azione di qualsiasi carico esterno (fin quando, ovviamente, qualche componente cede). 55 Esempio (2/2) Esempio c è solo una componente verticale c è anche una componente orizzontale Incompatibilità dei moti in sistema bloccato Politecnico di Torino 28