SISTEMI DI CONTROLLO CINEMATICA E DINAMICA DEI ROBOT

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1 SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica e del Veicolo SISTEMI DI CONTROLLO CINEMATICA E DINAMICA DEI ROBOT Ing. Cristian Secchi Tel [email protected] Moto di un Corpo Rigido Corpo Rigido: Insieme di particelle la cui distanza rimane costante nel tempo indipendentemente dal moto del sistema e dalle forze esercitate su di esso. Un robot è costituito da una serie di corpi rigidi (link) connessi tramite giunti che ne consentono il moto relativo. Problema Cinematico: Trovare la relazione tra le proprietà del moto (posizione, velocità, accelerazione, ) nello spazio di giunto Q e quelle nello spazio di lavoro W. Stabilità -- 2 Cristian Secchi Pag. 1

2 Moto di un Corpo Rigido - Ipotesi Il moto si svolge in uno spazio euclideo rappresentato da R 3 Su R 3 è definito un prodotto scalare da cui deriviamo la norma associata: Il sistema di riferimento di base è inerziale Stabilità -- 3 Moto di un Corpo Rigido - Ipotesi Proprietà del prodotto scalare θ u v Se u e v hanno norma unitaria il loro prodotto scalare è il coseno dell angolo formato dalle loro direzioni Stabilità -- 4 Cristian Secchi Pag. 2

3 Moto di un Corpo Rigido - Ipotesi Sfruttando l ipotesi di rigidità, possiamo studiare il moto di un corpo rigido come il moto di un sistema di riferimento ad esso solidale. In R 3 un corpo rigido ha 6 gradi di libertà 3 per la posizione 3 per l orientamento P z 1 y 1 F 1 x 1 z 0 y 0 F x 0 0 Stabilità -- 5 Moto di un Corpo Rigido - Notazione x 0 z 0 y 1 z 0 x1 O y 0 F 1 1 x 0 y 0 F 0 y 0 p O 1 x 1 z 1 z 1 In grassetto i versori degli assi Fissato un sistema di riferimento, ogni punto p R 3 può essere rappresentato da un vettore. Coordinate di p rispetto a F 0 Coordinate di p rispetto a F 1 Stabilità -- 6 Cristian Secchi Pag. 3

4 Moto di un Corpo Rigido - Rotazioni Qual è la relazione tra 0 p e 1 p? F 1 z 1 z 0 p y 1 O 0 = O 1 x 0 y 0 x 1 y 1 F 0 Usando le proprietà del prodotto scalare si vede che: Stabilità -- 7 Moto di un Corpo Rigido - Rotazioni NOTA: I versori hanno norma unitaria e, quindi, il prodotto scalare tra due versori non è altro che il coseno dell angolo compreso tra essi. Stabilità -- 8 Cristian Secchi Pag. 4

5 Moto di un Corpo Rigido - Rotazioni y 1 y 0 p F 1 x 1 θ F 0 x 0 Stabilità -- 9 Moto di un Corpo Rigido - Rotazioni i R j Matrice di Rotazione Rappresenta la configurazione di F j rispetto a F i ruotati l uno rispetto all altro. Proprietà delle matrici di rotazione Ogni rotazione è rappresentata da un elemento di SO(3) e ogni elemento di SO(3) rappresenta una rotazione Stabilità Cristian Secchi Pag. 5

6 Moto di un Corpo Rigido - Rotazioni L inversa di una matrice di rotazione esiste sempre L inverso della configurazione di F j rispetto a F i èla configurazione di F i rispetto a F j Stabilità Moto di un Corpo Rigido - Rotazioni p F 2 F 1 F 0 Più rotazioni si compongono semplicemente moltiplicando le rispettive matrici di rotazione. 0 R 2 rappresenta la configurazione di F 2 rispetto a F 0 Stabilità Cristian Secchi Pag. 6

7 Moto di un Corpo Rigido Traslazioni p F 1 0 O 1 O 1 0 O 1 =O 1 -O 0 O 0 F 0 Due sistemi di riferimento sono traslati uno rispetto all altro se le origini non coincidono ma gli assi hanno lo stesso orientamento Qual è la relazione tra 0 p e 1 p? 0 p=p-o 0 =p-o 1 +O 1 -O 0 = 1 p+ 0 O 1 Stabilità Moto di un Corpo Rigido - Rototraslazioni p 0 O 1 O 1 O 0 F 0 0 O 1 =O 1 -O 0 E possibile esprimere mediante una matrice la configurazione relative di due sistemi di riferimento rototraslati l uno rispetto all altro? Stabilità Cristian Secchi Pag. 7

8 Moto di un Corpo Rigido - Rototraslazioni Non è possibile esprimere una rototraslazione con una matrice 3 X 3. Rappresentiamo un punto in R 3 mediante un vettore di dimensione 4 usando le cosiddette coordinate omogenee La quarta coordinata è sempre 1 Stabilità Moto di un Corpo Rigido - Rototraslazioni Dati due sistemi di riferimento F 0 e F 1 rototraslati l uno rispetto all altro, costruiamo la seguente Matrice di Trasformazione Omogenea E una matrice 4 X 4 Dipende dalla rotazione relativa tra i due sistemi di riferimento Dipende dalla traslazione relativa dei due sistemi di riferimento L ultima riga è fissa, indipendente dalla configurazione relativa dei sistemi di riferimento Stabilità Cristian Secchi Pag. 8

9 Moto di un Corpo Rigido - Rototraslazioni La matrice di trasformazione omogenea rappresenta l effetto di una rototraslazione tra due sistemi di riferimento. La matrice di trasformazione omogenea rappresenta la configurazione di due sistemi di riferimento rototraslati l uno rispetto all altro. Stabilità Moto di un Corpo Rigido - Rototraslazioni 1 H 0 = 0 H 1 rappresenta la configurazione del sistema di riferimento 0 rispetto al sistema di riferimento 1 L inversione di una matrice di trasformazione omogenea è un operazione molto semplice e implica solo trasposizioni Stabilità Cristian Secchi Pag. 9

10 Moto di un Corpo Rigido - Rototraslazioni p F 2 F 0 F 1 p espresso in coordinate omogenee!! Più rototraslazioni si compongono semplicemente moltiplicando le rispettive matrici di trasformazione omogenea. Stabilità Teorema di Chasles Il moto più generico che un corpo rigido può compiere è una rototraslazione. Qualsiasi movimento può essere espresso da una serie di rototraslazioni. Le matrici di trasformazione omogenea ci consentono, quindi, di studiare qualsiasi moto di un corpo rigido. Stabilità Cristian Secchi Pag. 10

11 Moto di un Corpo Rigido Twist e Wrenches Siccome il moto più generico di un corpo rigido è una rototraslazione, possiamo intuitivamente dedurre che la velocità avrà un termine di traslazione e uno di rotazione. Analogamente la forza che potremo applicare avrà un termine traslazionale e uno rotazionale z 0 v z 1 ω F 1 x 1 y 1 x0 F 0 y 0 Una volta fissato un sistema di riferimento rispetto cui calcolare la velocità di un corpo rigido, è possibile rappresentare la velocità e la forza come un vettori. Stabilità Moto di un Corpo Rigido Twist e Wrenches TWIST WRENCH Il twist esprime, rispetto al sistema di riferimento scelto, la velocità generalizzata del corpo rigido: v esprime la traslazione e ω la rotazione. Il wrench esprime, rispetto al sistema di riferimento scelto, la forza generalizzata applicata al corpo rigido: f esprime la forza e m il momento. Stabilità Cristian Secchi Pag. 11

12 Cinematica Diretta F n F 0 Problema: Trovare la configurazione del sistema di riferimento solidale con l end-effector (F n ) rispetto al sistema di riferimento solidale con la base del robot (F 0 ) Stabilità Cinematica Diretta Bisogna trovare 0 H n 0 H n dipenderà dalle n variabili di giunto q 1,, q n Calcolare 0 H n direttamente risulta molto difficoltoso Scomponiamo il Problema in sottoproblemi più semplici Stabilità Cristian Secchi Pag. 12

13 Cinematica Diretta F 2 F n-1 F 1 F n F 0 Considero un sistema di riferimento in corrispondenza di ogni giunto. Ciascun i H i+1 dipende unicamente dalla variabile di giunto su cui è posto F i ed è facile calcolarlo. Moltiplicando i vari termini trovati ottengo n H 0 Stabilità Esempio - Notazione Rappresenteremo il robot come: y 2 y 1 q 2 y 0 x 1 q 1 x 0 x 2 m i = massa link i q i = variabile del giunto i-esimo I i = momento di inerzia del link i-esimo attorno all asse che passa per il centro di massa a i = lunghezza del link i-esimo a Ci = distanza tra il giunto i e il centro di massa del link i-esimo g = forza di gravità lungo l asse y 0 τ i = coppia agente sul giunto i C i = cos(q i ) S i = sin(q i ) C ij = cos(q i +q j ) S ij = sin(q i +q j ) Stabilità Cristian Secchi Pag. 13

14 Cinematica Diretta - Esempio Stabilità Cinematica Inversa (q 1,,q n ) 0 H n (q 1,,q n ) Cinematica Diretta 0 H n (q 1,,q n ) (q 1,,q n ) Cinematica Inversa Problema: Trovare il valore delle variabili di giunto corrispondente a una data configurazione. Il problema consiste nell invertire una funzione NON LINEARE. Non esiste una soluzione chiusa ma esistono svariati approcci che risolvono casi di particolare interesse (es.: approccio di Pieper). Stabilità Cristian Secchi Pag. 14

15 Cinematica Differenziale F n F 0 Problema: Trovare il twist del sistema di riferimento solidale all end-effector rispetto a un sistema di riferimento solidale con la base del robot data la velocità nello spazio di giunto. Stabilità Cinematica Differenziale Il twist dipende dalla velocità dei giunti Il twist dipende dalla posizione dei giunti Il problema è di facile soluzione. E sempre possibile trovare un operatore che lega il twist alla velocità dei giunti. Stabilità Cristian Secchi Pag. 15

16 Cinematica Differenziale Jacobiano del robot Lo jacobiano dipende dalla posizione del robot in modo non lineare. Il legame tra velocità nello spazio di giunto e twist è lineare. E sempre possibile trovare lo jacobiano di un robot ed esistono algoritmi per costruirlo. Stabilità Cinematica Differenziale - Esempio y 2 x 2 y 1 q 2 y 0 x 1 q 1 x 0 Come è logico aspettarsi, il sistema di riferimento solidale con l end-effector trasla lungo gli assi x 0 e y 0 e ruota attorno all asse z 0 (perpendicolare al foglio) Stabilità Cristian Secchi Pag. 16

17 Cinematica Differenziale Inversa F n F 0 Problema: Dato il twist del sistema di riferimento solidale all end-effector rispetto a un sistema di riferimento solidale con la base del robot trovare la velocità nello spazio di giunto. Stabilità Cinematica Differenziale Inversa Semplice soluzione Sfortunatamente se lo Jacobiano non è quadrato oppure se det(j(q))=0 l inversa non esiste. In questi casi è possibile ottenere una stima della velocità nello spazio di giunto mediante opportune tecniche (pseudoinversa di una matrice, ecc.). Stabilità Cristian Secchi Pag. 17

18 Statica F n F 0 Problema: Dato un wrench applicato all end-effector rispetto a un sistema di riferimento solidale con la base del robot trovare le coppie che applicate ai giunti producono lo stesso effetto. Stabilità Statica Forze e coppie devono essere equivalenti e, quindi, devono produrre lo stesso lavoro. Notando che: e Stabilità Cristian Secchi Pag. 18

19 Statica Ma Da cui Stabilità Sommario Relazioni Ottenute Cinematica Diretta Cinematica Differenziale Statica Stabilità Cristian Secchi Pag. 19

20 Dinamica E lo studio dell effetto che c è tra le forze/coppie applicate sul robot e il moto risultante. Esistono vari approcci per trovare questa relazione Eulero-Lagrange Newton-Eulero Il modello dinamico è necessario per progettare il controllore per il robot. E necessario sapere il moto provocato dall applicazione di una certa coppia per poter fornire le coppie desiderate. Stabilità Dinamica Modello di Eulero - Lagrange Si basa su considerazioni energetiche Dato un qualsiasi meccanismo, esistono delle variabili (q 1 (t),,q n (t)) grazie alle quali è possibile calcolare l energia cinetica K e quella potenziale P. Definendo: L equazione che esprime la relazione dinamica tra forze applicate e queste variabili è: Stabilità Cristian Secchi Pag. 20

21 Dinamica Modello di Eulero - Lagrange In robotica le variabili rispetto a cui è possibile calcolare l energia sono lo variabili di giunto q i e la forza è la coppia applicata ai vari giunti. L energia cinetica e potenziale di ciascun link si può calcolare in funzione di una sola variabile di giunto q i. Sommando i contributi di ogni link è possibile ottenere l energia cinetica e potenziale complessiva del robot. Stabilità Dinamica Modello di Eulero - Lagrange Dopo alcune manipolazioni matematiche si arriva al modello di Eulero-Lagrange di un robot: M(q) Matrice d inerzia. Tiene conto l effetto delle masse dei vari link. Dipende dalla configurazione. C(q,q ) Tiene conto l effetto degli effetti dinamici introdotti dal moto relativo dei vari link (forze centrifughe, forze di Coriolis). Dipende sia dalla configurazione che dalla velocità Stabilità Cristian Secchi Pag. 21

22 Dinamica Modello di Eulero - Lagrange D Tiene conto degli attriti presenti nel robot come ad esempio l attrito tra i vari giunti (ma non solo!) g(q) Tiene conto dell effetto della gravità. Dipende dalla configurazione! Il modello è fortemente non lineare e tecniche per l analisi e il controllo di sistemi lineari (luogo delle radici, diagrammi di Bode, ) NON sono più valide. Stabilità Dinamica Modello di Eulero - Lagrange Il modello dinamico di Eulero-Lagrange gode di alcune proprietà notevoli: M(q) è una matrice simmetrica e definita positiva q M(q) è limitata superiormente e inferiormente q La matrice è tale per cui: Stabilità Cristian Secchi Pag. 22

23 Dinamica - Esempio y 2 y 1 q 2 y 0 x 1 x 2 = centro di massa del link Utilizzando concetti di meccanica, possiamo calcolare energia cinetica e potenziale di ciascun link. q 1 x 0 Stabilità Dinamica Esempio Definendo E calcolando con le energie trovate, l equazione di Lagrange: Raccogliendo opportunamente si ottengono le equazioni dinamiche del robot: Stabilità Cristian Secchi Pag. 23

24 Dinamica Esempio E Simmetrica! Stabilità Dinamica Esempio Stabilità Cristian Secchi Pag. 24

25 SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica e del Veicolo SISTEMI DI CONTROLLO CINEMATICA E DINAMICA DEI ROBOT Ing. Cristian Secchi Tel [email protected] Cristian Secchi Pag. 25