= τ MOTO ROTOTRASLATORIO DI UN CORPO RIGIDO. Equazioni cardinali. Prima equazione cardinale:

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1 MOTO ROTOTRASLATORO D UN CORPO RGDO Equaioni cardinali Prima equaione cardinale: dv c M Fet Esprime il teorema del moto del centro di massa: il moto del centro di massa del corpo rigido è quello di un punto materiale a cui si può immaginare di applicare la risultante delle fore esterne agenti sul corpo rigido. Seconda equaione cardinale: dl Rappresenta l'equaione fondamentale per lo studio delle rotaioni dei corpi rigidi. E valida solo se si considera, come polo rispetto a cui calcolare il momento risultante delle fore esterne e il momento angolare, il centro di massa C oppure un punto fisso oppure ancora un punto che si muove con velocità parallela a C. nfatti: L A dl A ri A ( mivi ) i A ( r r ) ( m v, i A i i i M v C v A )

2 APPLCAZON DELLA SECONDA EQUAZONE CARDNALE: CONSERVAZONE DEL MOMENTO ANGOLARE n assena di momenti esterni, la seconda equaione cardinale diventa: dl ossia: L cost. Più in generale, se il momento meccanico risultante delle fore esterne agenti sul corpo è nullo, il vettore momento angolare del corpo stesso rimane costante nel tempo. (conservaione del momento angolare). Si noti l analogia formale con la conservaione della quantità di moto e l equivalena tra grandee lineari e rotaionali. Grandee lineari Grandee rotaionali Velocità v dr/ Velocità angolare dθ / Acceleraione a dv/ Acceleraione angolare α d / Massa M Momento d ineria 2 Σ m i r i Quantità di moto P M v Momento angolare L Fora F dp/ Momento torcente dl/

3 La prima legge di Newton (legge d ineria per il moto traslatorio) è equivalente alla legge di conservaione del momento angolare (legge d ineria per il moto rotatorio). Se il corpo ruota attorno ad un asse principale: L cost. l corpo continua a ruotare attorno all asse con velocità angolare costante (in modulo, direione e verso). Esempi importanti: la trottola ed il giroscopio (a) (a) Schema di giroscopio. (b) L asse di rotaione di un giroscopio non soggetto a momenti rimane fisso nello spaio e pertanto ruota rispetto alla Terra. (b) Bussola giroscopica Ha il vantaggio di orientarsi verso il Nord vero, non essendo soggetta ad alcuna anomalia magnetica locale.

4 APPLCAZON DELLA SECONDA EQUAZONE CARDNALE: VARAZONE DEL MOMENTO ANGOLARE dl (a) Se il momento torcente è parallelo al momento angolare, esso modifica il modulo ma non la direione di quest ultimo. (b) Se il momento torcente è perpendicolare al momento angolare, esso modifica la direione ma non il modulo di quest ultimo. nfatti: dl d dl duˆ P dl dφ ( Luˆ P ) uˆ P L uˆ P L uˆ N Caso (a): Caso (b): uˆ P dφ dl uˆ N

5 Stabilità dei corpi in rotaione θ L arctan L A parità di momento torcente agente sul corpo, la variaione di direione del momento angolare è tanto minore quanto maggiore è il modulo di L. Conferendo ad un corpo un elevata velocità angolare attorno ad un suo asse di simmetria si rende stabile la sua orientaione nello spaio: momenti torcenti esterni avranno difficoltà a modificare la direione dell asse di rotaione (effetto giroscopico). Esempi notevoli di stabiliaione per rotaione: 1) il proiettile; 2) il satellite artificiale.

6 APPLCAZON DELLA SECONDA EQUAZONE CARDNALE: L MOTO D PRECESSONE n una trottola omogenea messa in rotaione come in figura, L è parallelo ad e perpendicolare a (momento torcente associato alla fora peso). Di conseguena dl risulta istante per istante ortogonale ad L, che pertanto descrive una superficie conica con vertice in O (moto di precessione).

7 Precessione del Polo Nord celeste: geometria del problema

8 Precessione del polo Nord celeste: variaione nel tempo della posiione del polo

9 MOTO ROTATORO D UN CORPO RGDO NTORNO AD UN ASSE FSSO Si consideri il riferimento ineriale S(O;,,), con l asse coincidente l asse fisso di rotaione del corpo, e la terna di assi (,, ) solidali con il corpo, aventi origine in O e tali che. Un unico parametro (l angolo ϑ ) definisce univocamente la posiione del corpo rigido al variare del tempo.

10 Caso a): l asse di rotaione è un asse principale d ineria L equaione del moto (seconda equaione cardinale): dl (1) diventa in tal caso: d ( ) d (2) dϑ dϑ ˆ ˆ ϑ ϑ Soluione formale dell equaione del moto di un corpo rigido.

11 Consideraioni ed implicaioni relative alla Eq. (2) Esiste un analogia formale tra la (2) e l equaione del moto di una particella: m ( dv ) F. Per la (2), se, allora costante. A questo punto: 1) l corpo è rigido, per cui costante, allora costante: un corpo rigido in rotaione attorno ad un asse principale ruota con velocità angolare costante quando non sono applicati momenti esterni (vedi sopra). 2) l corpo non è rigido, per cui: aumenta (o diminuisce) diminuisce (o aumenta) in modulo. Esempio: atleta con manubri seduto su uno sgabello girevole

12 Caso b): l asse di rotaione non è un asse principale d ineria Si considera la componente scalare della (1) lungo l asse : dl d( ) d dϑ ϑ ϑ Soluione formale dell equaione del moto di un corpo rigido.

13 MOTO ROTATORO D UN CORPO RGDO NTORNO AD UN PUNTO FSSO Si consideri il riferimento ineriale S(O;,,), con O coincidente con il punto fisso del corpo, e la terna di assi (,,) solidali con il corpo e aventi origine in O. Non esiste un unico parametro angolare in grado di definire univocamente la posiione del corpo rigido al variare del tempo.

14 Equaione del moto (seconda equaione cardinale) dl (1) n questo caso generale: L è la cosiddetta matrice (o tensore) d ineria, definita come: dove: sono i momenti d ineria del corpo rispetto agli assi solidali, e. Gli altri elementi della matrice sono detti prodotti d ineria e sono del tipo: dv ρ e simili.

15 Con un opportuna scelta la terna solidale risulta costituita da assi principali d ineria. n tal caso: L ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L d d d ˆ ˆ ˆ

16 Equaioni di Eulero: d d d ) ( ) ( ) ( Le equaioni di Eulero (note le fore esterne applicate al corpo, e quindi il momento meccanico risultante, noti i momenti d ineria rispetto ai tre assi, e, e nota la velocità angolare iniiale) permettono di calcolare la velocità angolare in funione del tempo.