Fisica 2C. 2 a Prova Parziale 9 Gennaio 2008

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1 Fisica C a Prova Parziale 9 Gennaio 008 ˆ Leggere attentamente il testo e assicurarsi di rispondere a tutto quanto viene chiesto; se vi sono dei dati numerici ció implica che la(o le)risposta dev essere anche numerica e non solo una formula ˆ Rispondere in modo chiaro e esauriente ma il piú possibile sintetico. Se si utilizza una relazione non precedentemente dimostrata precisarne contesto e validitá di applicazione. ˆ Chiedere eventualmente spiegazioni e chiarimenti sul testo se non lo si ritiene sufficientemente chiaro. ˆ Non saranno corrette, salvo casi eccezionali, brutte copie o elaborati difficilmente leggibili ˆ i) Domande Un rocchetto di raggio interno r e raggio esterno R = 3r rotola senza strisciare (le due ruote e il cilindro interno hanno tutti larghezza h). Al filo avvolto sul rocchetto è applicata una forza costante F 0 orizzontale, che si pensa situata sempre nel piano verticale passante per il centro di massa del rocchetto. ˆ ii) Determinare:. il momento di inerzia del rocchetto;. l accelerazione del centro di massa e le condizioni a cui deve soddisfare il coefficiente di attrito affinchè il moto di puro rotolamento sia possibile. Una porta sottile rettangolare di massa m e lati a e b ruota con velocità angolare ω intorno alla diagonale. Determinare: ˆ iii). l angolo tra il momento angolare e il vettore velocità angolare, discutendo in che condizioni i due vettori sono collineari;. il momento necessario per mantenere fisso l asse di rotazione. Sia dato un sistema di punti materiali che possiede un piano di simmetria, ad esempio il piano (x, y).. precisare cosa s intende per simmetria rispetto al piano (x, y). Dimostrare che ogni retta perpendicolare al piano di simmetria e passante per un punto generico A del piano è un asse principale d inerzia rispetto al punto A.

2 ˆ iv) Una ruota di bicicletta è schematizzabile come un anello circolare omogeneo sottile di raggio R = 40 cm e massa m = 3 kg Per frenare la bicicletta viene premuta sulla superficie laterale una placchetta che applica una forza radiale costante. Il coefficiente di attrito(dinamico)placchetta-ruota vale µ = 0.5. Se la bicicletta viaggia inizialmente con velocitá di 4.4 km/h e la forza esercitata dal freno è F = 0 N determinare. dopo quanti giri la ruota si ferma. quanta energia è stata dissipata Soluzione ˆ i). ρ = M π(r h + R h) I R = (ρπr h)r I r = (ρπr h)r I = I R + I r = πρ(r hr + r hr) = M I = M r = M 4R4 + r4 r + 4R = M 4 8r4 + r4 r + 4 9r R (prossimo a MR valore a cui sarà approssimato nel seguito). Scegliamo come verso positivo dell asse di rotazione quello entrante nel foglio F 0 F a = Ma CM rf 0 + RF a = MRα = MRa CM 3 F 0 + F a = Ma CM ˆ ii) e quindi: Condizioni sul coefficiente di attrito: 3 F 0 + F a = Ma CM 5 3 F 0 3F a = 0 F a = 5 9 F 0 3 F 0 + F a = Ma CM a CM = 4F 0 9M F a µ s N = µ s Mg µ s F a Mg. Si consideri la terna composta de e 3 (perpendicolare alla porta), e (parallelo al lato corto) ed e (parallelo al lato lungo). La terna è principale di inerzia (e e e sono assi di simmetria e e 3 è perpendicolare al corpo). Si ha I = ma, I = mb, I 33 = m(a + b ). La velocità angolare è data da: ω = (ωb/ a + b, ωa/ a + b, 0)

3 Il momento angolare è dato da: L = m(ωba / a + b, ωab /sqrta + b, 0) ˆ iii) ˆ iv) L e ω sono collineare solo se a = b. cos θ = ω L ωl = ab b + a. Il momento si ricava immediatamente dalle equazioni di Eulero: I 3 ω 3 + (I I )ω ω = N 3 N 3 = m(b a ) abω a + b. Per ogni punto materiale di coordinate x i, y i, z i e massa m i vi è un altro punto materiale con coordinate x i, y i, z i e con massa m i.. Condizione perchè un asse perpendicolare passante per un generico punto A sia principale è che vi sia un autovettore parallelo a esso. Tale autovettore v essendo parallelo a z è tale che v x = v y = 0 Quindi il tensore d inerzia rispetto a A deve essere tale che I xz = I yz = 0 qualunque sia A.Ma Analogamente I yz = 0. I xz = i m i(x i x A )z i = 0 se a ogni punto con z i corrisponde un altro punto con z i. Se v è la velocitá della bicicletta la velocitá angolare della ruota è ω = v/r se rotola senza strisciare. ω = v R = 0 rad s La forza d attrito è : F at = µf. Equazione del moto rispetto al centro della ruota Quindi l accelerazione angolare α è costante e si ha F at R = I C ω, I C = mr µf R = mr ω α = dω dt dω = αdt ωdω = αωdt d(ω ) = αdθ e contando l angolo di rotazione dal momento della frenata θ = 0 con ω = ω o al momento dell arresto quando ω = 0 Dalle due relazioni ricavate d(ω ) = αdθ ω = ω o + ωθ ω = ω o θ. Energia dissipata µf R = mr ω o θ θ = m Rω o µf = 6 rad cioé dopo circa un giro E dis = I Cω o = m R ω o = 4 J 3

4 Problema Si consideri una lamina sottile di densitá superficiale costante σ a forma di triangolo rettangolo di cateti a e b come da figura. Si determinino:. le componenti del tensore d inerzia rispetto all origine O. gli assi principali e le componenti del tensore d inerzia rispetto agli assi principali 3. le componenti del tensore d inerzia rispetto al baricentro Soluzione. Se la lamina è sottile z = 0 e quindi Le altre componenti sono I xz = I zx = 0, I yz = I zy = 0 I xx = y dm = σ a 0 dx b bx/a 0 y dy = σab3, I yy = x dm = σba3, I zz = (x + y )dm = σab(a + b ) I xy = xy dm = b 0 y dy a ay/b x dx = 0 4 σa b I = b ab/ 0 σab( ab/ a a + b. Se la lamina é sottile z = 0 l asse z è asse principale.gli altri due assi sono nel piano (x, y).gli autovalori λ sono dati da b λ ab/ 0 ab/ a λ 0 = 0 λ = λ σab 0 0 (a + b ) λ da cui (b λ )(a λ ) a b 4 = 0 λ, = σab [ a + b ] a 4 + b 4 a b ± 4 Le equazioni degli assi principali sono quindi Se a = b si ha y = ±x 3. Le coordinate del CM sono Iv = λ v (b λ )x ab y = 0 y = b a b4 + a 4 a b x ab x CM = M xdm = 3 a, y CM = ydm = M 3 b, M = σ ab 4

5 le componenti del tensore d inerzia rispetto a assi paralleli a x e y ma con centro nel CM sono I x x = (y y CM ) dm = y dm+ycm dm ycm y dm = y dm ycm I y y dm = σab3 9 b σ ab = 36 σab3 = (x x CM ) dm = x dm + x CM dm xcm x dm = x dm x CM dm = 36 σa3 b I x y = (x x CM )(y y CM ) dm = xy dm + x CM y dm + ycm x dm xcm y CM dm = I xy + x CM y CM M = 4 σa b + ab σ 9 ab = 7 σa b 5

6 Problema Una lamina sottile e omogenea di massa m si muove senza attrito su un piano orizzontale di moto puramente traslatorio e con velocitá costante v. La lamina, tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile ancorato a un punto P della lamina, è collegata ad un punto fisso O del piano. Il filo è inizialmente lasco ma a un certo istante t o si tende bruscamente. Il momento d inerzia I della lamina rispetto all asse perpendicolare passante per il centro di massa e la distanza d del punto P dal CM sono supposti noti.. scrivere le equazioni che determinano il moto. calcolare la velocitá del baricentro e la velocitá angolare di rotazione della lamina subito dopo il tempo t o in funzione della velocitá iniziale v e dell angolo α fra la retta P CM e la retta OP all istante t o. 3. calcolare l energia dissipata Soluzione Quando il filo si tende esercita una forza impulsiva applicata alla lamina nel punto P.L impulso della forza è dato da F dt. La forza è diretta lungo la direzione del filo teso cioé parallela a OP Per semplificare i calcoli si puó scegliere l asse x in modo che coincida con la posizione della retta OP, cioé del filo teso, all istante t o.. Equazioni cardinali d dt P = F m(ẋ CM,+ ẋ CM, ) = F dt, m(ẏ CM,+ ẏ CM, ) = 0 d dt L CM = M CM I(ω + ω ) = [ F dt ] d sin α Prima di t o si ha solo moto traslatorio(ω = 0) e quindi dalle due equazioni si ha(con v x, v y le componenti x, y di v) Iω + = md sin α(ẋ CM,+ v x ), ẏ CM,+ = v y Inoltre se il filo è inestensibile la velocitá radiale(cioé la componente x della velocitá) dell estremo P del filo dev essere nulla (P puó descrivere solo un arco di circonferenza con centro in O) v P,x (t > t o ) = 0 ma P = v CM + (P CM) ω v P,x (t > t o ) = ẋ CM,+ + (y P y CM )ω + ẋ CM,+ = d sin α ω il sistema delle due equazioni Iω + = md sin α(ẋ CM,+ v x ) ẋ CM,+ = d sin α ω + 6

7 dá 4. energia dissipata ω + = md sin α md sin α I v x, ẋ CM,+ = md sin α md sin α I v x mv m(ẋ CM,+ + y CM ) Iω + = I(I 3md sin α) mv x (I md sin α) 7