Esame di Fisica Data: 20 Settembre Fisica. 20 Settembre Problema 1

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1 Fisica 20 Settembre 2012 ˆ Esame meccanica: problemi 1, 2 e 3. ˆ Esame elettromagnetismo: problemi 4, 5 e 6. Problema 1 Un bambino alto h = 1.4 m usa una fionda per lanciare verso l alto in direzione verticale un modellino di razzo di massa m = 100 g. Il modellino si stacca dalla fionda all altezza della sommità della testa del bambino e raggiunge rispetto al suolo una altezza massima H = 20 m. Si supponga trascurabile l attrito dell aria. ˆ Determinare la velocità v I con cui il modellino si stacca dalla fionda. Usando la stessa forza il bambino lancia il modello, ma questa volta è presente un vento che soffia orizzontalmente ed esercita sul modellino una forza costante di modulo F = 1 N ˆ Determinare a quale massima altezza salirà ora il modellino, e a che distanza orizzontale dal bambino raggiungerà la massima altezza. ˆ La conservazione dell energia meccanica implica che la variazione di energia potenziale gravitazionale sia uguale alla variazione di energia cinetica. Considerando la situazione in cui il modellino è appena stato lanciato come iniziale e quella in cui il modellino è alla sua massima altezza come finale, abbiamo: E I = 1 2 mv2 I + mgh E F = mgh E I = E F 1 2 mv2 I = mg(h h v I = 2g(H h ˆ Poiché il bambino usa la stessa forza il razzo viene lanciato con la stessa velocità iniziale v I. Le equazioni del moto sono disaccoppiate in quanto le forze agenti sul modellino sono ortogonali, e quindi lungo la verticale non cambia nulla, e la massima altezza raggiunta è la medesima trovata al punto precedente. Per determinare la distanza orizzontale notiamo che l accelerazione lungo l orizzontale del razzo vale in modulo a x = F/m = 10 m/s 2. Lungo l orizzontale abbiamo dunque un moto con accelerazione costante. Dopo aver determinato il momento t max in cui il modellino raggiunge la massima altezza possiamo determinare la distanza orizzontale in quello stesso momento: v y = v I gt 0 = v I gt max t max = v I g d = 1 2 a xt 2 max = 1 2 F m ( v I g 2 Problema 2 Una cabina di ascensore di massa M = 100 kg è sospesa ad una fune, supposta inestensibile e di massa trascurabile. La fune ha una direzione verticale e passa attraverso una puleggia a forma di disco, di massa m = 20 kg e raggio R = 10 cm, appesa al soffitto. La fune è legata all altra estremità ad un motore elettrico che è in grado di esercitare una forza F su di essa. 1

2 ˆ Determinare il momento d inerzia I della puleggia rispetto all asse di rotazione, perpendicolare al piano del disco e passante per il suo centro. ˆ Determinare la forza che il motore esercita sulla fune per far salire l ascensore a velocità costante, e successivamente ad una accelerazione costante di modulo a = 1 m/s 2, nell ipotesi che l attrito tra fune e puleggia sia tale da evitare lo slittamento della fune sulla puleggia stessa. ˆ Il momento d inerzia I di un disco pieno di raggio R e massa m rispetto ad un asse perpendicolare al piano del disco e passante per il suo centro è dato dall espressione: I = 1 2 mr2 ˆ Quando l ascensore si muove a velocità costante la tensione della corda sulla cabina è pari in modulo e direzione (ed opposta in verso! alla forza di gravità agente sulla cabina stessa. Poichè la corda è di massa trascurabile la tensione è uguale su tutta la corda fino alla puleggia. Se l ascensore sale con velocità costante anche la puleggia ruota con velocità costante: su di essa quindi i momenti delle forze esterne rispetto ad un polo posto sull asse di rotazione, che sono in questo caso i momenti della tensione della corda ai due punti di tangenza della corda sulla puleggia, sono complessivamente nulli, e quindi, visto che le tensioni sono perpendicolari per vincolo al raggio che unisce il centro della puleggia al punto di applicazione, abbiamo che in modulo la tensione della corda è la stessa da entrembi i lati della puleggia. Questo implica che la forza esterna applicata dal motore sulla corda deve essere uguale in modulo alla tensione della corda e quindi alla forza di gravità. Quindi F = Mg. Nel caso di accelerazione costante abbiamo, dal vincolo di fune inestensibile, che ad uno sollevamento h positivo dell ascensore corrisponde una rotazione θr della puleggia: quindi tra accelerazione dell ascensore e accelerazione angolare della puleggia abbiamo la relazione a = R dω dt. La puleggia è sottoposta a due tensioni T 1 e T 2 = F di modulo differente: la forza d attrito impedisce che la fune slitti. Le equazioni del moto dell ascensore e della puleggia allora sono: Ma = Mg + T 1 I dω dt = I R a = T 1R F R I a = M(a + gr F R R F = ( 1 m + Ma + Mg 2 Problema 3 Una bottiglia di plastica cilindrica ha raggio di base r = 5 cm, altezza h = 20 cm e massa m = 40 g. Viene immersa verticalmente in acqua e riempita d acqua fino ad un livello h 1 = 3 cm. ˆ Determinare la frazione del volume f della bottiglia immerso nell acqua. ˆ Determinare la distanza del centro di massa della bottiglia più acqua dal pelo dell acqua e dire se è maggiore o minore della distanza dal pelo dell acqua del centro di spinta h cs = h I /2. Si definisce centro di spinta il punto occupato dal baricentro del volume d acqua spostato dalla bottiglia (ovvero il centro della parte del cilindro immersa in acqua. ˆ Per la legge di Archimede la bottiglia è in equilibrio quando il peso dell acqua spostato dal volume immerso è pari al peso della bottiglia più acqua contenuta all interno. In formule, detta h I la lunghezza della parte immersa della 2

3 bottiglia: h I ρ H2O r 2 πg = mg + h 1 ρ H2O r 2 πg f = h h I = h I = h 1 + h 1 + m ρ H2O r 2 π h m ρ H2O r 2 π ˆ La quota del centro di spinta è h s = h I /2 =. Per determinare la quota del centro di massa h cm della bottiglia più acqua troviamo le quote del baricentro della bottiglia h b e del baricentro h a dell acqua contenuta in essa, rispetto al pelo dell acqua: h b = h I h 2 h a = h i h 1 2 h cm = (mh b + h 1 ρ H2O r 2 πh a m + h 1 ρ H2O r 2 π 3

4 Problema 4 Un condensatore è formato da due armature cilindriche concentriche, molto lunghe, di raggio = 3 cm e R 2 = 4 cm. Tra le armature viene posta una differenza di potenziale V = 220 V, in modo che l armatura più interna sia carica positivamente. ˆ Determinare la densità superficiale di carica libera σ + e σ sulle due armature in un punto lontano dagli estremi dei cilindri, in modo da poter trascurare gli effetti di bordo, e il campo elettrico nelle tre regioni R <, < R < R 2 e R > R 2. ˆ Si risponda alla domanda precedente se nello spazio tra le armature è presente un dielettrico di costante dielettrica relativa ε r = 1.5 ˆ Per simmetria il campo elettrico è radiale e dipende solo dal raggio r al quale viene calcolato. Applicando il teorema di Gauss ad una superficie cilindrica di raggio r e altezza h che circonda l armatura più interna abbiamo, per il modulo di E(r tra le armature: E(r2πrh = σ + 2π h E(r = σ + r La differenza di potenziale tra due punti posti a ed R 2 rispetto l asse del condensatore è data da: V (R 2 V ( = σ + = V log( R 2 σ + 2π h = σ 2πR 2 h σ = σ + R 2 R 2 E dr = R 2 r dr = σ + = σ + log( R 2 = V Una volta trovata la carica elettrica sulle armature possiamo trovare il campo elettrico, che, per il teorema di Gauss, è nullo nelle regioni esterne alle armature e vale, per < R < R 2 : E(r = σ + r = V 1 r log( R 2 ˆ La presenza del dielettrico diminuisce il campo elettrico E tra le armature di un fattore ε, per cui semplicemente: E(r = V 1 εr log( R 2 La carica presente sulle armature aumenta, a parità di differenza di potenziale: E(r = σ + ε r = V 1 log( R 2 σ + = V ε log( R 2 4

5 Problema 5 Nel circuito in figura abbiamo per i componenti i valori: = 10 Ω, R 2 = 5 Ω, L 1 = 10 mh. Al tempo t = 0 la forza elettromotrice, precedentemente nulla, passa istantaneamente a V = 100 V. ˆ Determinare la potenza erogata dalla forza elettromotrice al tempo t = 0 e in condizioni di regime Una volta raggiunte le condizioni di regime, la forza elettromotrice viene istantaneamente spenta. ˆ Determinare la corrente attraverso l induttanza L 1 al momento dello spegnimento e dopo un tempo t 0 = 0.1 s dallo spegnimento ˆ All accensione della forza elettromotrice l induttanza si oppone ad una variazione di flusso di campo magnetico dovuto al passaggio della corrente generando una differenza di potenziale uguale ed opposta a quella a cui viene sottoposta, per cui si comporta da circuito aperto. Il circuito equivalente presenta una serie delle resistenze 2 e R 2 per cui la forza elettromotrice vede all accensione una resistenza equivalente R eq : La potenza erogata è quindi R eq = 2 + R 2 W = V I = V 2 R eq In condizioni di regime, a corrente stazionaria, la forza elettromotrice autoindotta è nulla, e quindi l induttanza è equivalente ad un cortocircuito. La forza elettromotrice vede una resistenza equivalente R eq formata dalla serie di, R 2 e di nuovo : = R R 2 R 2 + W = V I = V 2 V Notiamo che a regime nella forza elettromotrice circola una corrente I =. Questa corrente è divisa in parti inversamente proporzionali alle resistenze e R 2 e nell induttanza circola la stessa corrente che circola nella resistenza R 2 posta in serie con essa. Per cui: I in (1 + R 2 = I in + I R1 = I = I in R 2 = I R1 V V ˆ Quando la forza elettromotrice viene spenta il suo equivalente circuitale è la sua resistenza interna, nel nostro caso supposta nulla. Il circuito è quindi equivalente ad un circuito RL che si scarica, con la resistenza equivalente: R eqsca = R 2 + (R 2 + ed un tempo caratteristico τ = L sca. 2 + R 2 R eq La corrente che circola nell induttanza è la soluzione dell equazione R eq I L di dt = 0 con la condizione iniziale determinata dalla corrente I in, quindi nell induttanza abbiamo: I in (t = I in exp( t/τ. 5

6 Problema 6 Una spira metallica di resistenza R = 1 Ω e forma circolare, con raggio r = 2 cm, è attraversata da un filo metallico, perpendicolare al piano della spira e passante per il suo centro, percorso da una corrente alternata I = I 0 sin(ωt, con I 0 = 2 A e ω = 3 giri/s. ˆ Determinare la corrente circolante nella spira. ˆ Dire come cambia la risposta alla domanda precedente se il filo forma col piano della spira un angolo di 45, e, qualitativamente, come cambia se oltre a non essere più perpendicolare al piano della spira il filo non passa per il centro della spira stessa ˆ Le linee di campo magnetico formate dal filo sono parallele al piano della spira, per cui il flusso è nullo. Non si ha dunque forza elettromotrice indotta, e la corrente circolante nella spira è nulla. ˆ In questo caso le linee di campo magnetico attraversano il piano della spira, ma il flusso resta nullo, perché per ogni linea entrante nel piano della spira abbiamo una linea uscente. Le cose cambiano nel caso di filo non passante per il centro della spira, in quanto ora il flusso complessivo non è più nullo (ci sono linee entranti a cui non corrispondono linee uscenti sul piano della spira e quindi abbiamo una forza elettromotrice indotta e una corrente circolante nella spira. 6