UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI GENOVA - Polo di La Spezia FISICA GENERALE 1 - Prova parziale di meccanica del 10/02/2015

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1 FISICA GENERALE 1 - Prova parziale di meccanica del 10/02/2015 Lo studente descriva brevemente il procedimento usato e inserisca i valori numerici solo dopo aver risolto il problema con calcoli simbolici, cioè dopo aver eseguito i passaggi letterali utili alla soluzione del problema. Per l accelerazione di gravità si utilizzi il valore di 9.81 m/s 2 Se il procedimento non viene indicato la soluzione non sara valutata. I risultati finali devono essere espressi nelle unità del sistema internazionale (SI) e con due cifre significative. Me_A) Un punto materiale di massa m=25 kg si trova su un trampolino di lancio formato da un piano liscio inclinato di 45 con l orizzontale, un tratto orizzontale scambro con coefficiente di attrito dinamico µ=0.75 lungo l=10.5 m e una guida circolare di ampiezza 45 e raggio R=10 m (vedi figura). Se il punto parte con velocità v i =5.0 m/s da un altezza h i =10m rispetto al suolo, calcolare: 1) la velocità che possiede il punto quando raggiunge l altezza massima 2) nella stessa posizione, l accelerazione radiale e tangenziale 3) nella stessa posizione, la quantità di moto. Me_B) Due aste uguali di lunghezza l=50 cm e massa m= 3.0 kg ciascuna, sono saldate perpendicolarmente e formano la lettera T. Il sistema delle due aste può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontale passante per il centro O dell asta orizzontale (vedi figura). Il sistema parte da fermo dalla posizione della figura. Quando passa per la posizione di equilibrio calcolare: 1) la velocità angolare e lineare del centro di massa 2) l accelerazione radiale e tangenziale del centro di massa 3) la forza che il perno in O applica al sistema.

2 FISICA GENERALE 1 Prova parziale di meccanica 10/02/2015 Lo studente descriva brevemente il procedimento usato e inserisca i valori numerici solo dopo aver risolto il problema con calcoli simbolici, cioè dopo aver eseguito i passaggi letterali utili alla soluzione del problema. Per l accelerazione di gravità si utilizzi il valore di 9.81 m/s 2 Se il procedimento non viene indicato la soluzione non sara valutata. I risultati finali devono essere espressi nelle unità del sistema internazionale (SI) e con due cifre significative. Me_A) Un punto materiale di massa m=25 kg si trova su un trampolino di lancio formato da un piano liscio inclinato di 45 con l orizzontale, un tratto orizzontale scambro con coefficiente di attrito dinamico µ=0.75 lungo l=11.5 m e una guida circolare di ampiezza 45 e raggio R=10 m (vedi figura). Se il punto parte con velocità v i =5.0 m/s da un altezza h i =10m rispetto al suolo, calcolare: 1) l altezza massima a cui arriva il punto rispetto al suolo 2) nella stessa posizione, l accelerazione radiale e tangenziale 3) nella stessa posizione, la quantità di moto. Me_B) Due aste uguali di lunghezza l=50 cm e massa m= 3.0 kg ciascuna, sono saldate perpendicolarmente e formano la lettera T. Il sistema delle due aste può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontale passante per l estremo O dell asta orizzontale (vedi figura). Il sistema parte da fermo dalla posizione della figura. Quando passa per la posizione di equilibrio calcolare: 1)la velocità angolare e lineare del centro di massa 2) l accelerazione radiale e tangenziale del centro di massa 3) la forza che il perno in O applica al sistema.

3 FISICA GENERALE 1 Soluzioni parziale di meccanica del 10/02/2015 Me_A) L energia iniziale del punto materiale = h + (prendendo come zero dell energia potenziale la quota del suolo) al termine del tratto orizzontale è variata a causa del lavoro della forza di attrito = = l e prima di entrare nella guida circolare l energia rimasta è = + = h + l. Il punto proseguirà il moto oltre la guida circolare se arrivato in cima ad altezza h = 1 cos45 avrà ancora energia cinetica ovvero > gh altrimenti si ferma prima. Da notare che mentre per il piano inclinato e il tratto orizzontale il moto è rettilineo ad accelerazione costante e quindi si possono utilizzare anche le formule per il moto uniformemente accelerato una volta trovata della legge di Newton l accelerazione, per la guida circolare solo il calcolo dell energia ci permette un calcolo semplice. Per i dati del problema con l=10.5 m il punto abbandona il trampolino di lancio (caso a) proseguendo lungo la direzione tangente alla fine della guida (cioè inclinata di 45 ) e il moto diventa quello di un proiettile, mentre per il problema con l=11.5 m non raggiunge la cima (caso b) e si ferma sulla guida prima di tornare indietro. Caso a: 1) l energia in cima vale = h da cui la velocità in cima è = e scomponendo in componente x orizzontale e y verticale = cos45 e = sen45. Come visto a lezione, la velocità in x si conserva e nel massimo si annulla in y da cui = = m/s 2.1 m/s 2) il punto è sempre sottoposto all accelerazione di gravità (accelerazione totale del proiettile): alla massima altezza la velocità è solo orizzontale e perpendicolare a g, quindi = 0, = =9.8 m/s 2 (diretta verso il basso) 3) la quantità di moto è solo orizzontale = = kg m/s 54 kg m/s, = 0. Caso b:

4 1) Tutta l energia rimasta viene convertita in energia potenziale e nel punti di massima altezza la velocità si annulla ovvero = h da cui h = = ) Come osservato sopra, alla quota massima la velocità è nulla e quindi l accelerazione radiale = = 0, invece l accelerazione tangenziale, poiché h = 1 cos con = angolo rispetto alla verticale tratteggiata e, come in un pendolo, = = m/s m/s 2. 3) Essendo la velocità nulla, la quantità di moto è nulla. Me_B) La T è sospesa in O e bisogna trovare la posizione del CM rispetto ad O. Essendo il CM di ciasuna asta nel punto medio, preso un asse x orizzontale e y verticale, nella posizione di partenza il CM del sistema Caso a: = 0 e = l/ = l/4, il momento di inerzia = l + l + l = l Caso b: = 0 e = (l ) = l/4, il momento di inerzia = l + [ l + l ] = l 1) Nella posizione di equilibrio il CM sta sotto il punto O in verticale di l/4 e quindi, preso lo zero dell energia potenziale alla quota del CM in equilibrio, la conservazione dell energia fornisce l = = l = rad/s 6.9 rad/s e = l/4= m/s 0.86 m/s. 2) Nella posizione di equilibrio i momenti delle forze rispetto ad O sono nulli (in particolare quello della forza peso perché lungo il braccio e quello della reazione vincolare perché ha braccio nullo essendo applicata in O) e quindi non c è accelerazione angolare perciò anche quella tangenziale è nulla, quella radiale = l = m/s m/s 2

5 3) Dalla prima equazione cardinale in direzione radiale 2 = 2 da cui la reazione vincolare del perno = 2( + ) = N 94 N.