Meccanica Dinamica del punto materiale

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1 Meccanica Dinamica del punto materiale 8

2 Dinamica del punto materiale Legge fondamentale della dinamica: d r ma m dt Tipi di forza: orza peso Reazione vincolare orza di attrito radente

3 y m N mg mg cos uy + N u y mg sin u ma u iano inclinato Assumiamo superficie liscia Equazione del moto Applichiamo la legge di Newton: i ma mg + N ma Quali forze agiscono su m? Scomponiamo l equazione nelle direzioni degli assi: Reazione vincolare: Accelerazione: a g sin N mg cos Costante Moto uniformemente accelerato: 1 1 ( t) at ( g sin ) t Accelerazione a < g Galileo sfruttò il piano inclinato per studiare la dinamica dei corpi con accelerazioni inferiori a g

4 iano inclinato y f A N Assumiamo superficie scabra µ, µ (attrito radente lungo superficie del piano inclinato, S D ) er quale valore di il corpo si mette in moto? mg N mg cos mg sin < µ Smg cos tan < µ S < arctan µ S S Reazione vincolare normale al piano: Il corpo non si muove finché la componente lungo della forza peso è bilanciata dalla forza di attrito statico, cioè finché: mg sin < µ N Il corpo si muove solo per angoli maggiori di questo Una volta che il corpo è in moto: Coefficiente di attrito statico Coefficiente di attrito dinamico mg sin µ D N ma mg sin µ D mg cos ma a g(sin µ cos ) > D D inché a > il corpo continua ad accelerare S tan > µ > arctan µ D D

5 y f A er angoli N mg > D a > iano inclinato µ S, µ D arctan µ issati i valori e definiti S < Corpo fermo S S > S Il corpo si muove Una volta in moto, sul corpo agisce l attrito dinamico con µ < D µ S arctan µ vediamo l andamento a seconda dell inclinazione (accelera anche per il corpo accelera S D a velocità costante < D a < rallenta fino a fermarsi D < purché valga > D ) D, La misura degli angoli critici S D consente di misurare i coefficienti di attrito statico e dinamico µ S, µ D dei materiali in diverse condizioni fisiche

6 orza elastica : una forza del tipo ulsazione e periodo: Dinamica del punto materiale orza elastica k ( ) k u > costante elastica Esempio: punto materiale all estremo di una molla (senza massa): k ( l l (moto monodimensionale) Il modulo della forza è proporzionale allo spostamento Il verso è sempre opposto a quello dello spostamento Accelerazione: lungo asse d dt a m k m Moto armonico semplice, con ω k π T π m ω ) k m k ω Determinati dalla costante elastica e dalla massa del punto materiale lunghezza a riposo k m

7 Dinamica del punto materiale orza elastica ( ) k u d k dt m Equazione del moto? Asin( ω t + φ) con Equazione della velocità? v ω Acos( ω t + φ) φ ω Se assumiamo condizioni iniziali ( ) v( ) sin( ω t + / ) cos( ω ) π v ω sin( ω t) t A sinφ ω Acos φ k m ( φ, A) ( π /, )

8 Dinamica del punto materiale orza elastica Supponiamo una velocità iniziale non nulla: ( ) v ( ) v sinφ ω Acosφ v A ase iniziale: Ampiezza: sinφ ω cosφ v sin tan sin α + cos α v φ + cos φ + A Aω Sfruttiamo 1 Equazione del moto: ( t) er 1/ Avremo ancora moto armonico Asin( ω t + φ) ma con valori diversi di ampiezza e fase iniziale φ v ω v 1 v + + sin ωt arctan v ω v si ritrovano i risultati precedenti arctan ω v φ A ω v + ω

9 l l Dinamica del punto materiale orza elastica Equilibrio statico Applichiamo a una forza costante che mantenga la molla tesa con uno spostamento costante ( l l ) I punti e Q sono fermi Applicata dall esterno orza elastica -k orza elastica +k Reazione vincolare oiché anche la molla nel suo insieme è ferma la risultante delle forze esterne deve essere nulla: er mantenere una molla libera deformata di una quantità dobbiamo applicare agli estremi due forze uguali e contrarie di modulo k

10 Dinamica del punto materiale Moto in presenza di vincoli Caso generale del moto curvilineo dv v mat + ma N m ut + m un T + N dt R T orza tangenziale Variazione del modulo della velocità N orza centripeta Variazione della direzione a T La causa della variazione di direzione nel moto curvilineo è spesso data dalla risposta vincolare a N T Azone del vincolo: N N

11 Dinamica del punto materiale ili e carrucole Tensione del filo teso a una estremità da una forza A Elemento infinitesimo ds bilancia la forza T A A All interno del filo ogni elemento infinitesimo è in equilibrio statico tra coppie di forze T, T All altro estremo il vincolo esercita la forza B T A B A Carrucola: consente di cambiare direzione alla forza senza modificarne l intensità z O A B β orza applicata al perno: A T 1 + T T cos β u Z mg mg

12 endolo conico unto materiale di massa m appeso a un filo di lunghezza data ruota con v cost su traiettoria circolare (filo: inestensibile, massa trascurabile)

13 Calcolare: Velocità del punto, tensione del filo T + mg TOT ma endolo conico Relazione tra angolo e velocità del punto z T cos mg v N T sin man m r T (moto circolare uniforme) mg T cos v mg La velocità non m dipende dalla massa r cos sin v rg tan v ± gl sin tan Limite di piccoli angoli: 1 3 sin cos v gl L angolo è (circa) proporzinale alla velocità T cos mg ω T T v r sin u z mg Velocità angolare: g tan l sin ω l T r u N u T l sin O gl sin tan g / l g l cos

14 y y f ( ) y sin 1 3 y 6

15 endolo semplice orza peso Tensione del filo unto materiale di massa m appeso a un filo (inestensibile, massa trascurabile) di lunghezza fissata

16 endolo semplice Scostiamo il punto dalla posizione di equilibrio di un angolo Oscillazione lungo arco di circonferenza TOT T + mg ma Componenti perpendicolare e tangente alla traiettoria T mg cos ma mg sin ma T Verso opposto a quello dello spostamento s ( forza di richiamo ) N a T g sin Accelerazione tangenziale in funzione della accelerazione angolare: d d ( t) g a T Lα L g sin sin ( t) dt dt L Nel limite di piccole oscillazionei (piccoli valori di ): sin +... d ( t) dt g ( t) L Moto armonico semplice O L s > mg sin T Equazione differenziale del moto del pendolo mg cos mg