Esercizi svolti di dinamica

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1 Esercizi svolti di dinamica Problema Una cassa si trova in cima ad un piano inclinato di 30, ad un altezza di 5 m dal suolo Sul piano inclinato è presente attrito dinamico di coefficiente µ = 0, La cassa scivola fino a giungere alla base del piano inclinato, e poi prosegue su un piano orizzontale su cui è presente attrito di coefficiente uguale a quello del piano inclinato A che distanza dalla base del piano inclinato si ferma la cassa? Soluzione Nella prima parte del problema, calcoliamo la velocità della cassa quando raggiunge la fine del piano inclinato Per farlo, occorre prima calcolare l accelerazione della cassa (tramite il Secondo Principio della Dinamica) La forza peso, che si può scomporre nelle componenti e La reazione normale N del piano, che bilancia Scegliamo come sistema di riferimento una retta parallela al piano inclinato e orientata verso il basso Poniamo l origine nel punto in cui si trova inizialmente la cassa La risultante è la somma delle forze che agiscono sul corpo: R = + N + F a = + + N + F a Considerando che N e si bilanciano (sono uguali in intensità e discordi), si ha che R = F a (dove i segni sono stati scelti in base all orientamento del sistema di riferimento scelto in precedenza) Poichè R = F a, F a = m a () Ora, considerando il triangolo rettangolo con angoli di 30, 60 e 90 formato dai vettori, FP e, si può ricavare che = = l = l = = l 3

2 F a = m a (3) µ N = m a (4) Siccome N =, µ = m a (5) Ora, considerando il triangolo rettangolo con angoli di 30, 60 e 90 formato dai vettori, FP e, si può ricavare che = 3 = l = l = 3 = l 3 Sostituendo µ FP m g 3 = m a (6) µ m g 3 = m a (7) m g 3 µ m g = m a (8) m g( 3 µ) = m a (9) g( 3 µ) = a (0) a = g ( 3 µ) = 9, 8 ( 3 0, ) = 3, m/s () 4 Scrivere la legge oraria e risolvere il problema di cinematica (a) Scrivere la legge oraria e sostituire i parametri noti Trattandosi di moto rettilineo uniformemente accelerato, la legge oraria è a t + v 0 t + s 0 v = a t + v 0 Sostituendo i parametri noti (a = 3, m/s, v 0 = 0 m/s e s 0 = 0 m), otteniamo 3, t v = 3, t, 6 t v = 3, t (b) Inserire la condizione e risolvere il sistema Quando la cassa giunge alla base del piano inclinato, 0 m, come si può vedere osservando il triangolo rettangolo di formato dallo stesso piano inclinato: l h = l l = h h = 0 m

3 Dunque la condizione è 0 m, da cui 0 =, 6 t v = 3, t t = 0,6 v = 3, t t = 6, 5 v = 3, t t = 6, 5 v = 3, t t =, 5 s v = 3, t t =, 5 s v = 3,, 5 t =, 5 s v = 8 m/s In conclusione, la cassa impiega,5 s per giungere alla fine del piano, e vi giunge con una velocità di 8 m/s Nella seconda parte del problema, calcoliamo dove si ferma la cassa nel suo moto sul piano orizzontale Per farlo, occorre prima calcolare l accelerazione della cassa (tramite il Secondo Principio della Dinamica) La forza peso La reazione normale N del piano, che bilancia Scegliamo come sistema di riferimento una retta orizzontale, orientata verso destra Poniamo l origine nel punto in cui si trova inizialmente la cassa La risultante è la somma delle forze che agiscono sul corpo: R = + N + F a Considerando che N e si bilanciano (sono uguali in intensità e discordi), si ha che R = F a (dove il segno è stato scelto in base all orientamento del sistema di riferimento scelto in precedenza) Poichè R = F a, Siccome N =, Sostituendo F a = m a () µ N = m a (3) µ = m a (4) µ m g = m a (5) a = µ g = 0, 9, 8 = m/s (6)

4 4 Scrivere la legge oraria e risolvere il problema di cinematica (a) Scrivere la legge oraria e sostituire i parametri noti Trattandosi di moto rettilineo uniformemente accelerato, la legge oraria è a t + v 0 t + s 0 v = a t + v 0 Sostituendo i parametri noti (a = m/s, v 0 = 8 m/s e s 0 = 0 m), otteniamo ( ) t + 8 t v = t + 8 t + 8 t v = t + 8 (b) Inserire la condizione e risolvere il sistema Quando la cassa si ferma, v = 0 m/s, da cui t + 8 t 0 = t + 8 t + 8 t t = 8 t + 8 t t = 4 s t = 4 s In conclusione, la cassa si ferma dopo 6 m impiegando 4 s a fermarsi 6 m t = 4 s Problema Una cassa si trova alla base di un piano inclinato di 45 e si sposta verso la cima del piano inclinato con una velocità iniziale di 0 m/s Sul piano inclinato è presente attrito dinamico di coefficiente µ = 0, Quanti metri percorre la cassa prima di fermarsi e invertire il moto? Soluzione La forza peso, che si può scomporre nelle componenti e La reazione normale N del piano, che bilancia Scegliamo come sistema di riferimento una retta parallela al piano inclinato e orientata verso l alto Poniamo l origine nel punto in cui si trova inizialmente la cassa R = F a

5 Poichè R = F a, F a = m a () Ora, considerando il triangolo rettangolo con angoli di 45, 45 e 90 formato dai vettori F P, FP e F P, si può ricavare che = F P = l l = F P = l = l = F a = m a (3) µ N = m a (4) Siccome N =, µ = m a (5) Ora, considerando il triangolo rettangolo con angoli di 45, 45 e 90 formato dai vettori F P, FP e F P, si può ricavare che = F P = l l = F P = l = l = Sostituendo µ FP = m a (6) m g µ m g = m a (7) m g µ m g = m a (8) m g( + µ) = m a (9) g( + µ) = a (0) g ( + µ) 9, 8 ( + 0, ) a = = = 7, 6 m/s ()

6 4 Scrivere la legge oraria e risolvere il problema di cinematica (a) Scrivere la legge oraria e sostituire i parametri noti Trattandosi di moto rettilineo uniformemente accelerato, la legge oraria è a t + v 0 t + s 0 v = a t + v 0 Sostituendo i parametri noti (a = 7, 6 m/s, v 0 = 0 m/s e s 0 = 0 m), otteniamo ( 7, 6) t + 0 t v = 7, 6 t + 0 3, 8 t + 0 t v = 7, 6 t + 0 (b) Inserire la condizione e risolvere il sistema Quando la cassa si ferma, v = 0 m/s, da cui 3, 8 t + 0 t 0 = 7, 6 t + 0 3, 8 t + 0 t 7, 6 t = 0 3, 8 t + 0 t t =, 3 s 3, 8 (, 3) + 0, 3 t =, 3 s 6, 5 m t =, 3 s In conclusione, la cassa si ferma dopo 6,5 m impiegando,3 s a fermarsi Problema 3 Una cassa di 0 kg viene trascinata su un piano orizzontale su cui è presente attrito di coefficiente µ = 0, da una forza di 00 N inclinata di 30 rispetto al piano Calcolare l accelerazione a cui è soggetta la cassa Soluzione La forza F, che si può scomporre nelle componenti F e F La forza peso La reazione normale N del piano, che bilancia e F secondo la relazione N + F = Scegliamo come sistema di riferimento una retta parallela al piano e orientata verso destra Poniamo l origine nel punto in cui si trova inizialmente la cassa

7 R = F F a Poichè R = F F a, F F a = m a () Ora, considerando il triangolo rettangolo con angoli di 30, 60 e 90 formato dai vettori F, F e F, si può ricavare che = F 3 F = l F = l 3 F = l F = F 3 Siccome N = F, F 3 Fa = m a (3) F 3 µ N = m a (4) F 3 µ (FP F ) = m a (5) Ora, considerando il triangolo rettangolo con angoli di 30, 60 e 90 formato dai vettori F, F e F, si può ricavare che = F F = l F = l 3 F = l F = F Sostituendo F ( 3 µ F ) = m a (6) F ( 3 µ m g F ) = m a (7) F F 3 µ m g µ = m a (8) 3 F µ m g µ F = m a (9) 3 F µ m g µ F = m a (0) a = 3 F µ m g µ F m = , 0 9, 8 0, 00 0 = m/s ()