g m Compito di Fisica Generale di Ingegneria CIVILE 27 gennaio 2010.

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1 Compito di Fisica Generale di Ineneria CIVILE 7 ennaio 010. Esercizio 1: Due ruote cilindriche omoenee identiche di massa m = 0.5 k e raio R = 10 cm sono saldate ad un asse cilindrico coassiale di massa = k e raio r = cm come mostrato schematicamente in fiura. Sia le ruote che l'asse sono pieni. Le due ruote sono appoiate su un cuneo di anolo θ = 30 come mostrato schematicamente in fiura con i centri di massa alla stessa altezza h =.1 m rispetto al piano orizzontale. Le ruote sono inizialmente ferme. θ x 1.1- Nell'ipotesi che il moto delle ruote sia di rotolamento puro, si trovi la velocità raiunta dalle ruote quando raiunono il piano orizzontale. ( 5 punti) 1. - Si trovi il minimo valore che deve avere il coefficiente di attrito fra le ruote ed il piano inclinato se si vuole che le ruote non slittino, cioè che il loro moto sia di rotolamento puro. (5 punti) Esercizio - Una iostra ruota con velocità anolare costante attorno ad un asse verticale OO'. Un corpo puntiforme di massa m è colleato ad un filo inestensibile di massa trascurabile e lunhezza L = m la cui altra estremità è fissata nel punto O sul soffitto della iostra. La iostra ruota compiendo 0.5 iri al secondo O m O'.1 - Nelle condizioni precedenti, si osserva che in condizioni di equilibrio il pendolo si dispone in modo da formare con la verticale un anolo θ diverso da zero. Si trovi il valore dell'anolo θ ( 4 punti)

2 . - Si mostri che, se la velocità anolare della iostra è inferiore ad un valore critico ω c, il filo in equilibrio resta sempre verticale. Si determini il valore di ω c. (4 punti) Esercizio 3- Un cavo coassiale è costituito da un luno cilindro conduttore pieno di raio a = 1 mm e un uscio cilindrico coassiale di raio b = 4 mm e spessore trascurabile. Una corrente i 0 = 3 A scorre uniformemente nel conduttore interno mentre un'uuale corrente scorre in quello esterno in verso opposto. Una spira rettanolare si trova nello spazio compreso fra i due cilindri come mostrato in fiura con due lati di lunhezza L = m paralleli all'asse dei cilindri e posti, rispettivamente, a distanza c = mm e d = 3 mm dall'asse. La spira ha una resistenza elettrica R = 0. Ω e induttanza trascurabile. i o L d b i o c a Si trovi il valore del campo manetico in un punto a distanza r = a/ dall'asse. (4 punti) 3. - Ad un dato istante t = 0, la corrente inizia a decrescere secondo la lee i = i 0 e - t. Si trovi la corrente indotta nella spira per t > 0.( 4 punti) Si trovi direzione, verso e modulo della forza F aente sulla spira all'istante t = 0+. ( 4 punti) AENZIONE: LE RISPOSE DEVONO ESSERE GIUSIFICAE INDICANDO I PASSAGGI LOGICI ESSENZIALI UILIZZAI PER ARRIVARE AL RISULAO FINALE. RISPOSE SENZA ALCUNA GIUSIFICAZIONE, ANCHE SE CORREE, NON SARANNO PRESE IN CONSIDERAZIONE.

3 Soluzione Esercizio Poichè le forze di attrito statico aenti sulle ruote non fanno lavoro, si conserva l'eneria meccanica. Dunque: 1 1 v + Iω = ( h R) (1) Dove = m+ = 3k è la massa totale del sistema ruote-asse mentre mr + r I = = k m () è il momento di inerzia totale di inerzia. Poichè il moto delle ruote è un rotolamento puro, ω = v/r che, sostituito nella(1) fornisce dopo semplici passai alebrici ( h R) v = = 5.76 m/s (3) I + R 1. - Indichiamo con F a la forza totale di attrito statico aente sulle ruote nei punti di contatto con il cuneo. Assumiamo come verso della forza quello opposto al verso del moto delle ruote. Inoltre, prendiamo come verso positivo di rotazione quello orario. Con queste scelte, le equazioni cardinali della dinamica del sistema ruote-asse si scrivono: dv sin θ Fa = = a (4) dt dω I Fa R = I = a (5) dt R Risolvendo il sistema (4), (5) rispetto alle inconite a e F a, si trova: sinθ I sinθ a =, Fa = (6) I I + R + R R Il minimo valore del coefficiente di attrito statico s è quello per il quale la forza di attrito in eq.(6) è uuale alla massima forza di attrito statico s cosθ, dunque: I tanθ s = = (7) R + I ( ) Soluzione Esercizio. O θ F t P t P F c.1- Nel sistema della iostra le forze aenti sono la forza peso P, la tensione della fune e la forza apparente centrifua F c. All'equilibrio, la componente tanenziale della forza peso ( P t = P sinθ in fiura) deve essere uuale ed opposta alla componente tanenziale della forza centrifua (F t = F c cos θ = m ω L sinθ cosθ ), cioè: m sinθ = mω Lsinθ cosθ (1) L'eq.(1) ammette due soluzioni distinte:

4 θ = 0 e cosθ = θ = arccos () ω L ω L Poichè la iostra fa ν = 0.5 iri al secondo, la sua velocità anolare è ω = π ν =3.14 rad /s. Sostituendo nella () si trova θ = arccos = 60. (3) ω L Le soluzioni θ = 0 e θ dato dalla (3) sono entrambe di equilibrio ma solo la (3) è di equilibrio stabile. Questo si verifica facilmente osservando che la forza risultante aente sul corpo di massa m per qualunque valore di θ diverso dai valori in eq.() è sempre diretta in modo da riportare il corpo nella posizione di eq.(3) come richiesto per un equilibrio stabile..- La soluzione (3) esiste solamente se il termine fra parentesi è inferiore ad 1 ( il coseno di un anolo è sempre inferiore ad 1). Dunque, se > 1 ω L, cioè se ω < ω = c =.1 rad/s (4) L l'unica soluzione di eq.(1) resta θ = 0 che, ora, corrisponde ad una posizione di equilibrio stabile. Infatti, si verifica facilmente che, se ω < ω c, per qualunque valore θ diverso da zero la forza è sempre diretta in modo da riportare il corpo nella posizione verticale. Dunque, ω c di equazione (4) rappresenta la velocità anolare critica. Soluzione esercizio Data la simmetria cilindrica, le linee di campo sono circonferenze concentriche centrate sull'asse e il verso del campo in oni punto è dato dalla reola della mano destra ( nella reione occupata dalla spira il campo è uscente dal piano delle fiura). Applicando il teorema di Ampere ad una circonferenza di raio r e centro sull'asse si trova: 0iconc B π r = 0i conc B = (1) πr Per un punto r = a/ < a, i conc = i 0 r /a = i 0 /4 che, sostituita nella (1) fornisce: 0i0 B = = () 4πa 3. - Nello spazio fra i fili ( a < r < b) i conc = i 0 e - t, dunque, dalla (1) si deduce 0i( t) 0i0e B = = (3) πr πr Il flusso del campo che attraversa la spira è d 0i0 d 3 Φ = e Ldr = ln = ln (4) πr π c π c dunque, per la lee di Faraday, la corrente che scorre nella spira è 1 dφ 3 I = = ln =.43 A e - t (3) R dt πr Le forze manetiche su lati perpendicolari all'asse del cavo sono uuali ed opposte mentre quelle sui lati paralleli sono opposte ma diverse essendo diverso il valore del campo in c e d. Utilizzando la reola della mano destra si trova che la forza risultante è perpendicolare all'asse e diretta nel verso che va dal cilindro esterno verso l'asse del filo centrale. Il modulo della forza è: 0I (0) i0l 1 1 F = I (0)[ B( c) B( d) ] L = = N (4) π c d

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