Soluzione Compitino Fisica Generale I Ing. Elettronica e Telecomunicazioni 07 Maggio 2018

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1 Soluzione Compitino Fisica Generale I In. Elettronica e Telecomunicazioni 07 Maio 018 Esercizio 1 1) Sulla massa m 1 aiscono la sua forza peso m 1, la forza di tensione T 1 e la reazione normale del blocco 1, come in Fiura a sinistra. La forza peso è esterna mentre le altre sono interne al sistema formato dal blocco e dalle tre masse. Sulla massa m aiscono la sua forza peso m, le due forze di tensione T 1 e T e la reazione normale del blocco, come in Fiura al centro. La forza peso è esterna mentre le altre sono interne al sistema. Infine per la massa m 3 la situazione è analoa a m 1 : su m 3 aiscono la sua forza peso m 3, la forza di tensione T e la reazione normale del blocco 3 come in Fiura a destra. La forza peso è esterna mentre le altre sono interne al sistema. Si noti che essendo tutte le forze peso (inclusa quella del blocco!) dirette verticalmente, l unica forza esterna al sistema aente in direzione orizzontale è la forza F, che quindi determina l accelerazione del centro di massa a CM. ) Se le tre masse sono ferme rispetto al blocco, le loro accelerazioni sono tutte euali all accelerazione A del blocco. Possiamo quindi scrivere le equazioni del moto per le tre masse nella forma: m 1 a 1 = m 1 A = m 1 + T { m a = m A = m + T + T 1 + (1) m 3 a 3 = m 3 A = m 3 + T + 3 in cui le inconite sono le reazioni vincolari, le tensioni e la massa m 3. Iniziamo dall equazione del moto per m 1, scomponendola in direzione orizzontale e verticale ricordando che α = π/ sin α = cos α = / e A = /: { m 1A = m 1 = (T 1 1 ) 0 = (T ) m 1 () Sommando le due equazioni del sistema () si ottiene: m 1 = (T 1 1 ) + (T ) m 1 = T 1 m 1 T 1 = 3m 1 = 3 m 1 (3)

2 Sottraendo le stesse equazioni si ottiene invece: m 1 = (T 1 1 ) (T ) + m 1 = 1 + m 1 1 = m 1 = m 1 () Scomponendo in direzione orizzontale e verticale l equazione del moto per m 3 si ottiene: { m 3A = m 3 = ( 3 T ) 0 = (T + 3 ) m 3 (5) Si può notare che il sistema (5) è analoo al sistema () con le sostituzioni: T 1 3, 1 T, m 1 m 3 ; la soluzione del sistema (5) si determina quindi immediatamente da quella del sistema () (equazioni (3) e ()) tenendo conto di tali sostituzioni: 3 = 3 m 3 (6) T = m 3 (7) con la (6) e la (7) che sono le analohe rispettivamente della (3) e della () ed in cui ricordiamo che m 3 è inota. Scomponendo infine in direzione orizzontale e verticale l equazione del moto per m si ottiene: { m A = m = (T T 1 ) 0 = m (8) Dalla prima equazione si ricava immediatamente: T = m + T 1 = m + 3 m 1 (9) Eualiando infine la (7) e la (9) si ha: m + 3 m 1 = m 3 m 3 = 3m 1 + m = 5.83 k (10) 3) Poiché il valore di m 3 non corrisponde ad una situazione di equilibrio nel sistema di quiete del blocco, le tre masse sono in moto relativo rispetto al blocco stesso. Tuttavia, dato che la corda è inestensibile, il modulo delle tre accelerazioni relative a 1, a e a 3 deve essere euale. Inoltre a è orizzontale, a 1 è diretto a 5 con componenti verticale ed orizzontale entrambe positive e a 3 è diretto a 5 con componente orizzontale positiva e componente verticale neativa. Applicando la lee di trasformazione delle accelerazioni possiamo riscrivere il sistema (1) come seue: m 1 a 1 = m 1 (a 1 + A ) = m 1 + T { m a = m (a + A ) = m + T + T 1 + (11) m 3 a 3 = m 3 (a 3 + A ) = m 3 + T + 3

3 in cui le espressioni delle tensioni e delle reazioni sono a priori diverse da quelle ricavate in precedenza, con l eccezione di dato che il moto della massa m in verticale è nullo esattamente come prima. Tenendo conto delle direzioni delle accelerazioni relative ed indicando con a il loro modulo comune si ha: m 1 [(a + A) x + a y ] = m 1y + (T 1 1 ) x + (T ) y m (a + A)x = (T T 1 )x + ( m + )y m { 3 [(a + A) x a y ] = m 3y + ( 3 T ) x + ( 3 + T ) y (1) dove x e y sono, come usuale, l asse orizzontale e quello verticale. Le equazioni per m 1 diventano quindi: { m 1 ( a + A) = m 1 ( a + ) = (T 1 1 ) m 1a = (T 1 1 ) m 1 m 1 a = (T ) m 1 (13) (T ) m 1 (T 1 1 ) + m 1 (T ) m 1 + (T 1 1 ) m 1 Invece per m 3 si ha: = 1 m 1 = T 1 3m 1 = 0 1 = m 1 (1) = m 1 a T 1 = m 1 (a + 3 ) (15) { m 3 ( a + A) = m 3 ( a + ) = ( 3 T ) m 3a = ( 3 T ) m 3 m 3 a = (T + 3 ) + m 3 (16) (T + 3 ) + m 3 ( 3 T ) + m 3 (T + 3 ) + m 3 + ( 3 T ) m 3 Infine per m si ricava: = 3 + 3m 3 = T + m 3 = 0 3 = 3m 3 (17) = m 3 a T = m 3 ( a + ) (18) m (a + A) = m (a + ) = (T T 1 ) (19) m + = 0 (0) Combinando la (15), la (18) e la (19) si determina il valore di a : m a = (T T 1 ) m = m 3 ( a + ) m 1 (a + 3 ) m a (m 1 + m + m 3 ) = (m 3 3m 1 m ) a = (m 3 3m 1 m m 1 +m +m 3 ) = 1.3 m/s (1) Le forze di tensione si ottenono per sostituzione nella (15) e nella (18): T 1 = m 1 (a + 3 ) = 11.8 N; T = m 3 ( a + ) =. N ()

4 ) La forza F è l unica forza esterna al sistema in direzione orizzontale per cui (attenzione a non scordarsi il blocco di massa m!): F x = F = (m 1 + m + m 3 + m)a CM = (m 1 a 1x + m a x + m 3 a 3x + ma) = m 1 ( a + A) + m (a + A) + m 3 ( a + A) + ma = a ( m 1 + m + m 3) + (m 1 + m + m 3 + m) = 33.5 N (3) Esercizio 1) Il momento di inerzia del disco con attaccata la massa m 1 si ottiene dalla relazione: I = I disco + m 1 d = M + m 1d () Consideriamo come sistema il disco, le masse m 1 e m e la terra (per descrivere l interazione ravitazionale attraverso l eneria potenziale). L unica forza esterna presente è la reazione del vincolo dell asse del disco che tuttavia non compie lavoro per cui l eneria meccanica del sistema si conserva. Scriviamo la conservazione dell eneria considerando come istante iniziale quello in cui il sistema non si è ancora messo in moto e come istante finale quello in cui la corda si è srotolata di una lunhezza h: E i = K i + U i = m h + 0; E f = K f + U f = 1 Iω + 1 m V + 0 (5) E i = E f (6) Poiché la fune è inestensibile si ha: V = ω, per cui si ottiene: ω = m h I+m (7) ) Le forze aenti sulla massa m sono la tensione del filo che indichiamo con T e la forza peso. Indichiamo con a l accelerazione di m : T + m = m a (8) Considerando un asse z verticale e diretto come in fiura verso l alto la (8) diventa: T m = m a = m α (9) in quanto la corda non slitta sulla carrucola. Per il disco possiamo utilizzare la seconda equazione cardinale: l unica forza con momento non nullo rispetto al polo O centro del disco è la tensione del filo, per cui si ha: Λ T = Iα T = Iα T = Iα (30) Utilizzando la (9) e la (30) si ottiene: α = m M + m 1d + m M + m 1 d Iα ; T = = m (31) M + m 1 d + m

5 L accelerazione anolare e la tensione non dipendono da t 1. Per determinare la lunhezza del filo l(t 1 ) rispetto alla posizione iniziale si può utilizzare la relazione: l(t 1 ) = θ(t 1 ) dove: θ(t 1 ) = 1 αt 1 (3) l(t 1 ) = m M + m 1 d + m t 1 (33) 3) Il chiodo è l unico oetto che può esercitare una forza nel piano del disco e quindi deve fornire una forza in rado di mantenere in rotazione la massa m 1. Le componenti tanenziale e radiale della forza che il chiodo esercita su m 1 si ottenono quindi scrivendo la seconda lee della dinamica per la massa m 1. Conoscendo le componenti tanenziale e radiale dell accelerazione all istante t 1 si ha: F T = m 1 αd; F = m 1 ( ω d) (3) dove i versi dei versori radiale e tanenziale sono rispettivamente uscente dal disco ed antiorario. ) Per trovare la velocità del disco e quindi della massa m quando il chiodo si rompe si può imporre la conservazione del momento anolare luno l asse z (L z ), considerando come polo il centro del disco: infatti non sono presenti forze impulsive che possano alterare il momento anolare, per cui L z non cambia durante l intervallo di tempo in cui il chiodo si rompe. Detti quindi I e ω il momento d inerzia del disco e la velocità anolare del disco dopo la rottura del chiodo otteniamo dalla conservazione di L z : Iω = I ω + m 1 d ω = (I + m 1 d )ω = Iω ω = ω (35) Quindi il disco subito dopo la rottura del chiodo ruota con la stessa velocità anolare che aveva immediatamente prima della rottura: ω = ω(t 1 ) = αt 1 (36) Dopo l istante t 1 cambia però l accelerazione anolare che diventa: α = T I = m M +m = m ( M +m ) (37) in cui T è la nuova tensione del filo, leata a α da una relazione analoa alla (30). All istante t la lunhezza di corda che si è srotolata è quindi: l(t ) = l(t 1 ) + θ(t ) = l(t 1 ) + ( 1 α (t t 1 ) + ω(t 1 )(t t 1 )) (38)