DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI

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1 DINAMICA DI SISTEMI AEOSPAZIALI Tema d esame M d, J d, M O A v A, F Esercizio 1. Il sistema in fiura è posto nel piano verticale ed è costituito da una disco di massa M d, momento d inerzia baricentrico J d e raio, su cui si avvole una fune inestensibile al cui estremo è colleata una massa M. L estremo in A della fune è posto in moto a velocità costante v A, diretta come l orizzontale, da una forza F. Si determini 1.a: posizione e velocità della massa M in funzione dello spostamento e della velocità del punto A; 1.b: la potenza assorbita da un attuatore lineare in rado di fornire la forza F, necessaria al mantenimento delle condizioni di moto del punto precedente; 1.c: le reazioni vincolari scaricate sul telaio nel punto O. Esercizio. Un motore elettrico M caratterizzato da inerzia J m, coppia motrice C m = i a, resistenza e e induttanza trascurabile muove, attraverso una trasmissione T il cui rapporto di trasmissione è τ e il rendimento di moto diretto η, e un riduttore a vite senza fine e ruota elicoidale, il cui rapporto di trasmissione è τ p, un disco di massa M d, momento d inerzia J d e raio. Il rendimento del riduttore a vite senza fine è approssimabile a 1. Sul disco si avvole una fune inestensibile la cui estremità è colleata ad un pistone di massa m P, che fa fuoriuscire un fluido incompribilie attraverso un ω d ω u τ, η τ p C e, A o m P M d, J d, orifizio di area A o e coefficiente di efflusso C e. L efflusso avviene in condizioni di moto turbolento. Si richiede di.a: determinare la velocità di rotazione del motore a reime;.b: discutere la stabilità della soluzione al punto precedente;.c: determinare la tensione presente nella fune nelle condizioni di spunto. T C m M J m k 1 M C k m, J r Esercizio 3. Il sistema in fiura è posto nel piano verticale, ed è costituito da un carrello di massa M, colleato al telaio tramite un elemento elastico di riidezza k 1, e da un disco di massa m, raio r e momento d inerzia baricentrico J, colleato anch esso al telaio da un elemento elastico di riidezza k, tramite una fune inestensible che si avvole sul diametro esterno del disco stesso. Il contatto fra disco e carrello è esente da slittamento. Si determinino 3.a: le equazioni di moto del sistema; ; 3.b: la risposta al forzamento del sistema dovuto alla coppia Ct = C 0 e iωt applicata al disco. 3.c: il coefficiente di attrito statico minimo per il quale non viene superato il limite di aderenza tra disco e carrello quando il sistema è forzato dalla coppia Ct N.B.: si definisca e si commenti opportunamente qualsivolia dato ritenuto mancante.

2 DINAMICA DI SISTEMI AEOSPAZIALI Tema d esame 5 lulio traccia di soluzione Esercizio 1 1.a Moto della massa Sia la distanza O A e u la distanza tra A e il punto di contatto; si ha = + u. Si consideri una condizione di riferimento, per cui = 0 ; la lunhezza della fune nell istante enerico, dal punto di contatto ad A, è u =. Nell istante iniziale, tale lunhezza si ripartisce in distanza tra punto di contatto e A, u 0 = 0, e tratto di fune avvolto sulla ruota, la cui lunhezza è θ, positivo quando il disco ruota in senso orario la massa sale, z = θ. Si ha quindi u = u 0 + θ = 0 + θ 1 da cui si ricava 0 θ = 3 La sua derivata è θ = si noti che per / 1 si ha θ /. 1.b Potenza assorbita dall attuatore Si consideri il teorema dell eneria cinetica. La velocità della massa M è 4 ż = 5 L eneria cinetica è T = 1 J d θ + 1 Mż 6 La potenza delle forze attive è Π = Mż + Π a, dove Π a è la potenza dell attuatore. Dal teorema dell eneria cinetica si ha Jd + M θ θ = Mż + Πa 7 8 L accelerazione anolare del disco è θ = 3/ 9

3 quindi Π a = M J d + M 3/ 10 1.c eazioni vincolari La componente verticale della reazione vincolare in O si ricava dall equilibrio alla rotazione rispetto a A, M d V + M + z + + J d θ = 0 11 da cui V = M d + M + z + + J d θ La componente orizzontale è H = F 1 13 Esercizio.a Velocità di reime La corrente nel motore è i a = 1 e e a e 14 per cui la coppia motrice è C m = e e a e 15 Il bilancio di portata nella camera del cilindro è A p ż = C e A o p pe 16 con ż = ω d = τ d ω u > 0. La pressione nella camera è quindi Ap p = p e + ωu C e A o 17 per cui la potenza complessiva dell utilizzatore, al netto delle forze d inerzia, è Π u = m P ż p p e A p ż = m P + A p 3 C e A o ω u ω u 18 Dato che il rendimento della vite senza fine è approssimabile con 1, e che in prima approssimazione non occorre considerare inerzie o coppie tra le due trasmissioni, si considerino τ e = ττ d e = η come il rapporto di trasmissione e il rendimento complessivo della trasmissione. A reime in assenza di forze d inerzia si ha Ke e a e e m P + A p 3 nell ipotesi che il moto sia diretto, da cui si ottiene C e A o τ e ω m τ e = 0 19 e e a K e e τ e m P A p 3 C e A o τ 3 e ω m = 0 0

4 , posti si ricava A = A p 3 C e A o τ 3 e B = K e e C = e e a τ e m P = B A ± B A C A Il discriminante è positivo se C > 0, se e a > τ em P e La radice positiva è maiore del modulo di B/A, quindi una radice è positiva e l altra è neativa. Solo la radice positiva è accettabile. Si verifica facilmente che l ipotesi di moto diretto è verificata..b Stabilità Si consideri l equazione di equilibrio del caso precedente; la sua derivata rispetto a, valutata nella condizione di reime, dà K e e A p 3 C e A o τ 3 e < 0 6 per cui la soluzione è staticamente stabile..c Tensione fune allo spunto Allo spunto la velocità è nulla; l inerzia del motore è J m ; l inerzia dell utilizzatore, ridotta all albero del disco, è J u = J d + m P trascurando l inerzia del fluido. L accelerazione anolare del motore è 5 con = e e a τ e m P J m + τ e J d + m P e a > τ em P e sempre nell ipotesi, facilmente verificabile, che il moto sia diretto. La tensione nella fune è quindi 7 8 T = m P + z = m P + τ e 9 Esercizio 3 3.a Equazioni del moto Sia lo spostamento del carrello, positivo verso destra, che corrisponde all allunamento della molla 1. Sia θ la rotazione del disco, positiva in senso antiorario. Lo spostamento assoluto del centro del disco è y = rθ. Lo spostamento assoluto del punto in cui la fune lascia il disco, che corrisponde all allunamento della molla, è u = rθ. L eneria cinetica è E c = 1 M + 1 J θ + 1 mẏ = 1 M + 1 J θ + 1 m + r θ r θ = 1 M + m + 1 J + mr θ mr θ 30

5 L eneria potenziale è E p = 1 k k rθ 31 Il lavoro della coppia è δw = δθc. Equazioni di Larane: relativa a, = M + m mr θ 3 d = M + m ẍ mr θ dt 33 = 0 34 E p = k 1 + k rθ 35 Q = 0 36 relativa a θ, θ = J + mr θ mr 37 d dt θ = J + mr θ mrẍ 38 θ = 0 39 E p θ = k r rθ 40 Q θ = C 41 Equazioni del moto: [ M + m mr mr J + mr ] { ẍ θ 3.b isposta a forzamento { k1 + k + rk rk 4r k { θ = { 0 C Sia C = C 0 e jωt ; la soluzione è anch essa armonica, con la stessa frequenza. Si ha [ ] { { { Ω M + m mr k1 + k mr J + mr + rk X 0 rk 4r = k Θ C { X Θ = 1 [ 4r k Ω J + mr rk Ω mr rk Ω mr k 1 + k Ω M + m ] { 0 C = k 1 + k Ω M + m 4r k Ω J + mr rk + Ω mr c Verifica di aderenza La componente normale della reazione al contatto tra disco e ruota è N = m; la componente tanenziale, invece, si ricava ad esempio dall equilibrio alla rotazione rispetto al centro del disco, C + rt + rk rθ = 0 46 T = C r k [ ] { X 1 r Θ e jωt 47 Siccome la soluzione è proporzionale a C e in fase con essa dato che non è presente smorzamento, il valore massimo in modulo della componente tanenziale della reazione è in fase con il valore massimo in modulo della coppia, per cui deve valere la condizione f s > maabst m 48