DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI

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1 DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI Tema d esame Esercizio 1. Un asta di lunghezza 2L e massa m uniformemente distribuita scorre senza attrito in una guida incernierata nel punto O. L estremo A dell asta è vincolato a scorrere senza attrito lungo una guida verticale posta a distanza L dal punto O. 1.a Si calcoli la posizione, la velocità e l accelerazione dell estremo B dell asta, supponendo che il punto A abbia velocità verticale v A costante verso il basso; 1.b si calcoli la forza che occorre applicare nel punto A per mantenere la velocità costante come richiesto al punto precedente; 1.c si calcolino le reazioni scaricate a terra dalla cerniera in O. B g O 2L L A v A C Esercizio 2. 1 Il disco di raggio R e momento d inerzia J trascina tramite funi inestensibili di massa trascurabile due pistoni identici, di massa m, ognuno all interno di J m M T un cilindro di sezione A p, senza attrito. I pistoni forzano una fune inestensibile di massa trascurabile un pistone, m J, R di massa m, all interno di un cilindro di sezione A p, senza attrito. Il pistone forza un fluido, considerato incomprimibile, a fuoriuscire da un orifizio di sezione A o caratteriz- 00 zato da un coefficiente di efflusso C e si consideri a scelta ω u efflusso turbolento o laminare. Il disco è azionato da un motore M, con inerzia J m, in grado di produrre una coppia C m = A Bω m A e B positivi, attraverso una trasmissione T caratterizzata da rapporto di trasmissione τ e rendimento η. 2.a Si calcoli la velocità a regime del sistema; 2.b si valuti la stabilità della soluzione al passo precedente; 2.c si valuti l accelerazione del motore allo spunto; 2.d si calcoli la tensione nella fune nella condizione di moto vario. 1 Nota: il testo sottolineato rimpiazza quello barrato Esercizio 3. Il sistema di figura è costituito da quattro aste di lunghezza L e di massa trascurabile, incernierate tra loro in A, B, C e D. Il punto A è incernierato a terra; nel punto C è concentrata una massa m, a sua volta vincolata a scorrere lungo una guida verticale. I punti A e C sono collegati da una molla di rigidezza k, come i punti B e D. Entrambe le molle sono scariche quando le quattro aste formano un quadrato. 3.a Si calcoli la posizione di equilibrio statico; 3.b si dimensioni la rigidezza k delle molle perché la posizione calcolata al punto precedente sia stabile; 3.c si scriva l equazione del moto linearizzata rispetto alla posizione di equilibrio statico e si calcoli la frequenza caratteristica. D g L k m C k A B

2 Traccia della soluzione. Esercizio 1. Sia θ l angolo formato dall asta con l orizzontale. è 1.a Cinematica del punto B. La lunghezza del segmento C A è z = Ltanθ. La sua derivata prima ż = L 1+tan 2 θ θ = va, 1 da cui si ricava v A θ = L1+tan 2 θ. 2 La sua derivata seconda è z = L 1+tan 2 θ θ +L2tanθ 1+tan 2 θ θ2 = 0, 3 da cui si ricava v 2 A θ = 2tanθ θ 2 = 2tanθ L 2 1+tan θ Quindi, fissato l angolo θ, sono note la velocità e l accelerazione angolare corrispondenti. La lunghezza del segmento O A è c = L/. Siccome l asta ha lunghezza 2L, la quota massima raggiungibile dal punto A si ha quando c max = 2L e quindi per θ max = π/3. La posizione del punto B dell asta, rispetto al punto O, è B O = c 2Le jθ = L La velocità del punto B è v B = sinθ cos 2 θ +j 1 2 e jθ = L e jθ+π. 5 L θe jθ+π, 6 ove la parte reale del coefficiente rappresenta il contributo radiale, mentre quella immaginaria rappresenta il contributo tangenziale. L accelerazione del punto B è a B = = sinθ cos 2 θ +j sinθ cos 2 θ +j θ 1+sin 2 θ +j θ2 cos 3 θ θ 2 1+ sin2 θ sinθ cos 3 +j θ cos 2 θ +j sinθ θ Le 2 jθ+π cos 2 θ θ Le 2 jθ+π, 7 ove la parte reale del coefficiente rappresenta il contributo radiale, mentre quella immaginaria rappresenta il contributo tangenziale. 1.b Forza in A. La posizione del baricentro G dell asta rispetto al punto O è G O = c Le jθ = L 1 e jθ. La sua derivata è v G = ċe jθ +jc L θe jθ. 8 9

3 L energia cinetica è E c = 1 2 m ċ 2 +c L 2 θ ml2 θ2. 10 La potenza delle forze attive è Π = mg ċsinθ +c L θ fv A, 11 dove f è la forza in A, positiva verso l alto. Applicando il teorema dell energia cinetica si ottiene Siccome m cċ+c L 2 θ θ +c Lċ θ ml2 θ θ = mg ċsinθ +c L θ fv A. 12 ċ = L sinθ cos 2 θ θ, tutte le velocità possono essere espresse in funzione di v A, m c+c L θ 2 ċ + c L v L2 θ θ v A A v A = mg sinθ ċ +c L θ v A fv A, 14 v A v A con 13 θ 1 = v A L1+tan 2 θ ċ sinθ = v A cos 2 θ1+tan 2 θ, 15a 15b e quindi f = m g sinθ ċ +c L θ v A v A + c+c L θ 2 ċ + c L v L2 θ θ. A v A 16 1.c Reazioni vincolari in O. La cerniera/manicotto in O trasmette all asta soltanto una forza di reazione R N perpendicolare all asta stessa. Per calcolarla, conviene scrivere l equilibrio alla traslazione dell asta in direzione verticale: f mg +R N m z G = 0, 17 ove z G è la componente verticale dell accelerazione del baricentro dell asta. La si ricava calcolando l accelerazione del baricentro, v G = c c L θ 2 +j 2ċ θ +c L θ e jθ, 18 per poi prenderne soltanto la componente verticale, z G = c c L θ 2 sinθ + 2ċ θ +c L θ. 19

4 Esercizio 2. Sia ω m la velocità angolare del motore. Sia ω u = τω m la velocità angolare del disco. Sia v = Rω u = Rτω m la velocità del pistone. dà 2.a Velocità a regime. Assumendo efflusso laminare, il bilancio di portata all interno della camera p p 0 = V, 20 con V = A p v, da cui, assumendo p 0 = 0, si ottiene p = A p v. 21 La potenza assorbita dal pistone è Π u = A p pv = A2 p v Il bilancio di potenze, assumendo moto diretto, dà ηπ m +Π u = ηa Bω m ω m A2 p v 2 = Dopo aver ridotto tutte le velocità all albero motore si ottiene ηa da cui si ricava ω m = ηb +τ 2 R 2 A2 p ηa. ηb +τ 2 R 2 A2 p ω m = 0, b Stabilità. Il problema è lineare a coefficienti costanti nella velocità angolare del motore. Il coefficiente che moltiplica la velocità è sicuramente negativo, di conseguenza la soluzione è stabile staticamente. 2.c Accelerazione allo spunto. L inerzia dell utilizzatore, ridotta alla velocità angolare del disco, è J u = J +mr L equazione dell accelerazione angolare del motore in caso di moto diretto è ω m = ηc m +τc u ηj m +τ 2 J u = ηa Bω m τ 2 R 2 A2 p ω m ηj m +τ 2 J +mr 2 Allo spunto la velocità angolare è nulla, di conseguenza l accelerazione angolare è. 27 ω m = ηa ηj m +τ 2 J +mr 2, 28 ed è massima.

5 2.d Tensione nella fune. Si consideri l equilibrio alla traslazione del pistone. La tensione nella fune, T, è pari alla forza necessaria ad equilibrare la forza dovuta alla pressione e le forze d inerzia, T = A p p+ma = A2 p Rτω m +mrτ ω m. 29 Esercizio 3. L angolo θ formato dal segmento A B con l orizzontale sia la coordinata libera. La lunghezza del segmento A C è z = 2Lsinθ. La lunghezza del segmento B D è x = 2L. Le molle sono scariche quando θ = π/4, quindi l allungamento della molla orizzontale è u = x 2L mentre l allungamento della molla verticale è w = z 2L. L energia potenziale è E p = 1 2 ku kw2 +mgz. 30 L energia cinetica è E c = 1 2 mż a Posizione di equilibrio statico. La derivata dell energia potenziale rispetto a θ dà E p θ = ku u θ +kw w θ +mg z θ, da cui, posti 32 u θ = x θ = 2Lsinθ w θ = z θ = 2L, si ricava 0 = k 2L 2L = 2 2kL 2 sinθ 2Lsinθ +k 2 2kL 2 2mgL 2Lsinθ 2L 2L +mg2l 33a 33b, 34 ovvero θ = tan 1 1 mg. 2kL 35 3.b Stabilità dell equilibrio. Si consideri la derivata seconda dell energia potenziale rispetto a θ, 2 E p θ 2 = 4kL2 sin 2 θ k 2L 2L 2L +4kL 2 cos 2 θ k 2Lsinθ 2L 2Lsinθ 2mgLsinθ = 2 2kL 2 2mgL sinθ +2 2kL 2 > 0, 36 ovvero, siccome per 0 θ < π/2 si ha > 0, 1 tanθ > 1 mg. 2kL 37

6 Se il termine a denominatore è positivo, ovvero k > mg 2L, 38 tan θ sarà sempre maggiore di zero, quindi ogni soluzione è staticamente stabile. Se invece il termine a denominatore fosse negativo, la soluzione sarebbe degenere, in quanto il punto C si troverebbe al di sotto del punto A. In tale caso, la stabilità statica non sarebbe mai verificata, perché sostituendo a sinistra della diseguaglianza la soluzione statica, si avrebbe che un numero negativo deve essere maggiore di uno positivo, il che è impossibile. 3.c Equazione linearizzata. La rigidezza equivalente K è data dalla derivata seconda dell energia potenziale valutata nella soluzione di equilibrio statico, θ = θ 0, ovvero K = 2 2kL 2 2mgL sinθ kL La massa equivalente M si ricava dal coefficiente che moltiplica θ 2 nell espressione dell energia cinetica valutata nella soluzione di equilibrio statico, E c = 1 2 mż2 = 1 2 4mL2 cos 2 θ θ 2, 40 da cui M = 4mL 2 cos 2 θ La frequenza caratteristica è ω 0 = K/M.