Fondamenti di Meccanica 13 febbraio 2007

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1 Fondaenti di Meccanica 13 febbraio 2007 C M, R F, 2s D corsoio H y, y p, Si vuole studiare il coportaento dinaico del sistea eccanico rappresentato in figura posto nel piano verticale e azionato da un cilindro idraulico che può traslare solo in direzione verticale e che si sta sfilando con velocità y costante. Gli unici corpi dotati di assa sono: - il corsoio di assa e altezza 2s vincolato all estreo della asta C; - il disco oogeneo di raggio R vincolato alla seconda estreità C dell asta. Nota la lunghezza delle aste ( = a, C = b, D = H), si chiede di deterinare: Caso : recupero I prova itinere: 1. la velocità di in funzione di e di y ; 2. l accelerazione di in funzione di e di y ; 3. la velocità di C; 4. l accelerazione di C; 5. l energia cinetica del sistea; 6. la pressione necessaria a garantire l atto di oto assegnato nel caso di vincolo liscio tra corsoio e piano orizzontale; 7. le reazioni vincolari nella cerniera. Caso : recupero II prova itinere (nota la cineatica del sistea): 1. l energia cinetica del sistea; 2. la pressione necessaria a garantire l atto di oto assegnato nel caso di vincolo scabro tra corsoio e piano inclinato, con coefficiente f d noto; 3. le reazioni vincolari nella cerniera ; 4. il valore della assa M che porta al distacco del corsoio dal piano orizzontale. Caso C: appello: 1. la velocità di in funzione di e di y ; 2. l accelerazione di in funzione di e di y ; 3. la velocità di C; 4. l accelerazione di C; 5. l energia cinetica del sistea; 6. la pressione necessaria a garantire l atto di oto assegnato nel caso di vincolo scabro tra corsoio e piano inclinato, con coefficiente f d noto.

2 FONDMENTI DI MECCNIC Copito del Coe recupero della pria prova si svolga l esercizio 1. Coe recupero della seconda prova si svolgano i punti 1,2,3 dell esercizio 2. Per il copito d esae si svolga l esercizio 2 copletaente. Esercizio 1 Nel sistea di figura, posto in un piano verticale, un disco oogeneo di assa e raggio r rotola senza strisciare su una guida orizzontale fissa. Un asta di assa trascurabile e lunghezza l, ha l estreo incernierato nel centro del disco, entre l estreo scorre su una guida verticale fissa e liscia. Nell estreo è concentrata una assa. l disco è applicata una coppia di oento C. θ l 1) Espriere la velocità angolare del disco in funzione di θ e θ. y 2) Deterinare il valore della coppia C affinchè durante il oto sia θ = αt con α costante nota. 3) Calcolare l azione dell asta sul disco durante il oto. 4) Calcolare le reazioni vincolari della guida sul disco durante il oto. C,r Esercizio 2 x assa trascurabile si avvolge sul disco e passa sopra un piolo Q puntifore, fisso e liscio. ll estreo del filo è attaccato un contrappeso P di assa. I tratti liberi di filo riangono rispettivaente orizzontali e verticali durante il oto. Inizialente il sistea si trova in quiete con il disco appoggiato nel punto edio del carrello. 1) Scrivere l energia cinetica ed il potenziale del sistea. 2) Scrivere le equazioni di oto. 3) Deterinare il oto del sistea. 4) Calcolare il valore inio della costante elastica k affinchè il disco non cada dal carrello durante il oto. 5) Calcolare la tensione nel filo.,l s Nel sistea di figura, posto in un pi- ano verticale, un carrello di assa e lunghezza l scorre su una guida orizzontale fissa e liscia. Un disco oogeneo di assa e raggio r rotola senza strisciare sul carrello. Una olla di costante elastica k collega il centro del disco al punto edio del carrello. Un filo inestensibile e di,r Q P

3 FONDMENTI DI MECCNIC ppello straordinario, venerdì 13 prile 2007 Esercizio 1 Il sistea eccanico rappresentato in figura è un anovelliso deviato. Sia la anovella O che la biella sono prive di assa. Il disco indeforabile (fv = 0) incernierato in, di assa M e raggio R D, rotola senza strisciare su una guida piana. Si chiede di deterinare: 1. ω = velocità angolare del disco in funzione di α, α& (rispettivaente posizione e velocità angolare della anovella O ); 2. la coppia otrice C da applicare alla anovella O affinché α& = costante; 3. la reazione vincolare T tangenziale scabiata tra disco e guida nella condizione del punto 2.

4 Esercizio 2 L ipianto di sollevaento raffigurato è azionato da un otore di inerzia ridotta al volano J e da due trasissioni in serie. L albero otore entra nella pria trasissione di rendiento diretto (retrogrado) η d( r) e rapporto di trasissione τ. La seconda trasissione è costituita da due ruote di frizione: la pria (assa M 1 e oento d inerzia baricentrico J 1 ) ha il centro O 1 incernierato a terra, la seconda (assa M 2 e oento d inerzia baricentrico J 2 ) ha il centro O 2 vincolato a terra con un carrello che scorre su una guida inclinata di 45. Ogni ruota di frizione è coposta da due dischi coassiali (raggi R 1 ed R 2 per la pria puleggia, R 3 ed R 4 per la seconda). Si assua che la trasissione del oto tra i dischi di raggio R 2 ed R 3 avvenga in condizioni ideali (rendiento unitario e assenza di strisciaento) e che il contatto tra i due dischi sia assicurato dal peso M 2 g della seconda ruota. Una fune inestensibile collega le due trasissioni avvolgendosi senza strisciare sulla ruota di raggio R p (uscita della pria trasissione) e sul disco di raggio R 1 (ingresso della seconda trasissione). Sul disco di raggio R 4 si avvolge senza strisciare una seconda fune inestensibile vincolata ad una assa che striscia su un piano inclinato. Si richiede di deterinare: ) nel caso in cui il piano inclinato sia scabro (coefficiente di attrito dinaico f d ): 1. la coppia otrice M R necessaria per sollevare la assa con velocità V 2 costante; 2. l accelerazione della assa con coppia otrice = 1,5* M R ; 3. il tiro nella sezione - nelle condizioni di oto del punto 2; 4. la reazione vincolare del carrello O 2 nelle condizioni di oto del punto 2; 5. il oento otore per far scendere la assa con velocità V 2 costante. ) nel caso in cui il piano inclinato sia liscio (assenza di attrito): 6. il valore della assa che striscia sul piano inclinato che porta al distacco i dischi di raggio R 2 ed R 3 della seconda trasissione, in condizioni statiche.

5 Cognoe, noe e atricola Corso di Fondaenti di Meccanica - llievi MECC. II nno N.O. Prova d esae del 3/7/2007. Nel sistea di figura, posto in un piano verticale, un disco oogeneo di assa e raggio R puo ruotare attorno al suo centro G che e vincolato a scorrere su una guida orizzontale fissa e liscia. Un asta, di assa trascurabile e lunghezza pari a R, ha l estreo incernierato sulla periferia del disco, entre l estreo puo scorrere sulla guida orizzontale. Nell estreo e concentrata una assa. Sul disco agisce una coppia di oento C(t) ed al punto è applicata una forza orizzontale F(t). 1) Si scriva l energia cinetica del sistea in funzione delle coordinate x e θ di figura. 2) Si scrivano le coponenti lagrangiane Q x e Q θ delle forze attive secondo le coordinate libere x e θ. 3) Si scrivano le equazioni differenziali del oto. 4) Si deterinino C(t) e F(t) in odo che ẍ = a e θ = ω 0 t, con a e ω 0 costanti. C (t),r x G θ F(t) R Figure 1:

6 Esercizio 1 Esercizio 2 R 1, J 1 R 2, J 2 R 2, J 2 J M T C α f d C Vista laterale C 0 ω s ω Nello schea proposto è raffigurato un ipianto di sollevaento. La assa M striscia su di un piano inclinato α di coefficiente di attrito dinaica f d. La stessa assa è trainata da una fune inestensibile avvolta in una pria puleggia di rinvio di raggio R 1 e oento d inerzia baricentrico J 1. Una seconda puleggia di raggio R 2 e oento d inerzia baricentrico J 2 è direttaente calettata sull albero uscente dalla trasissione T ed azionato dal otore di caratteristica C (ω) (coe ostrato rispettivaente nella vista laterale e nel grafico sottostante). Si chiede di deterinare: 1- la coppia otrice necessaria per sollevare a regie la assa M; 2- nella condizione del punto precedente, la velocità di salita della assa M; 3- l accelerazione allo spunto in salita della assa M; 4- il tiro della fune nel tratto - nella condizione del punto precedente; 5- le reazioni vincolari nella cerniera di vincolo della puleggia di raggio R 1 nella condizione del punto 3.