Lavoro ed Energia (esercizi) 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)

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1 Lavoro ed Energia (esercizi)

2 Lavoro eccanico Se applico al puntopuna forzafeil punto si sposta di quantità pari a s allora la forza ha copiuto un lavoro pari a P F θ s L r r F s F s cosθ [ joule] SeFe s sono tra loro ortogonali alloralaforzahacopiutoun lavoro nullo. F s P Se la forzafappartiene ad uncapodiforze conservativo (coe il capo gravitazionale) allora il lavoro che copie non dipende dal percorso seguito per andare dal punto al punto. E si ha anche che L L 8 febbraio 009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)

3 Energia Potenziale Per quanto detto sui Capi Conservativi è allora possibile definire unafunzionescalare definitaintuttiipunti delcapodiforze grazie alla quale si ha che F s L U ( x, y, z) U ( x, y, z) U U P Si ricordi che nel caso delcapogravitazionale, seyèla quota rispetto alla superficie terrestre, si ha U ( y) gy Per cui se sollevo un corpo di assadalla quotay alla quotay copio un lavoro pari a L U U gy gy ) ( g y 8 febbraio 009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 3

4 Lavoro ed Energia Cinetica Per un corpo di assa, non in rotazione, che si uove con velocitàvviene definita la suaenergiacinetica coe T v v F s P v Se applicando la forza F al nostro corpo lo sposto tra i puntieeconosco le velocità v e v rispettivaente, vale il teorea delle forze vive per cui L T T v v 8 febbraio 009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 4

5 Conservazione dell Energia Si ricorda anche che nel caso dicapidiforzeconservativi vale la leggediconservazionedell energia, quindi in tale caso E U + T costante Nel caso in cui intervengano anche forze non conservative (gli attriti) allora si ha L NC + L C T T Ma ricordando che L C U U e sostituendo si ha L NC ( U E E U) + ( T T ) ( U + T ) ( U + T ) 8 febbraio 009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 5

6 Esercizio n Un corpo di assa 0kg si uove su un piano orizzontale scabro con velocità iniziale pari a 5/sec. Sapendo che il coefficiente di attrito dinaico vale 0. quanto spazio percorrerà pria di ferarsi? Scheatizziao il problea: v i µ Il corpo è inizialente in oto (energia cinetica) con velocità v i, poi sotto l azione dell attrito (non conservativo) si fera dopo aver percorso uno spazios. s 6

7 Esercizio n In tale caso, essendo in presenza di forze non conservative, conviene usare la seguente espressione L NC E E Ma qual è il lavoro dovuto alla forza non conservativa? N È evidente che sarà F a µg v i LNC Fa s µ gs µ g s ed anche E E T 0 7

8 Esercizio n Quindi tutta l energia, che è solo cinetica, è dissipata in calore (attrito) e posso scrivere L NC Da cui si ha E E ( 5) µ gs vi s µ g (0.)(9.8) v i 8

9 Esercizio n Alla base di un piano inclinato privo di attrito è posto un oggetto di assakg. Sapendo che l angolo di inclinazione è α30 e che il piano inclinato è lungo quale velocità deve essere ipressa al corpo perché si feri in cia, senza cadere. Scheatizziao il problea v α Ora l oggetto si uove in un capo di forze conservativo. Infatti è soggetto al solo capo gravitazionale. Inoltre a tale corpo viene ipressa energia cinetica. Ma in cia al piano tale energia cinetica non c è più! 9

10 Esercizio n Questo è un caso classico di applicazione della conservazione dell energia nei capi conservativi. v0 v h α Infatti nel punto iniziale si ha solo energia cinetica T v Nel punto finale l energia cinetica è nulla ed il corpo possiede solo energia potenziale U gh gs sinα 0

11 Esercizio n Per la conservazione dell energia deve essere U T e quindi da cui consegue gs sinα v v gs sinα (9.8)() sin sec

12 Esercizio n 3 l R asse Un corpo di assaèappeso a distanzal dal suolo con una fune priva di peso ed inestensibile. La fune è lunga l ed è arrotolata intorno ad un cilindro di raggior50c e assa. Il cilindro è libero di ruotare senza attrito intorno al proprio asse. Si libera la assa che cade al suolo. Quale sarà in quel oento la velocità angolare del cilindro? Analisi del problea: Tutto avviene in un capo di forze conservativo, quindi deve valere la legge di conservazione dell energia eccanica. Pertanto E U + T costante

13 Esercizio n 3 l R asse La assa subisce nella caduta una variazione dienergiapotenziale espriibile coe U gl La stessa assa, al oento del contatto con il suolo, avrà una velocità v e pertanto avrà energia cinetica pari a v T v 3

14 Esercizio n 3 l R v asse La corda, ovviaente, si srotolerà ed il cilindro sarà posto in rotazione. Anch esso possiederà energia cinetica a di tipo rotazionale. Si potrà scrivere Tc Iω Ricorda la corrispondenza tra oti rotatori e oti traslatori: v ω Dove I è il oento di inerzia che dipende dalla geoetria del corpo, I dalla densità e dall asse di rotazione. Nel caso in esae v Iω I R 4

15 Esercizio n 3 l R v asse da cui A questo punto, ricordando il legae tra velocità angolare e velocità tangenziale, si può scrivere v ωr E per la conservazione dell energia ovvero gl 3 4 ω gl v + gl ωr + R ( ) ω Iω R ω gl 0. rad R 3 sec 5

16 Esercizio n 4 Un carrello di assa 00kg è posto sulla soità di una rotaia a struttura seicircolare di raggio R0. Se lasciato scendere lungo la rotaia esso si uove senza attrito. Si vuole sapere la reazione della rotaia quando il carrello giunge in fondo alla struttura. Perché porci il problea proprio in fondo alla struttura? R Non dobbiao dienticare che il corpo si uoverà lungo una traiettoria circolare e quindi sarà soggetto alla forza centrifuga. Tale forza è espriibile coe v R F c 6

17 Esercizio n 4 Quindi in fondo alla struttura la situazione della forze è quella indicata di seguito: Quindi dovrà essere R N v g F c N g + F c Per deterinare la coponente centrifuga è necessario conoscere la velocità del carrello in fondo alla struttura. Ciò può essere calcolato ricordando che siao in un capo conservativo, pertanto U T 7

18 Nel caso in esae si potrà scrivere Esercizio n 4 R e quindi gr v v N v gr g F c Sostituendo il tutto N gr g + 3g R 940Newton È la reazione ad un corpo che, da fero, ha una assa tre volte più grande! 8

19 Esercizio n 5 Una pallina di assa 00g sta girando, con oto circolare unifore, legata ad una cordicella priva di peso, inestensibile e lunga l50c. La velocità angolare risulta essere ωrad/sec. Si supponga di tirare la cordicella dal centro fino a ridurne la lunghezzaal/4. Qualelavoro si copie per fare ciò? l F È chiaro che applico una forza per tirare la cordicella; tale forza non è conservativa. Inoltre la pallina riarrà a ruotare su uno stesso piano, quindi non c è variazione di energia potenziale. L T T Pertanto il lavoro copiuto dalla forza deve essere legato ad una variazione di energia cinetica! 9

20 Esercizio n 5 Ora il oto è circolare, quindil energiacinetica è espriibile coe l/4 F T Iω E, nel caso in esae, il oento di inerzia di una pallina che gira lungo una circonferenza di raggio r è espriibile coe I r Quindi si odifica il valore del oento di inerzia perché cabia il raggio di rotazione! Ma coe posso legare tutto ciò alla conseguente variazione di velocità? Devo ricordare che in fisica esistono delle iportanti leggi di conservazione 0

21 Esercizio n 5 Ricordiao le leggi di conservazione La dell energia conservazione La conservazione della quantità di oto E p U + T v costante costante Da applicare, ad esepio, nell analisi dei processi d urto e counque valida se il sistea è isolato! (non dove scabiare forze con l esterno) La conservazione del oento angolare b Iω costante Quest ultia si applica proprio nei oti rotazionali ed è olto utile al nostro caso. Quindi nelle due posizioni della cordicella sarà conservato il oento angolare!

22 Esercizio n 5 Quindi, per la conservazione del oento angolare, si scrive I 0 ω 0 I f ω f l/4 con I 0 l e I f l 4 F Sostituendo e seplificando l ω 0 l ω f f 0 4 ω 6ω

23 Esercizio n 5 Ora, applicando il teorea del lavoro e dell energia cinetica, si ha l/4 L T T I f ω f I 0 ω 0 F Sostituendo e seplificando l 5 L ( 6ω0 ) l ω0 l ω (0.5) joule 3