Esercizio 1. Esercizio 2

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1 Esercizio 1 Una ruota gira intorno ad un asse stazionario, di odo che l angolo di rotazione vale j=kt 2, dove k=0.20rad/s 2. Trovare l accelerazione totale a del punto A, che si trova sul bordo del volano, nell istante t=2.5s, se la velocità del punto A in quel oento vale VA=0.65/s. Esercizio 2 Un corpo rigido ruota intorno ad un asse fisso con legge oraria j = at bt 3, con le costanti a e b che valgono rispettivaente: a = 6 rad/s e b = 2 rad/s 3. Trovare: a) i valori edi di velocità ed accelerazione angolare nell intervallo di tepo tra t=0 e l istante in cui il oto si arresta; b) l accelerazione angolare nel oento in cui il oto si arresta. Esercizio 3 Un oggetto solido ruota intorno ad un asse fisso in odo tale che la sua velocità angolare dipende dall angolo di rotazione con la legge w = w0 - aj, dove w0 ed a sono costanti positive. All istante t = 0 l angolo j = 0. Trovare l angolo di rotazione e la velocità angolare in funzione del tepo. Esercizio 4 Un oggetto solido inizia a ruotare intorno ad un asse fisso con accelerazione angolare a=kt, con k=2*10-2 rad/s 3. Dopo quanto tepo dall inizio della rotazione un arbitrario punto di tale oggetto avrà un accelerazione tale da forare un angolo q=60 con la velocità del punto stesso? Esercizio 5 Si abbia un piano inclinato di un angolo a rispetto all orizzontale sul quale è appoggiata e tenuta fera una sfera piena di raggio R. Sia A il punto della sfera che è in contatto con il piano inclinato. In un certo istante la sfera viene lasciata libera di uoversi ed essa, copreso il punto A, coincia a rotolare (senza strisciare) lungo il piano inclinato. Dopo quanto tepo la velocità del punto A ha direzione orizzontale per la pria volta? Esercizio 6 O Un disco unifore di raggio R=20c ha un foro tondo, coe da figura. La assa della porzione rianente (obreggiata) del disco vale =7.3Kg. Trovare il oento d inerzia del disco forato, rispetto ad un asse che passa per il suo centro di assa ed è ad esso perpendicolare. R

2 Esercizio 7 Deterinare il oento d inerzia di un corpo sferico di assa M e raggio a che abbia la assa al suo interno distribuita con una densità inversaente proporzionale alla distanza dal centro. Supponendo che la Terra abbia una distribuzione di densità di questo tipo e che per effetto delle forze di area vengano dissipati ogni anno 3x10 19 J di energia cinetica, calcolare il cabiaento della durata del giorno che si ha ogni anno. La assa della Terra vale 5x10 24 kg ed il suo raggio vale 6x10 6. Esercizio 8 Diostrare che nel caso di una lastra piana e sottile, di fora arbitraria, esiste la seguente relazione tra oenti d inerzia: I1 + I2 = I3 dove gli indici 1, 2 e 3 definiscono tre assi utuaente ortogonali passanti per uno stesso punto della lastra, con gli assi 1 e 2 giacenti sullo stesso piano della lastra. Usando questa relazione, calcolare il oento d inerzia di un disco di raggio R e assa, sottile ed unifore, rispetto ad un asse di rotazione coincidente con un diaetro del disco. Esercizio 9 Una sfera unifore di assa e raggio r rotola senza strisciare su un piano orizzontale, ruotando intorno all asse orizzontale obile OA. In questo oto il centro della sfera si uove con velocità v lungo una circonferenza di raggio R. Trovare l energia cinetica della sfera. Esercizio Nel sistea in figura la assa della carrucola, unifore e di raggio R, vale e le asse dei due corpi appesi valgono 1 ed 2. Si suppongano nulli l attrito sull asse della carrucola, la assa della corda e lo slittaento tra corda e carrucola. Trovare l accelerazione angolare della carrucola ed il rapporto T1/T2 tra le tensioni della corda nei due tratti verticali durante il oto del sistea.

3 Esercizio 11 1 Esercizio 12 2 Nel sistea in figura, le asse dei due contrappesi valgono 1 ed 2, il coefficiente di attrito tra il corpo di assa 1 ed il piano orizzontale vale µ e la carrucola di assa può essere considerata un disco unifore. La corda non può slittare sulla carrucola. Nell istante t = 0 il corpo di assa 2 coincia a scendere. Assuendo nulli la assa della corda e l attrito sull asse della carrucola, trovare il lavoro copiuto dalle forze d attrito fra 1 ed il piano fino all istante t = t. Al soffitto di un ascensore è appesa una carrucola di assa 3 e raggio R, che può ruotare senza attrito sul suo asse. Sulla carrucola si ipegna una corda alle cui estreità sono appese le asse 1 ed 2 (acchina di Atwood). L ascensore sta accelerando verso l alto con accelerazione a. Il sistea costituito da asse, corda e carrucola è libero di uoversi. Qual è la forza che si esercita tra la carrucola ed il soffitto dell ascensore? Esercizio 13 F 1 a A F 2 Una sottile sbarra unifore AB di assa = 1 Kg si uove di oto traslatorio (senza rotazioni) con accelerazione w = 2 /s 2 sotto l azione di due forze antiparallele F1 ed F2 (vedi figura). La distanza tra i punti di applicazione vale a = 20 c, essendo F1 applicatra all estreo A. Inoltre è noto il odulo F2 = 5 N. Trovare la lunghezza della sbarra. B Esercizio 14 Un cubo oogeneo di assa M=100 kg e lato L=1 è appoggiato su una superficie piana; il coefficiente di attrito fra cubo e piano è µs = 0.8. Viene applicata su uno degli spigoli superiori del cubo una forza di odulo F parallela al piano e diretta coe un lato del cubo stesso. Si calcoli: a) il valore liite della forza per cui il cubo non trasla; b) il valore liite della forza per cui il cubo non ruota; c) il oento, rispetto ad uno dei lati a contatto del suolo, della forza vincolare che il piano esercita sul cubo nel caso F = 200N; d) l accelerazione angolare iniziale del centro di assa del cubo nel caso F = 600N.

4 Esercizio 15 Siao nel capo gravitazionale terrestre. Si abbia un asta unifore di acciaio AB di lunghezza L. Al suo punto centrale C venga saldata perpendicolarente ad essa un asta unifore di rae CD. L estreità A dell asta d acciaio venga incardinata e sospesa ad un punto fisso O (coincidente quindi con A), rispetto al quale il sistea delle due aste possa ruotare senza attrito in ogni direzione. Si etta in rotazione il sistea delle due aste rispetto ad un asse verticale passante per O. Per quale velocità angolare del sistea l asta d acciaio perane in direzione verticale? Esercizio 16 La porta di un autoobile è aperta in posizione perpendicolare rispetto all autoobile stessa. L autoobile parte con un accelerazione di 0.60 /sec 2 e la porta è larga 90 c. Assiilando la porta ad un rettangolo unifore e trascurando gli attriti, deterinare la velocità rispetto all autoobile dello spigolo esterno della porta quando questa si chiude. Esercizio 17 Una sottile sbarra unifore AB, posta in posizione orizzontale, ha assa e lunghezza D e può ruotare liberaente intorno ad un asse verticale che passa per la sua estreità A. In un certo istante all estreità B viene applicata una forza orizzontale costante F, che è sepre perpendicolare alla posizione originale della sbarra. Trovare la velocità angolare della sbarra in funzione dell angolo di rotazione j, isurato relativaente alla posizione iniziale. Esercizio 18 Un uro di altezza h e spessore s è costruito con attoni di densità rm, ed è sepliceente appoggiato su una superficie orizzontale ruvida. Un vento di velocità V soffia contro il uro, e si può assuere che esso venga copletaente arrestato dal uro. La densità dell aria sia ra. a) Trovare la inia velocità V per cui il uro viene rovesciato dal vento. b) Trovare il assio coefficiente d attrito statico tra il uro e la superficie orizzontale per cui il uro scivola invece di rovesciarsi. Esercizio 19 Un asta unifore è appoggiata verticalente su un piano orizzontale olto scabro (coefficiente di attrito statico praticaente infinito). Lasciata libera di uoversi, essa coincia a cadere ruotando intorno al punto di contatto col piano. Ad un certo oento durante la caduta, l asta perde contatto col piano (la forza norale applicata dal piano all asta diventa zero). Trovare l angolo tra l asta e la verticale in quel oento (piccolo aiuto: il coseno di tale angolo è una frazione olto seplice).

5 Esercizio 20 L α Una scala di lunghezza L, approssiabile coe un asta unifore, viene appoggiata fera contro un uro, forando un angolo a0 con il paviento. Sia il uro che il paviento sono perfettaente lisci. a) Si dica se esistono dei valori di a0 tali che la scala riane in equilibrio. Si supponga ora che la scala coinci a scivolare e che le sue estreità riangano in contatto rispettivaente col paviento e col uro. Si faccia coincidere l asse x col paviento e l asse y col uro. b) Si deterini l equazione (nel piano x-y) della curva percorsa dal centro di assa della scala; c) si calcolino le velocità delle due estreità della scala nel oento in cui questa tocca terra; d) si deterini la velocità del centro di assa in funzione della inclinazione della scala durante la caduta; e) si deterini l accelerazione del centro di assa in funzione della inclinazione della scala durante la caduta; f) si dica se è effettivaente vero che la scala non si stacca dal uro durante la caduta, ed in caso contrario si calcoli per quale inclinazione della scala avviene il distacco se questa viene lasciata andare, da fera, ad a0 = π/2 Esercizio 21 Un cubo unifore di assa è incernierato in y odo da poter ruotare senza attrito intorno ad un asse orizzontale fisso, coincidente con uno dei suoi spigoli e con l asse z di un sistea di riferiento cartesiano ortogonale. Il cubo viene lasciato libero di uoversi da fero nella posizione iniziale di equilibrio instabile nella quale il suo centro di assa è alla quota y 0 x aggiore possibile. Detto θ l angolo di rotazione del cubo rispetto alla posizione iniziale, si trovino in funzione di θ le coponenti x ed y della forza esercitata dal cubo sull asse di rotazione durante il oto. Si trovino inoltre i valori di θ per cui tale forza ha odulo di valore assio o inio.

6 Esercizio 22 θ L Un pendolo conico è costituito sepliceente da una sbarra sottile ed unifore, di lunghezza L, sospesa ad una sua estreità ad un punto fisso e libera di ruotare intorno ad esso senza attrito. Un tale pendolo viene esso in rotazione unifore e stabile intorno ad un asse verticale con velocità angolare costante ω. Si chiede di deterinare l angolo θ copreso tra la sbarra e la direzione verticale (vedi figura). Esercizio 23 In un punto di un piano orizzontale liscio, coincidente con l origine di un sistea di assi cartesiani, è incernierata un asta rigida, oogenea, di lunghezza L e assa, che appoggia l altro estreo ad un cubo di assa M, libero di uoversi senza attrito sul piano orizzontale. L asta giace nel piano della figura. Inizialente il sistea è in quiete e l angolo che l asta fora con l orizzontale è q0. In assenza di attriti si calcoli la reazione vincolare fra l asta ed il cubo durante il oto in funzione dell angolo q forato dall asta con il piano orizzontale. Esercizio 24 Un copasso è coposto da due aste oogenee di lunghezza l unite da uno snodo O, il quale ha assa trascurabile e non offre attrito alle rotazioni. Il copasso è appoggiato su un piano orizzontale liscio ed una delle sue aste è in contatto con una parete verticale liscia che fora uno spigolo con il piano. Il copasso può solo uoversi sul piano verticale x-y, ed inizialente si trova fero e con un angolo di 60 tra le aste. Detto q l angolo di inclinazione dell asta che tocca l origine, e detta VA la velocità della punta libera A del copasso, si trovi VA in funzione di q durante la caduta. Esercizio 25 Una sottile sbarra di lunghezza H è tenuta in posizione verticale con il suo estreo inferiore fero su una superficie piana orizzontale e priva di attrito. L estreo superiore della sbarra viene lasciato libero ed inizia a cadere entre il suo estreo inferiore scivola sulla superficie. Deterinare la velocità lineare dell estreo superiore quando colpisce la superficie.

7 Esercizio 26 Un cilindro unifore di assa e raggio R rotola verso il basso, senza strisciare, su un piano inclinato posto ad un angolo a rispetto all orizzontale. Trovare: a) il inio coefficiente d attrito per il quale non si ha slittaento b) l energia cinetica del cilindro t secondi dopo l inizio del oto Esercizio 27 Una slitta di assa M, con una sfera piena ed oogenea di assa appoggiata su di essa, F giace su di un piano orizzontale liscio (vale a dire M senza attrito). Una forza orizzontale costante F è applicata alla slitta. Con quali accelerazioni si uoveranno rispettivaente la slitta (am) ed il centro della sfera (a), se c è rotolaento puro tra la slitta e la sfera? Esercizio 28 Una slitta di assa M, con un cilindro pieno ed F oogeneo di assa appoggiato su di essa, giace su di un piano orizzontale liscio (vale a dire M senza attrito). Una forza orizzontale costante F è applicata all asse del cilindro. Con quali accelerazioni si uoveranno rispettivaente la slitta (am) ed l asse del cilindro (a), se c è rotolaento puro tra la slitta ed il cilindro? Esercizio 29 Un cilindro unifore A di assa A è libero di ruotare intorno ad un asse orizzontale, fissato ad A un supporto B di assa B. Una forza orizzontale K F costante F è applicata all estreità K di una corda B leggera ed inestensibile, avvolta sul cilindro. Sia assente ogni attrito tra B ed il sottostante piano orizzontale. a) Quanto vale l accelerazione del punto K? b) Quanto vale l energia cinetica del sistea t secondi dopo l inizio del oto? Esercizio 30 Un cilindro unifore, di assa, avente raggio R ed asse orizzontale, viene fatto ruotare con velocità angolare w0 e quindi viene calato finché la sua superficie laterale venga a contatto con un piano orizzontale, ed allora rilasciato. Il coefficiente d attrito tra il piano ed il cilindro vale µ. A) Per quanto tepo il cilindro slitta rispetto al piano? B) Deterinare il lavoro totale della forza d attrito durante lo slittaento.

8 Esercizio 31 Un volano che ruota intorno al proprio asse con velocità angolare iniziale w0 decelera a causa di un attrito il cui oento eccanico è proporzionale alla radice quadrata della velocità angolare istantanea. Trovare la velocità angolare edia del volano durante il tepo totale di decelerazione del volano. Esercizio 32 Un disco unifore, avente raggio R ed asse verticale, viene fatto ruotare con velocità angolare w0 e quindi viene posato con cura su una superficie orizzontale. Se il coefficiente di attrito vale µd, si chiede per quanto tepo continuerà la rotazione del disco sulla superficie stessa. Esercizio 33 R Un cilindro unifore di raggio R viene fatto ruotare intorno al proprio asse con velocità angolare w0 e poi piazzato in uno spigolo forato da un piano orizzontale ed uno verticale (vedi figura). Il coefficiente di attrito dinaico tra i piani che definiscono l angolo ed il cilindro vale µ. Quanti giri copie il cilindro pria di ferarsi? Esercizio 34 H h d Una sfera oogenea di raggio NON trascurabile rotola senza strisciare su uno scivolo, con velocità iniziale uguale a zero, a partire da un altezza fissa H rispetto al suolo. Lo scivolo si interrope ad una altezza h dal suolo, dove esso ha tangente orizzontale. Detta d la distanza al suolo percorsa dalla sfera pria di colpirlo (gittata), si chiede di deterinare l altezza h in odo che d sia assia, e tale valore assio di d.

9 Esercizio 35 Un cilindro unifore, di raggio R = 15 c, rotola su un piano orizzontale che è raccordato con un altro piano, inclinato di un angolo a = 30 rispetto all orizzontale. Trovare la assia velocità V0 che perette al cilindro di rotolare fino alla sezione di piano inclinato senza saltare. Si assua l assenza di slittaento. Esercizio 36 Una spoletta, di assa, consiste di due cilindri di raggio R, uniti tra loro da un cilindro, coassiale coi due esterni, di raggio r<r. Sia il raggio aggiore R=nr ed il oento d inerzia principale I=kr 2, con n e k nueri dati. Tale spoletta è appoggiata su un piano inclinato scabro, essendo µ il relativo coefficiente di attrito, ed un filo sottile ed inestensibile, avvolto sul cilindro interno, è collegato alla r soità del piano inclinato, la parte tesa essendo parallela a R quest ultio. Sia q l angolo di inclinazione del piano. a) Qual è l angolo q assio per cui la spoletta può θ rianere fera nella posizione in figura? b) Se q è aggiore del valore liite di cui al punto a), qual è l accelerazione con cui la spoletta scende lungo il piano inclinato? Esercizio 37 R O x Una carrucola di raggio R e assa M può ruotare liberaente attorno ad un asse orizzontale fisso O. Una corda sottile di lunghezza L e assa <<M è avvolta sulla carrucola. Lo spessore dell avvolgiento è trascurabile. Sia x la lunghezza del tratto di corda non avvolto, che pende dalla carrucola. Si supponga che il centro di assa della parte avvolta della corda coincida con O. Si chiede di trovare l accelerazione angolare della carrucola in funzione di x. Si consideri ora il sistea, tenuto fero, con x=l/10. Per t=0 il sistea viene lasciato libero di uoversi. Si chiede di trovare x in funzione di t durante il oto. In questo ultio caso, quanto tepo ci ette la corda a srotolarsi?

10 Esercizio 38 F Una assa puntifore se ne sta appoggiata su un cilindro di assa M e raggio R, libero di ruotare senza attrito intorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro O. Tra assa e cilindro c è attrito, caratterizzato dai suoi coefficienti µd e µs R (con µs>µd). Il sistea è inizialente fero nella posizione di O equilibrio (instabile) indicata in figura. In un dato istante viene applicata alla assa una forza orizzontale F. Per quali valori di M F si ha slittaento tra assa e cilindro? Iediataente dopo l applicazione della forza F si chiede di trovare l accelerazione a della assa e l accelerazione angolare a del cilindro, sia nel caso di slittaento tra assa e cilindro, sia nel caso in cui lo slittaento non avvenga. Esercizio 39 R r Una pallina unifore, di raggio r, rotola verso il basso senza strisciare, partendo dalla soità di un supporto eisferico di raggio R, sotto l azione della gravità. Trovare la velocità angolare della pallina nel oento in cui essa si distacca dal supporto. La velocità iniziale della pallina è trascurabile. Esercizio 40 µ R 1 2 θ Si abbia un piano inclinato, sul quale poggia una slitta a fora di parallelepipedo di assa 2. Tra il piano inclinato e la slitta vi sia attrito, il cui coefficiente, sia statico che dinaico, valga µ. Sulla slitta appoggia un cilindro di assa 1 e raggio R che può solo rotolare senza strisciare sulla slitta. Il sistea sia fero nella posizione in figura. La slitta ed il cilindro siano poi lasciati liberi di uoversi. La gravità è quella terrestre. Si trovi, si discuta e si faccia il grafico della accelerazione angolare del cilindro in funzione dell angolo q di inclinazione del piano.

11 Esercizio 41 Una slitta è appoggiata su un piano inclinato fisso, ed è fera. Un cilindro è appoggiato sulla slitta, fero. Tra piano inclinato e slitta non c è attrito. Il cilindro può rotolare, a non strisciare, sulla slitta. Ad un certo istante la slitta ed il cilindro vengono lasciati liberi di uoversi. Quanto vale successivaente l accelerazione angolare del cilindro? Esercizio 42 β α Si abbia un piano inclinato fisso con angolo di inclinazione α incognito. Su di esso può scorrere senza attrito un cuneo di apertura β = 30. Sul cuneo è appoggiata una sfera piena di densità unifore, che può solo rotolare (senza strisciare) su di esso ed ha la stessa assa del cuneo. Lasciato il sistea libero di uoversi partendo da fero, si osserva che entre la sfera rotola verso il basso il cuneo non si uove. Si chiede di deterinare l angolo incognito α. Esercizio 43 Nel sistea in figura la slitta di assa 2 può scorrere senza attrito sul piano inclinato, entre tra la slitta e la sfera (piena) di assa 3 c è attrito sufficiente perchè il oto relativo sia di puro rotolaento. La carrucola e la corda sono di assa trascurabile e la carrucola stessa può ruotare senza attrito. Il sistea viene lasciato uoversi partendo da fero. In funzione delle asse e dell angolo q si vogliono conoscere il valore della forza di attrito tra sfera e slitta ed i valori possibili del relativo coefficiente di attrito statico. In funzione delle asse si vogliono conoscere i valori dell angolo q per i quali la sfera scende verso il basso. Esercizio 44 Tre cilindri identici sono appoggiati su un piano coe illustrato. Sia il piano che i cilindri sono fatti dello stesso ateriale. Qual è il inio coefficiente di attrito statico che si deve avere nel contatto di tale ateriale con se stesso perché i tre cilindri stiano feri in posizione?

12 Esercizio 45 Due cilindri, aventi rispettivaente raggi R1 ed R2 e asse 1 ed 2, sono sostenuti da assi di rotazione eccanici perpendicolari al piano della figura. Il cilindro grande ruota inizialente con velocità angolare w0, entre quello piccolo viene spostato verso destra finché, giunto a contatto con quello grande, inizia a ruotare per attrito. Cessata la fase di slittaento i due cilindri ruotano con velocità angolari costanti in verso opposto. Trovare la velocità angolare finale w2 del cilindro piccolo. Esercizio 46 Si abbia una piattafora girevole costituita da un disco di raggio R e assa M1 libero di ruotare senza attrito o oenti eccanici esterni intorno ad un asse verticale. Inizialente la piattafora ruota con velocità angolare w0. A t=0 viene appoggiato sulla piattafora un altro disco, anch esso di raggio R a di assa M2, inizialente fero. Il coefficiente di attrito dinaico tra i due dischi vale µd. Calcolare: a) le velocità angolari dei due dischi in funzione del tepo; b) la potenza dissipata per attrito in funzione del tepo; c) il tepo necessario perché terini lo slittaento tra i due dischi. Esercizio 47 Una carrucola di raggio R e assa è fissata ad un soffitto in odo da essere libera di ruotare sul proprio asse. Su di essa è avvolto un filo leggerissio ed inestensibile, il quale è avvolto all altra estreità ad un altra carrucola sospesa, anch essa di raggio R e assa. Una guida non ostrata in figura vincola il centro O della carrucola sospesa a uoversi esclusivaente in verticale. Lasciato il sistea libero di uoversi, partendo da fero, si vogliono conoscere: la tensione della corda, l accelerazione angolare della carrucola superiore, l accelerazione angolare della carrucola inferiore, l accelerazione lineare del punto O. Esercizio 48 Una autoobile ha assa M (escluse le ruote) + 4 ruote ognuna di assa. Il suo otore sviluppa una potenza P costante. Essa parte da fera su una salita inclinata di un angolo a rispetto all orizzontale. Quanto tepo le occorre per arrivare alla velocità V?

13 Esercizio 49 Un veicolo ha delle ruote di raggio R. Si possono ontare su detto veicolo diversi tipi di freni: 1) freni convenzionali, che esercitano un oento eccanico costante t0; 2) freni che dissipano una potenza costante P; 3) freni che esercitano un oento eccanico t=k v (k=costante, v=velocità). Le quantità t0, P e t si intendono già soate su tutte le ruote del veicolo. Si assua che il veicolo stia viaggiando ad una velocità V0. Si vuole sapere: a) Quanto vale il tepo inio di frenata per i freni di tipo 1), 2) e 3); b) Quanto vale il inio spazio di frenata per i freni di tipo 1), 2) e 3); c) Per quali valori di V0 i freni di tipo 2) arrestano il veicolo in eno tepo degli 1) d) Per quali valori di V0 i freni di tipo 3) arrestano il veicolo in eno tepo degli 1) e) Per quali valori di V0 i freni di tipo 2) arrestano il veicolo in eno spazio degli 1) f) Per quali valori di V0 i freni di tipo 3) arrestano il veicolo in eno spazio degli 1) Esercizio 50 Una scala a libretto, altrienti detta scaleo, viene appoggiata su un paviento liscio e insaponato. Le due età della scala sono identiche, la assa dei pioli orizzontali è olto inore della assa dei ontanti e lo snodo superiore è olto ben lubrificato. La lunghezza delle corde ancorate fra i ontanti è tale che la distanza tra le basi sia uguale alla lunghezza dei ontanti. In un certo istante le corde vengono tagliate. Si trovi l accelerazione del centro di assa della scala in funzione dell angolo copreso tra le due età della scala. Esercizio 51 Rilassarsi